暑期班第7讲 函数的应用 学生版

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第7讲函数的应用

高考要求

要求层次重点函数的零点幂函数和零点及函数的应用B①理解函数零点的概念②把握函数零点的性质难点①明确零点是一个“值〞，而非一个点的坐标②会利用函数的零点摸索二次方程根的分布问题了解二分法的原理二分法A了解二分法的原理①能够应用函数的性质解决有关数学问题，能够应用函数知识解决一些简单的实际问题；②培养学生的阅读能力、文字语言转化为数学语言的能力及数学建模能力函数模型的应用C把握建立函数模型的数学思想知识精讲

板块一：函数的零点(一)主要知识：

函数的应用是学习函数的主要目的之一.本讲内容重点放在函数在数学内部的应用，使函数的学习构成一个完整的有机体，同时本模块的结构也给我们浮现了研究一个问题完整的思路和方法.本节内容不但透露函数、方程、不等式等内容的横向联系，又表达螺旋上升的学习函数的纵向联系.在二分法求函数零点近似解的过程中渗透的算法思想，为模块3学习算法作了必要的准备，另外，也为进入大学学习介值定理、区间套定理，体会极限的思想等起到基础性的作用.函数与方程的学习，对学生进一步理解函数的概念和性质，树立数学应用的意识，形成正确的世界观起到重要的作用.

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一、零点的概念：

对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点.

二、函数零点的意义：

函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0实数根，亦即函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标.即方程f(x)=0有实数根?函数y＝f(x)的图象与x轴有交点?函数y＝f(x)有零点.

三、零点存在性判定定理：

假使函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且f(a)·f(b)＜0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点，即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c就是方程f(x)=0的根.

这样得到方程f(x)=0在区间(a,b)内必有根，由此只能判断根的存在，既不能判定有多少个实数根，也不能得出根的值.

(二)典例分析：

画出函数f(x)?2x3?3x?1的图象，判断函数在以下区间(-1.5，-1)，(0，0.5)，(0.8，1.5)内有无

零点，并判断零点的个数.

求函数y?x3?2x2?x?2的零点，并画出它的图象.

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已知m∈R，函数f(x)=m(x2-1)+x-a恒有零点，求实数a的取值范围，f(x)是奇函数？

若关于x的方程lg(x?20x)?lg(8x?6a?3)?0有唯一的实根，求实数a的取值范围.

2

用函数的思想看方程的解

函数在方程中的应用主要是构造函数，确定方程的实根的个数、探讨方程的实根的存在性和唯一性问题以及探讨方程的实根的范围问题.主要方法是构造各种函数，利用数形结合，观测函数图象的交点等等.

试判断方程2

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?x?x2?2的实数解的个数是多少

试判断方程|x?9|?a?2实根的个数.

2板块二：函数性质应用

1．复合函数的奇偶性、单调性和周期性内层函数外层函数复合函数奇函数奇函数奇函数奇偶性奇函数偶函数偶函数偶函数-偶函数增函数增函数增函数增函数减函数减函数单调性减函数增函数减函数减函数减函数增函数有周期T1有周期T1周期性注：⑴“周期性〞中的“周期〞在本表中不一定是最小正周期；

⑵可以用“内偶则偶，内奇则外〞和“一致则增，不同则减〞记忆奇偶性和单调性．

2．函数的四则运算结果的周期性

一般来说，设函数f(x)和函数g(x)的周期分别是T1和T2，假使存在T，使得T?mT1?nT2(m、n为非零整数)，则T是函数f(x)和函数g(x)的和、差、积以及商的周期．

ax2?1设f(x)?(a,b,c?Z)是奇函数，且有f(1)?2，2?f(2)?3成立．

bx?c⑴求a,b,c的值；

⑵用定义证明f(x)在(?1,0)上是减函数．

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?(x?1)3?2023(x?1)??1?已知x，y为实数，且满足?，求x?y的值．3(y?1)?2023(y?1)?1??

判断以下函数的奇偶性并说明理由：

1?a2x⑴f(x)?(a?0且a?1)；

1?a2x⑵f(x)?x?1?1?x；

⑶f(x)?x2?5|x|．

已知函数f(x)为R上的奇函数，且当x?0时f(x)?x(1?x)．求函数f(x)的解析式．

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已知函数f(x)，当x,y?R时恒有f(x?y)?f(x)?f(y)．

⑴求证：函数f(x)是奇函数；⑵若f(?3)?a，试用a表示f(24)．

定义在R上的偶函数y?f(x)满足f(1?x)?f(1?x)，假使这个函数在[1,2]上是增函数，则在

[?1,0]上函数f(x)是()

