第三章 水动力学基础

第三章水动力学基础第1页，共73页，2023年，2月20日，星期一

本章主要介绍与液体运动有关的基本概念及液体运动所遵循的普遍规律并建立相应的方程式。主要内容：描述液体运动的两种方法欧拉法的若干基本概念恒定一元流的连续性方程式实际液体恒定总流的能量方程式能量方程式的应用举例实际液体恒定总流的动量方程式恒定总流动量方程式的应用举例第2页，共73页，2023年，2月20日，星期一一、液体最基本特征：液体具有流动性，其静止是相对的，运动才是绝对的。二、水动力学研究内容：1.水动力学研究内容：研究液体的运动规律及其在工程上的应用。2.液体的运动规律：液体在运动状态下，作用于液体上的力和运动要素之间的关系，以及液体运动特性与能量转换规律等。3.运动要素：表征液体运动状态的物理量，如速度、加速度、动水压强、密度、切应力等，这些量统称为运动要素。第3页，共73页，2023年，2月20日，星期一4.液体运动规律的研究内容：

确定各运动要素随时间和空间的变化规律及其相互间的关系。——首要研究速度，其次压强。三、水动力学研究方法：建立运动模型，结合液体三大力学模型（连续性假设、不可压缩液体、理想液体），根据物理学和理论力学的质量守恒定律、动能原理和动量定理等，建立液体三大基本方程。

连续性方程能量方程（伯诺里方程）动量方程第4页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.1描述液体运动的两种方法①流体运动一般在固体壁面所限制的空间内进行②流场：流体流动占据的空间称为流场③水动力学重要任务：研究流场中的运动④研究液体流动的两种方法：

拉格朗日(J.L.Lagrange)法

欧拉(L.Euler)法3.1.1拉格朗日法一、定义：把流场中的液体看做是由无数连续质点所组成的质点系，追踪研究每一质点的运动轨迹并加以数学描述，从而求得整个液体运动规律的方法。引用固体力学中研究质点和质点系的运动方法。第5页，共73页，2023年，2月20日，星期一二、表达式：设某一质点在某一时刻t0的初始坐标(a,b,c)作为该质点的标志，则在任一时刻，此质点的迹线方程可表示为：

x＝x(a,b,c,t)y＝y(a,b,c,t)z＝z(a,b,c,t)

其中，a,b,c,t统称为拉格朗日变量，不同初始值(a,b,c)表示流场中不同液体质点的初始位置。三、基本特征：以个别液体运动质点为对象.研究给定质点在整个运动过程中的轨迹.各个质点运动状态总和构成整个液体运动.

点—线—面运动轨迹运动要素第6页，共73页，2023年，2月20日，星期一四、局限性：液体质点运动轨迹非常复杂，实用上不需要知道某一质点的运动轨迹，因此水力学上不常采用此方法。3.1.2欧拉法一、定义：直接从流场中每一固定空间点的流速分布入手，建立速度、加速度等运动要素的数学表达式，来获得整个流场的运动特性。第7页，共73页，2023年，2月20日，星期一欧拉法——以考察不同液体质点通过固定的空间点的运动情况作为基础，综合所有空间点上的运动情况，构成整个液体的运动。

速度分量

x，y，z，t称为欧拉变数。

x，y，z是液体质点在t时刻的运动坐标ux＝ux(x,y,z,t)uy＝uy(x,y,z,t)uz＝uz(x,y,z,t)p＝p(x,y,z,t)ρ＝ρ(x,y,z,t)第8页，共73页，2023年，2月20日，星期一

对同一质点来说，坐标x，y，z不是独立的，而是时间t的函数，因此，加速度的三个坐标分量需要通过相对应的三个速度分量复合求导得到：第9页，共73页，2023年，2月20日，星期一三、含义：1.等号右边第一项表示通过某固定点的液体质点，其速度随时间变化而形成的加速度，称为当地加速度.2.等号右边括号内项表示同一时刻因地点变化而形成的加速度，称为迁移加速度。∴液体运动质点加速度＝当地加速度＋迁移加速度第10页，共73页，2023年，2月20日，星期一第11页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.2欧拉法的基本概念3.2.1恒定流与非恒定流液体运动可分为两类：恒定流非恒定流恒定流：流场中所有空间点上一切运动要素不随时间改变，这种流动称为恒定流。非恒定流：流场中空间点上运动要素随时间改变，这种流动称为非恒定流。恒定流：ux＝ux(x,y,z)uy＝uy(x,y,z)uz＝uz(x,y,z)

