空间直角坐标系与距离

空间直角坐标系与距离第1页，共51页，2023年，2月20日，星期一

怎样确切的表示室内灯泡的位置？问题2第2页，共51页，2023年，2月20日，星期一对问题1,2的分析

对于直线上的点，我们可以通过建立数轴来确定点的位置；

对于平面上的点，我们可以通过建立平面直角坐标系来确定点的位置；

对于空间中的点，我们也希望建立适当的坐标系来确定点的位置.

因此，如何在空间中建立坐标系，就成为我们需要研究的课题.第3页，共51页，2023年，2月20日，星期一空间直角坐标系§4.3.1第4页，共51页，2023年，2月20日，星期一知识探究（一）：空间直角坐标系

归纳:数轴上的点M的坐标用一个实数x表示，它是一维坐标；平面上的点M的坐标用一对有序实数（x，y）表示，它是二维坐标.设想：对于空间中的点M的坐标，需要几个实数表示？OxxOx(x,y)y第5页，共51页，2023年，2月20日，星期一联想并思考1:平面直角坐标系是由两条互相垂直的数轴组成，请大家想一想：怎样建立一个空间直角坐标系？空间直角坐标系由几条数轴组成呢？其相对位置关系如何？三条交于一点且两两互相垂直的数轴

第6页，共51页，2023年，2月20日，星期一空间直角坐标系的建立：在空间中，过任意的一点O作三条两两互相垂直的具有相同长度单位的数轴：x轴、y轴、z轴，组成空间直角坐标系O-xyz，(如下图所示）其中点O叫做坐标原点，x轴、y轴、z轴叫做坐标轴，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，并分别称为xOy平面、yOz平面、xOz平面.xyzOxzyO第7页，共51页，2023年，2月20日，星期一zxyABCOA`D`C`B`第8页，共51页，2023年，2月20日，星期一空间直角坐标系—Oxyz横轴纵轴竖轴右手直角坐标系第9页，共51页，2023年，2月20日，星期一伸出右手，让四指与大拇指垂直并使四指先指向x轴正方向，然后让四指沿握拳方向旋转90度指向y轴正方向，此时大拇指的指向即为z轴正方向。称为右手（直角坐标）系。第10页，共51页，2023年，2月20日，星期一知识探究（二）空间直角坐标系中点的坐标

思考1:在平面直角坐标系中，点M的横坐标、纵坐标的含义如何？Ox(x,y)y|x||y|思考:在空间直角坐标系中，怎样描述一点M位置呢？第11页，共51页，2023年，2月20日，星期一

在空间直角坐标系中，设点M为空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴、z轴的平面，垂足为P、Q、R.设点P、Q、R在x轴、y轴、z轴上的坐标分别为x、y、z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）。POxMyzxxROMyzzQOxMyzy第12页，共51页，2023年，2月20日，星期一

设点M是空间的一个定点，过点M分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，依次交x轴、y轴和z轴于点P、Q和R．空间直角坐标系中点的坐标的确定方法yxzMO

设点P、Q和R在x轴、y轴和z轴上的坐标分别是x，y和z，那么点M就对应唯一确定的有序实数组（x，y，z）．MRQP第13页，共51页，2023年，2月20日，星期一

反过来，对于一个有序实数组（x，y，z），它也唯一的对应着空间直角坐标系中的点。在x轴、y轴和z轴上依次取坐标为x，y和z的点P、Q,RyxzM’OMRQP

分别过P、Q、

R各作一个平面，分别垂直于x轴、y轴和z轴，

这三个平面的唯一交点就是有序实数组（x，y，z）确定的点M．第14页，共51页，2023年，2月20日，星期一我们把有序实数组（x，y，z）称为点M的空间坐标，记为M（x，y，z）其中x、y、z分别叫做点M的横坐标、纵坐标、竖坐标。ABCOxMyzxyz点M（X，Y，Z）第15页，共51页，2023年，2月20日，星期一yxzABCO例:OABC—A’B’C’D’是单位正方体．以O为原点分别以射线OA,OC,OD’的方向为正方向，以线段OA,OC,OD’的长为单位长，建立空间直角坐标系O—xyz．试说出正方体的各个顶点的坐标．(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1)第16页，共51页，2023年，2月20日，星期一例1、在空间直角坐标系中描出下列各点，并说明这些点的位置。yxOz111•••ABC•DEF••2223解：A（0,1,1）B（0,0,2）C（0,2,0）D（1,0,3）E（2,2,0）F（1,0,0）第17页，共51页，2023年，2月20日，星期一例如在空间直角坐标系中怎样求点M(1，2，3)的位置呢？

方法一：分析：在x轴上取点P(1,0,0),在y轴上取点Q(0,2,0)，在z轴上取点R(0,0,3)然后过A,B,C分别作x轴，y轴,

z轴的垂面，则这三个垂面的交点就是点P如图所示：方法二：先画一个长方体使共顶点的三条棱长分别为1,2,3MOCBxyMAz第18页，共51页，2023年，2月20日，星期一例题例1、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=2，写出D`，C，A`，B`四点的坐标.A`B`xzyOCAD`BC`(0,0,2)(0,4,0)(3,0,2)(3,4,2)第19页，共51页，2023年，2月20日，星期一yxzABCO例:OABC—A’B’C’D’是单位正方体．以O为原点分别以射线OA,OC,OD’的方向为正方向，以线段OA,OC,OD’的长为单位长，建立空间直角坐标系O—xyz．试说出正方体的各个顶点的坐标．并指出哪些点在坐标轴上，哪些点在坐标平面上．(0，0，0)(1，0，0)(1，1，0)(0，1，0)(1，0，1)(1，1，1)(0，1，1)(0，0，1)第20页，共51页，2023年，2月20日，星期一xoy平面上的点竖坐标为0