11A．增函数B．在[?1,?]是减函数，在[?,0]上是增函数

2211C．减函数D．在[?1,?]是增函数，在[?,0]上是减函数

22

已知函数f(x)对于一切实数x都有f(2?x)?f(2?x)，假使方程f(x)?0有且只有两个不相等的

实数根，那么这两根之和等于_____

?3?已知定义在R上的函数f(x)的图象关于点??，0?成中心对称图形，且满足f(x)??f?4?3???x?2?，??f(?1)?1，f(0)??2．那么，f(1)?f(2)???f(2023)的值是()

A．1

B．2C．?1D．?2

板块三：函数实际应用

本讲涉及函数在数学内部的应用.大纲教材讲函数应用主要是讲函数在解决实际问题中的应用，而未涉及数学内部的应用.课标这样处理对于学生完整地理解函数的应用，把握分析、研究问题的方法大有好处.函数与方程安排在这个位置也是恰当的，前面学习的函数性质和相关知识，为函数的应用提供了必要的准备，反过来通过本节的学习可以更好的认识和稳定前面的知识，温故知新.

(一)主要知识：

1.函数定义域、图象、单调性质等知识；2.函数的值域、最值等知识.

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3.具体函数模型的性质和图象知识.

(二)主要方法：

一.解允许用问题时，首先应进行严密地思考和深刻的分析综合，再将问题中的数量关系找出来，并联系实际问题建立相应的数学模型，转化为数学问题来解决，注意实际问题中对自变量取值范围的限制.

二.解决应用性问题的一般步骤为：?1?审题；?2?建模；?3?求解；?4?作答．我们可以用示意图表示为：

(三)典例分析：

1．基本函数模型问题

一个圆柱形容器的底面直径为dcm，高度为hcm，现以每秒Vcm的速度向容器内注入一种溶液，

3求出容器内溶液高度y与注入时间x(s)的函数关系及其定义域

某地区上年度电价为0.8元/kW·h，年用电荷量为akW·h，本年度计划将电价降到0.55元/kW·h

至0.75元/kW·h之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电荷量与实

际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k).该地区电力的成本价为0.3元/kW·h.(1)写出本年度电价下调后，电力部门的受益y与实际电价x的函数关系式；

(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的受益比上年至少增长20%(注：受益＝实际用电量×(实际电价－成本价))？

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某农场新开垦50亩土地，计划用20个劳动力耕种这片土地，所能种植的作物及产值如下表：

问怎样安排作物的种植数量，才能使总产值最高？

作物每亩所需劳动力(人)每亩产值(元)

某商店将进货价每个10元的商品按每个18元出售时，每天可卖出60个，商店经理到市场上做

蔬菜棉花水稻1211001375014600了一番调查后发现，若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每提高一元，则日销量就减少5个；若将这种商品的售价(在每个18元的基础上)每降低1元，则日销量就增加10个.为了每日获得最大利润，此商品的售价应定为每个多少元？

一批发兼零售的文具商店规定：凡购买铅笔51支以上(含51支)按批发价结算，而少于51支则

按零售价计算，批发价每购60支比零售价60支少付1元.现有班长小王来购铅笔，若给全班每人买一支，则必需按零售价结算，需支付m元(m为整数)，但若多买10支，则可按批发价结算，恰好也是支付m元，问该班有多少学生？

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（第五届北京高中数学知识应用竞赛）中国青年报2023年3月19日报道：中国移动通信将于

3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司不断推出“全球通〞移动电话资费“套餐〞，这

个：“套餐〞的最大特点是针对不同用户采取了不同的收费方法.

具体方案如下：方案基本月租（元）免费时间（分钟）超过免费时间的话费（元/分钟）130480．602981700．6031683300．5042686000．45538810000．40656817000．35778825880．30原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟付0.4元，请问：（1）“套餐〞中第4种收费方式的月话费y与月通话量t（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，如某次通话时间为3分20秒，按4分钟计通话用时）的函数关系式；

（2）取第4种收费方式，通话量多少时比原计费方式的月通话费省钱；

（3）据中国移动2000年公布的中期业绩，每户通话平均为每月320分钟，若一个用户的通话量恰好是这个平均值，那么选择哪种收费方式更合算，并说明理由.

一海轮航海时所耗燃料费与其航速的平方成正比，已知当航速为每小时a海里时，每小时所耗

燃料费为b元；此外，该海轮航行中每小时的其它费用为c元(与航速无关)，若该海轮匀速航行d海里，问航速应为每小时多少海里才能使航行的总费用最省？此时的总费用为多少？

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板块四：函数性质综合

函数的综合运用(本部分内容对于新生可能较难，可以视状况而定)

函数综合问题主要表现在以下几个方面：1、函数的概念、性质和方法的综合问题；

2、函数与其它代数知识，主要是方程、不等式、