即恒定流中，当地加速度为零，但迁移加速度可以不为零。第12页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.2.2一元流、二元流、三元流一元流：运动要素是一个坐标的函数，称为一元流二元流：运动要素是两个坐标的函数，称为二元流三元流：运动要素是三个坐标的函数，称为三元流——液体一般在三元空间中流动，属于三元流动。简化问题，在一元空间流动——一元流动——一元分析法（流束理论）第13页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.2.3流线与迹线一、流线1.定义：流线是同一时刻由液流中许多质点组成的线，线上任一点的流速方向与该线在该点相切。流线上任一点的切线方向就代表该点的流速方向，则整个液流的瞬时流线图就形象地描绘出该瞬时整个液流的运动趋势。第14页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.2.3流线与迹线一、流线流线微分方程式：第15页，共73页，2023年，2月20日，星期一2.流线特性：(1)流线不能相交或转折，否则在交点或转折处必然存在两个切线方向，即同一质点同时具有两个运动方向，这显然是不可能的，因此流线只能是互不相交的光滑曲线(2)流线只能是一条光滑曲线。(液体为连续介质）(3)流线分布的疏密程度反映了该时刻流场中各点的速度大小。流线越密，流速越大；流线越疏，流速越小二、迹线流线：同时刻连续液体质点的流动方向线。迹线：同一质点在连续时间内的流动轨迹线。第16页，共73页，2023年，2月20日，星期一流管、元流、总流和过流断面流管——由流线构成的一个封闭的管状曲面dA元流——充满以流管为边界的一束液流总流——在一定边界内具有一定大小尺寸的实际流动的水流，它是由无数多个元流组成过流断面——与元流或总流的流线正交的横断面

过水断面的形状可以是平面也可以是曲面。！3.2.4一元流动模型第17页，共73页，2023年，2月20日，星期一五、流量流量是单位时间内通过某一过水断面的液体体积，用Q表示．流量是衡量过水断面过水能力大小的一个物理量。元流流量：dQ＝udA

总流流量等于所有元流流量之和。六、断面平均流速v第18页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.2.5均匀流与非均匀流

均匀流：各流线为平行直线。过水断面是平面，位于同一流线上的各质点的流速的大小和方向均相等，迁移加速度为零。非均匀流：各流线不是平行直线。渐变流急变流第19页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.2.5均匀流与非均匀流渐变流：各流线接近于平行直线的流动。近似认为符合均匀流压强分布特性。急变流：非均匀流中除渐变流以外的流动。不符合均匀流压强分布特性。上述流速沿程变化情况的分类，不是针对流动的全体，而是指总流中的某一段。一般来说，流动的均匀与不均匀、渐变与急变是交替的出现于总流中。第20页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.3恒定总流连续性方程一、定义：恒定总流连续性方程：反映断面平均流速和过水断面面积之间的关系式。它是质量守恒定律在水力学中的具体表现。二、推导：1.基本条件：从总流中任取一段，如图，其进口过水断面1-1面积为A1，出口过水断面2-2面积为A2；再从中任取一束元流，其进出口面积为dA1及dA2，流速u1及u2。第21页，共73页，2023年，2月20日，星期一2.三个前提条件：(1)在恒定流条件下，元流的形状及位置不随时间改变；(2)不可能有液体经元流侧面流进或流出；(3)液流为连续介质，元流内部不存在空隙。3.恒定元流连续性方程：根据质量守恒定律，单位时间内流进dA1的质量等于流出dA2的质量：

ρ1u1dA1＝ρ2u2dA2＝常数对于不可压缩液体，ρ1＝ρ2＝常数，则有：

u1dA1＝u2dA2＝dQ＝常数

恒定元流连续性方程第22页，共73页，2023年，2月20日，星期一4.恒定总流连续性方程：因总流是无数元流的集合体，因此,对上式在总流过水断面上积分：引入断面平均流速，可得：

Q＝υ1A1＝υ2A2＝常数

恒定总流连续性方程★

它在形式上与恒定元流连续性方程类似，应注意的是，以断面平均流速v代替点流速u。意义：恒定总流连续性方程是一个不涉及任何作用力的运动学方程，所以，它无论对于理想液体还是实际液体都适用。第23页，共73页，2023年，2月20日，星期一三、连续性方程特例:

