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文档简介

§2化二次型为标准形用正交变换法化二次型为标准形标准形的矩阵是:一化二次型为标准形的原因问题:如何把二次型f=xT

Ax化为标准形?(4)将二次型化为标准形,即:对于二次型寻求一个可逆的线性替换

:二化二次型为标准形变量替换(4)式变为x=Cy,代入

f=xTAx,可得思路:

由此可知,若能找到C使得CTAC=D为对角阵,则标准形可得.这样就把二次型化标准形问题转化为对称阵合同对角阵问题.两种方法:

1.正交变换法;2.配方法.对于给定的实对称矩阵A,寻求可逆矩阵C,使CTAC成为对角阵.把此结论用于二次型，即有对给定的n阶实对称矩阵A，必存在n

阶正交矩阵P

,使得方法1正交变换法3.求A的n个标准正交的特征向量:4.求正交矩阵P=正交变换法的基本步骤：1.写出二次型的矩阵A；5.作正交变换:x=Py,则

例

用正交变换法将二次型化成标准形，并求正交变换矩阵.解二次型f的矩阵为(1)求A的特征值.

得A的特征值(2)求3个标准正交的特征向量.解方程组=0，

可得解方程组=0，

可得施行施密特正交单位化，得到将其单位化，得到(3)求正交变换矩阵P.令于是(4)

作正交变换x=Py,则注意

(1)

矩阵P是正交矩阵，一般情况下不唯一；(2)

得到的f的标准形中，平方项的系数恰是A的特征值，(3)对角阵中特征值的顺序是和它们对应的特征向量在P中的排列顺序一致的.

将实二次型f(x)=xTAx

化为标准形后，不妨设正平方项在前，负平方项在后,即d1y12+…+dp

yp2-dp+1yp+12-…-

dryr2,得f(x)=xTAx的规范形为:

z12+

…+

zp2–zp+12-…-

zr2

三化标准形为规范形di>0,i=1,2,…,r.例解注:

利用正交变换化成标准形,进而化成规范形,则系数中”-1”的个数=负特征值的个数=负惯性指数.系数中”1”的个数=正特征值的个数=正惯性指数;问题:标准形不唯一,规范形唯一吗?答案:标准形不唯一,但

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