《线性代数期末复习》吕 代数ch4习题课新

第四章习题课一齐次线性方程组二非齐次线性方程组三方程组的应用一齐次线性方程组(2)Ax=02解的判别:(1)齐次线性方程组一定有解,即零解;(2)齐次线性方程组有非零解线性相关(3)齐次线性方程组只有零解线性无关1三种形式:m个方程,n个未知量1,2,…,n是A的列向量例

齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是().(a)系数矩阵A的行向量组线性相关;(b)系数矩阵A的任意两个列向量线性相关;(c)系数矩阵A中必有一个列向量是其余列向量的线性组合;(d)系数矩阵A的任意一个列向量都是其余列向量的线性组合.例

齐次线性方程组A3×5x=0一定有()成立.(a)仅有唯一解;(b)有无穷多个解;(c)无解.cb3解的性质

也是解;(1)若是齐次线性方程组Ax=0的解,则

也是解.(2)若是齐次线性方程组Ax=0的解,则对4

解的结构是解空间N(A)的一组基,即Ax=0的基础解系,则方程组的通解x可表示为:注:

(1)

解空间的维数=基础解系所含向量的个数

=n-R(A)

(2)基础解系不唯一,任意n-R(A)个线性无关的解都是基础解系.例设是Ax=0的基础解系,则也是基础解系.证明:(1)容易证明:是解.(2)定义法证明线性无关.(3)含有三个向量.证毕.例设A是n阶方阵,|A|=0，A中有一个代数余子式Aij≠0，则Ax=0的基础解系所含向量的个数为______.解:因为|A|=0,R(A)<n.

又因为Aij≠0,R(A)≥n-1.

所以,R(A)=n-1,从而Ax=0的基础解系所含向量的个数为n-R(A)=1.5求通解①对系数矩阵A施行初等行变换化为行最简矩阵；②由行最简矩阵写出对应的同解方程组；③令同解方程组中的自由未知量(xr+1

,xr+2

,…,xn)T分别为(1,0,…,0)T,(0,1,…,0)T,(0,0,…,1)T,即得原方程组的基础解系:1,2,…,n-r，从而得出原方程组的通解:

k11+k22+…+kn-rn-r(k1,k2…,kn-r∈R)(2)具体方程组利用初等行变换.一般步骤为：(1)抽象方程组利用解的结构求解.例设n阶方阵A的各行元素之和均为零,且R(A)=n-1，则Ax=0的通解为______.解:

因为R(A)=n-1,基础解系所含向量的个数为1个,所以只需找一个非零解即可.由条件,A的各行元素之和均为零,即所以,(1，1，…,1)T是Ax=0的非零解,即为基础解系.通解为k

(1，1，…,1)T,k为任意常数.一个非零向量线性无关例求通解作业例设齐次线性方程组问a为何值时，该方程组有非零解，并求其通解.解：(1)当a=0时,R(A)=1.同解方程组为:x1+x2+…+xn=0.当a≠0时,二非齐次线性方程组2解的性质1三种形式:Ax=b

1,2,…,n是A的列向量(2)若是齐次方程组Ax=0的解,是非齐次方程组Ax=b的解,则仍是方程组Ax=b的解.(1)若都是方程组Ax=b的解,则是方程组Ax=0

的解;(1)非齐次线性方程组有解向量b能由A的列向量组1，2，…，n线性表示(2)非齐次线性方程组无解向量b不能由A的列向量组1，2，…，n线性表示(4)

Ax=b有无穷多解R(A)=R(A,b)<nR(A)=R(A,b)=n(3)

Ax=b有唯一解3解的判别例设A为m×n型矩阵,且m<n,若A的行向量组线性无关,则()(a)方程组Ax=b仅有唯一解;(b)方程组Ax=b有无穷多个解;(c)方程组Ax=b无解;(d)方程组Ax=0仅有零解.b有解的充要条件是例证明方程组ïïïîïïïíì=-=-=-=-=-515454343232121axxaxxaxxaxxaxx0aaaaa54321=++++解：úúúúúúûùêêêêêêëé-----=b54321a10001a11000a01100a00110a00011),A(r¾¾®¾å=+41ii5rrúúúúúúúûùêêêêêêêëé----å=51ii4321a00000a11000a01100a00110a00011原方程组有解的充要条件是：即0aaaaa54321=++++)A(R),A(R=br5求通解