上述恒定总流的连续性方程是在流量沿程不变的条件下导得的。若沿程有流量流进或流出，则总流的连续性方程在形式上需作相应的修正。其总流的连续性方程可写为：

Q1＝Q2＋Q32Q1Q2Q311233结论：所有流入液体的流量应等于所有流出液体的流量第24页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.1-3.3小结拉格朗日法欧拉法恒定流（与非恒定流）去掉了时间变量一元流（二元流、三元流）去掉了y、z坐标流线（流管）：推出了元流的概念一元流模型流管元流总流过流断面流量断面平均流速恒定总流连续性方程第25页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.4恒定元流能量方程3.4.1理想液体恒定元流能量方程一、原理：——能量守恒原理。取不可压缩无粘性流体恒定流动这样的力学模型。二、推导：第26页，共73页，2023年，2月20日，星期一功能原理：作用于该段元流的外力（除重力外）所作的功，等于流段机械能（动能和势能）的增量。1.外力做功作用于元流侧面上的动水压强与液体运动的方向垂直，不作功。作用在过水断面1-1上的动水压力与液体运动方向相同，作正功；作用在过水断面2-2上的动水压力与液体运动方向相反，作负功.

故压力做功为：－＝对于理想液体，μ=0，因此不存在切向力及其作功.2.机械能增量机械能的增量是这段元流移动后位置（1‘-2’）和移动前位置（1-2）所有机械能之差。第27页，共73页，2023年，2月20日，星期一（1）动能增量：－＝（2）势能增量：－＝恒定流动：在dt时段前后所共有的1’-2两断面间的液体的质量及位置没有改变，各点流速也不变，因此动能、位能也保持不变。所以，机械能增量等于液体所占据的新位置2-2’的机械能减去原有位置1-1’的机械能。第28页，共73页，2023年，2月20日，星期一（3）根据功能原理各项除以dt，并按断面分别列入等式两边：——表示全部重量液体的能量平衡方程将上式除以γdQ，得出单位重量液体的能量方程，或简称为单位能量方程：第29页，共73页，2023年，2月20日，星期一（4）伯诺里方程及其意义：在方程的推导过程中，两断面是任意选取的。很容易把这个关系推广到元流的任意断面,即:

Z—断面相对于选定基准面的高度，水力学中称为位置水头，表示单位重量液体的位置势能，简称位能。

—断面压强作用使液体沿测压管所能上升的高度，水力学中称压强水头，表示压力作功所能提供的单位能量，简称压能。

—不计射流本身重量和空气阻力时，以断面流速u为初速的铅直上升射流所能达到的高度，水力学中称流速水头，表示单位重量液体动能。第30页，共73页，2023年，2月20日，星期一

测压管水头—表示断面测压管水面相对于基准面的高度，表明单位势能，以Hp表示：断面总水头—表明单位总能量，以H表示：意义：理想不可压缩液体恒定元流中，各断面总水头相等，单位重量的总能量保持不变。第31页，共73页，2023年，2月20日，星期一流速水头可用皮托管测定。皮托管前端管口正对河水来流方向，另一端垂直向上，测速管液面与河水水面的高差即是所测点的流速水头。在有压管中，采用测速管与测压管结合测定。测速管液面与测压管液面的高差即是所测点的流速水头。第32页，共73页，2023年，2月20日，星期一

上式表明，只要测量出流体的运动全压和静压水头的差值h，就可以确定流体的流动速度。由于流体的特性，以及皮托管本身对流动的干扰，实际流速比用该式计算出的要小，因此，实际流速为

式中ψ—流速修正系数，一般由实验确定，ψ=0.97

理想液体元流伯努利方程的应用条件：①理想液体②恒定流动③质量力只有重力④沿流线（元流）和不可压缩液体第33页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.4.2实际液体恒定元流能量方程一、原理：实际液体都具有粘滞性，在流动过程中由于质点之间以及液流与边壁之间摩擦阻力作功，消耗液流的一部分机械能，使之不可逆地转变为热能等能量形式而消耗掉，因而液流的机械能沿程减少二、公式：

—元流1-2两断面间单位能量的衰减（称为元流的水头损失）0012第34页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.5恒定总流能量方程（伯诺里方程）3.5.1恒定总流能量方程一、原理:由前面已经得到了实际液体恒定元流能量方程式。进一步把它推广到总流，以得到工程实际中，对平均流速和压强计算极为重要的总流能量方程。二、推导：将式各项同乘以γdQ，并在两过水断面上积分，即得总流能量关系式：第35页，共73页，2023年，2月20日，星期一三、三类积分分析：1.

表示单位时间通过总流过水断面的液体势能的总和。若所取的过水断面为均匀流或渐变流，则断面上各点的等于常数。从而，两断面的势能积分可写为：

2.表示单位时间通过总流过水断面的液体动能的总和.第36页，共73页，2023年，2月20日，星期一

一般情况下过水断面上各点的流速u是不相等的，其变化规律也因具体情况不同而异，要直接积分该式也是困难的。但在一般工程问题中，往往只需计算总流的断面平均流速v，因此，可用v计算的动能代替实际的动能，但两者并不相等，为此引入修正系数α：因此：α称为动能修正系数，其值取决于总流过水断面的流速分布，流速分布越均匀，α值越接近于1。一般流动中α=1.05-1.10，在工程计算中常取α=1。第37页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.

表示单位时间内克服1-2流段阻力作功所损失的能量。总流中各元流中能量损失也是沿断面变化。为了方便计算，设hω为平均单位能量损失，则:四、总流总能量方程式：恒定流Q1＝Q2＝Q

单位时间内流入上游断面的能量，等于同时间流出下游断面的能量，加上流段损失的能量第38页，共73页，2023年，2月20日，星期一五、伯诺里方程

实用上极其重要的实际液体恒定总流能量方程式，或称伯诺里方程：对式（3-23）各项除以γQ：＝＋形式上类似于实际液体恒定元流能量方程，但是以断面平均流速v代替点流速u（相应地考虑动能修正系数α），以平均水头损失hω代替元流的水头损失hω’

。其各项的物理意义和几何意义与元流能量方程相类似。

实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。

第39页，共73页，2023年，2月20日，星期一应用能量方程式的条件：（1）恒定流；（2）质量力只有重力；

(3)不可压缩流体；（4）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流；（5）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或分出。若有分支，则应对第一支水流建立能量方程式，例如图示有支流的情况下,能量方程为：（6）流程中途没有能量H输入或输出。若有，则能量方程式应为：Q1Q2Q3112233第40页，共73页，2023年，2月20日，星期一

例1.如图所示，一等直径的输水管，管径为d=100mm，水箱水位恒定，水箱水面至管道出口形心点的高度为H=2m，若不水流运动的水头损失，求管道中的输水流量。H分析：Q=VA；A=πd2/4所以需要用能量方程式求出V；221100解：对1-1、2-2断面列能量方程式：其中：所以有：可解得：则：答：该输水管中的输水流量为0.049m3/s。第41页，共73页，2023年，2月20日，星期一文丘里流量计（文丘里量水槽）1122收缩段喉管扩散段hh1h2h1h2B1B2111222h以管轴线为高程基准面，暂不计水头损失，对1-1、2-2断面列能量方程式：整理得：由连续性方程式可得：或代入能量方程式，整理得：则当水管直径及喉管直径确定后，K为一定值，可以预先算出来。若考虑水头损失，实际流量会减小，则μ称为文丘里管的流量系数，一般约为0.95~0.98第42页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.5.3总流能量方程的应用要点一、基准面是计算位置水头的依据，原则上可以任选，但必须是水平面，且对于两个确定的过水断面，必须选取同一基准面。通常使z≥0；二、两计算断面必须是均匀流或渐变流断面，并使其中的未知数最少且包含有所要求的未知量；三、过水断面上的计算点原则上可以任取，为方便起见，通常对于管流取在断面形心（管轴）点，对于明渠流取在自由液面上。但是，若断面取在管流出口处，必须取断面中心点作计算点，因为它的高度代表整个断面势能的平均值。四、两断面的压强可用相对压强或绝对压强，但必须采用相同的计算基准。一般用相对压强。五、注意方程中各项单位的统一。第43页，共73页，2023年，2月20日，星期一【例题】有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。第44页，共73页，2023年，2月20日，星期一【例题】有一贮水装置如图所示，贮水池足够大，当阀门关闭时，压强计读数为2.8个大气压强。而当将阀门全开，水从管中流出时，压强计读数是0.6个大气压强，试求当水管直径d=12cm时，通过出口的体积流量(不计流动损失)。

【解】当阀门全开时列1-l、2-2截面的伯努利方程

当阀门关闭时，根据压强计的读数，应用流体静力学基本第45页，共73页，2023年，2月20日，星期一

方程求出Ｈ值则代入到上式（m/s）所以管内流量

第46页，共73页，2023年，2月20日，星期一【例题】水流通过如图所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。第47页，共73页，2023年，2月20日，星期一【例题】水流通过如图所示管路流入大气，已知：Ｕ形测压管中水银柱高差Δh=0.2m，h1=0.72mH2O，管径d1=0.1m，管嘴出口直径d2=0.05m，不计管中水头损失，试求管中流量qv。