(2)对增广矩阵B施行初等行变换化为行最简矩阵；(3)由行最简矩阵写出同解方程组；(4)求出同解方程组的通解（求同解方程组的特解与对应的齐次方程组的基础解系），从而得出原方程组的通解。

(1)对增广矩阵B施行初等行变换，将其化为行阶梯矩阵，观察R(A)=R(B)

，？若R(A)≠R(B)，则方程组无解，解题完毕；若R(A)=R(B)，转向2）步；

设η*是Ax=b的一个解,xc是Ax=0的通解,则

Ax=b的通解x可表成:4解的结构(2)具体方程组利用初等行变换.一般步骤为：(1)抽象方程组利用解的结构求解.当，方程组有唯一解。解

由于系数矩阵是方阵,可用克拉默法则加以讨论.其系数矩阵行列式为当a=0时所以,R(A)=2,R(B)=3,方程组无解.当a=2时所以,R(A)=R(B)=2<3,方程组有无穷多解.例已知1，2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，1，2是其对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1,k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解必为().b因为R(A)=3,所以Ax=0的基础解系含(4－3)个解向量.所以只需求出Ax=0的一个非零解即可.例设A是4阶方阵,且R(A)=3.设是Ax=b的三个解向量，且求Ax=b的通解.解第一步:求Ax=0的基础解系.即为基础解系.第二步:求Ax=b的一个解.由条件,取η1

即可.k为任意常数由ba1a2a3a4知(1111)T是方程Axb的一个解

例

设矩阵A(a1

a2

a3

a4)

其中a2

a3

a4线性无关

a12a2

a3

向量ba1a2a3a4

求方程组Axb的通解

因此(1

210)T是方程Ax0的基础解系

通解为:xk(1

210)T(1111)T

kR由a2

a3

a4线性无关,a1可由a2和a3线性表示,知R(A)3

故方程Axb所对应的齐次方程Ax0的基础解系中含一个解向量第二步:求Ax=0的基础解系.解：第一步:求Ax=b的一个解.由a12a2

a3得a12a2a30

知(1

210)T是Ax0的一个解解:(1)为非齐次线性方程组的解向量Q,,3a2a1abxA=例设A为4阶方阵，R(A)=3,都是非齐次线性方程组的解向量，其中(1)求方程组对应的齐次方程组的一个基础解系；(2)求非齐次方程组的通解.,,3a2a1abxA=bxA=0xA=bxA=úúúúûùêêêêëé=a+aúúúúûùêêêêëé=a+a5881,499132210)(A)(A)]()[(A32213221=a+a-a+a=a+a-a+a\bA,bA,bA321=a=a=a\b2AA)(A,b2AA)(A32322121=a+a=a+a=a+a=a+a\又因为A

为4阶方阵,R(A)=3,的解.为即0xA)1,1,1,0()5,8,8,1()4,9,9,1()()(TTT3221=-=-=a+a-a+a的基础解系为0xA=所以的解空间是一维的,0xA=úúúúûùêêêêëé-1110(2),b2)(A21rQ=a+ab)2(A32=a+a\为的解

即bxA=T21)4,9,9,1(21)(21=a+a因此由上及(1)得非齐次线性方程组的通解为:úúúúûùêêêêëé-+úúúúûùêêêêëé1110k499121我们首先对增广矩阵进行初等行变换,化为最简矩阵例已知向量

为何值时，不能表示为的线性组合；(2)为何值时，可唯一的表示为的线性组合.úúúúûùêêêêëé+=búúúúûùêêêêëé+=aúúúúûùêêêêëé+-=aúúúúûùêêêêëé=aúúúúûùêêêêëé=a53b11,8a421,12a11,5311,32014321b,ab4321,,,aaaa4321,,,aaaab,ab解:原题可看作求,使满足4321x,x,x,xb=a+a+a+44332211xxxxaúúúúûùêêêêëé+++-=58a1533b42a321211011111)|(4321,,,aaaab三线性方程组的应用úúúúûùêêêêëé+++-=58a1533b42a321211011111)|(4321,,,aaaab不能表示为的线性组合。b4321,,,aaaabr(1)不能表示为的线性组合,4321,,,aaaa)|(R)(R<此时4321,,,aaaa4321,,,aaaabúúúúûùêêêêé+-+-25a2201b2a101211011111¾¾®¾--1413r3rr2rúúúúûùêêêêëé++-01a000b01a001211011111¾¾®¾--2423r2rrr无解即

=a+a+a+44332211xxxxab当