【解】首先计算1-1断面管路中心的压强。因为A-B为等压面，列等压面方程得：

则

列1-1和2-2断面的伯努利方程第48页，共73页，2023年，2月20日，星期一3、一矩形断面平底水渠，宽度2.7米，河床在某断面处抬高0.3米，抬高前的水深为1.8米，抬高后水面降低0.12米，若水头损失为尾渠流速水头的一半，则流量Q为多少？第49页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.6恒定总流动量方程

动量方程：将运动液体与固体边壁相互间的作用力直接同运动液体的动量联系起来。它的特殊优点是不需要知道流动范围内部的流动情况，而只需要知道其边界上的流动状况即可。3.6.1恒定总流动量方程推导一、原理：恒定总流的动量方程是根据理论力学中的质点系动量定理导得的。二、定义：在dt时间内，质点系的动量变化dK等于该质点系所受外力的合力F在这一时间内的冲量Fdt，即

dK=d(∑mu)=Fdt第50页，共73页，2023年，2月20日，星期一三、推导：1.恒定元流动量方程：

2.动量修正系数β：实际动量与按v计算的动量之比，即：β值与总流过水断面的流速分

布有关。一般流动的β=1.02－1.05，在工程计算中常取β=1。第51页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.恒定总流动量方程：作用于流段全部外力的向量和，等于单位时间内流出断面的动量和流入断面的动量的向量差。取β1＝β2＝1：4.分析：项内只包含重力和压力：（1）流段所受重力，它的大小为流段的重量。用G=γV来计算，V为流段的体积。它的方向向下，并通过体积V的形心。（2）流段所受两端压力。（3）流段所受固体侧面压力R。（4）ρQv1-ρQv2为惯性力，它们都面向流段。第52页，共73页，2023年，2月20日，星期一3.6.2动量方程的应用要点1.应用动量方程前，一般应先用连续性方程和能量方程求出控制断面的流速v和压强p，因此，所选择的两个过水断面，应符合渐变流条件。2.正确地选择并绘出计算流段的隔离体。3.由于动量方程是个矢量方程，为避免方向错误，因此在实用上一般宜采用投影式进行计算。4.注意ρQv与P等参数单位的一致。5.根据动量方程求得的是固体边壁对液流的作用力6.液流对固体边壁作用力F与R是一对作用力与反作用力。7.方程不仅适用于理想液体，而且也适用于实际液体。第53页，共73页，2023年，2月20日，星期一动量方程式在工程中的应用弯管内水流对管壁的作用力水流对建筑物的作用力射流对平面壁的冲击力第54页，共73页，2023年，2月20日，星期一弯管内水流对管壁的作用力管轴水平放置管轴竖直放置1122P1=p1A1P2=p2A·2RGxzyV1V2RzRx沿x方向列动量方程为：沿z方向列动量方程为：沿x方向列动量方程为：沿y方向列动量方程为：P1=p1A1P2=p2A·2RV1V2RyRxxy第55页，共73页，2023年，2月20日，星期一例题一变径弯管，轴线位于同一水平面，转角，直径由dA＝200mm变为

dB＝150mm，在流量时，压强，求流对AB

段弯管的作用力。不计弯管段的水头损失。解：求解流体与边界的作用力问题，一般需要联合使用连续性方程，能量方程和动量方程。例题附图第56页，共73页，2023年，2月20日，星期一第57页，共73页，2023年，2月20日，星期一水流对建筑物的作用力FP1122xFP1=ρgbh12/2FP2=ρgbh22/2FR沿x方向列动量方程为：第58页，共73页，2023年，2月20日，星期一射流对平面壁的冲击力FPV000VV1122FRV0VVx沿x方向列动量方程为：整理得：第59页，共73页，2023年，2月20日，星期一例：设有一股自喷嘴以速度v0喷射出来的水流，冲击在一个与水流方向成α角的固定平面壁上，当水流冲击到平面壁后，分成两面股水流流出冲击区，若不计重量（流动在一个水平面上），并忽略水流沿平面壁流动时的摩擦阻力，试推求射流施加于平面壁上的压力FP，并求出Q1和Q2各为多少？FP001122V0V2Q2V