例如：D点坐标记为D(a,b,0)yoz平面上的点横坐标为0

例如：E点坐标记为E(0,b,c)xoz平面上的点纵坐标为0

例如：F点坐标记为F(a,0,c)x轴上的点纵坐标竖坐为0.例如：A点坐标记为A(a,0,0)z轴上的点横坐标纵坐标为0.例如：C点坐标记为C(0,0,c)y轴上的点横坐标竖坐标为0.例如：B点坐标记为B(0,b,0)二、坐标平面内的点一、坐标轴上的点规律总结：ABCOxMyzDEF第21页，共51页，2023年，2月20日，星期一如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标。例2yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）1258第22页，共51页，2023年，2月20日，星期一如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标。例2yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）在平面xOy的点有哪些?这些点的坐标有什么共性?第23页，共51页，2023年，2月20日，星期一如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标。例2yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）在平面xOz的点有哪些?这些点的坐标有什么共性?第24页，共51页，2023年，2月20日，星期一如图，长方体ABCD-A′B′C′D′的边长为AB=12，AD=8，AA′=5.以这个长方体的顶点A为坐标原点，射线AB，AD，AA′分别为，x轴、y轴和z轴的正半轴，建立空间直角坐标系，求长方体各个顶点的坐标。例2yxzA（0，0，0）B（12，0，0）C（12，8，0）D（0，8，0）C’（12，8，5）B’（12，0，5）A’（0，0，5）D’（0，8，5）在平面yOz的点有哪些?这些点的坐标有什么共性?第25页，共51页，2023年，2月20日，星期一点M(x,y,z)是空间直角坐标系中的一点，则有（1）与M点关于X轴对称的点为(x,-y,-z)（2）与M点关于Y轴对称的点为(-x,y,-z)（3）与M点关于Z轴对称的点为(-x,-y,z)（4）与M点关于原点对称的点为(-x,-y,-z)（5）与M点关于xoy平面对称的点为(x,y,-z)（6）与M点关于yoz平面对称的点为(-x,y,z)（7）与M点关于xoz平面对称的点为(x,-y,z)第26页，共51页，2023年，2月20日，星期一

在空间直角坐标系中，x轴上的点、y轴上的点、z轴上的点，xOy坐标平面内的点、xOz坐标平面内的点、yOz坐标平面内的点的坐标各具有什么特点？总结:x轴上的点的坐标的特点：xOy坐标平面内的点的特点：xOz坐标平面内的点的特点：yOz坐标平面内的点的特点：y轴上的点的坐标的特点：z轴上的点的坐标的特点：Ｐ（m，0，０）Ｐ（０，m，０）Ｐ（０，0，m）Ｐ（m，n，０）Ｐ（０，m，n）Ｐ（m，0，n）第27页，共51页，2023年，2月20日，星期一结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞示意图（可看成是八个棱长为1/2的小正方体堆积成的正方体），其中红色点代表钠原子，黑点代表氯原子，如图：建立空间直角坐标系后，试写出全部钠原子所在位置的坐标。例5yzx第28页，共51页，2023年，2月20日，星期一第29页，共51页，2023年，2月20日，星期一

解：把图中的钠原子分成上、中、下三层来写它们所在位置的坐标．

例5，

结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图（可看成是八个棱长为的小正方体堆积成的正方体），其中色点代表钠原子，黑点代表氯原子．如图建立空间直角坐标系O-xyz后，试写出全部钠原子所在位置的坐标．xyzO第30页，共51页，2023年，2月20日，星期一

上层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为1，所以，这五个钠原子所在位置的坐标分别是:（0，0，1），（1，0，1），（1，1，1），（0，1，1），（，，1）．

中层的原子所在的平面平行于平面，与轴交点的竖坐标为，所以，这四个钠原子所在位置的坐标分别是（，0，），（1，，），（，1，），（0，，）；

下层的原子全部在平面上，它们所在位置的竖坐标全是0，所以这五个钠原子所在位置的坐标分别是(0，0，0)，（1，0，0）,（1，1，0）,（0，1，0）,（，，0）.xyzO第31页，共51页，2023年，2月20日，星期一zxyO练习3、在空间直角坐标系中标出下列各点：A(0,2,4)B(1,0,5)C(0,2,0)D(1,3,4)134D`D第32页，共51页，2023年，2月20日，星期一练习1、如下图，在长方体OABC-D`A`B`C`中，|OA|=3，|OC|=4，|OD`|=3，A`C`于B`D`相交于点P.分别写出点D`

，B`，P的坐标.xzyOACD`BA`B`C`PP`(0,0,3)(3,4,3)(3/2,2,3)已知点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),且线段P1P2的中点为M(x,y,z),则中点坐标公式第33页，共51页，2023年，2月20日，星期一练习zxyABCOA`D`C`B`Q2、如图，棱长为a的正方体OABC-D`A`B`C`中，对角线OB`于BD`相交于点Q.顶点O为坐标原点，OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴上.试写出点Q的坐标.(0,0,0)(a,a,a)第34页，共51页，2023年，2月20日，星期一对称点xyOx0y0(x0,y0)P(x0,-y0)P1横坐标不变，纵坐标相反。(-x0,y0)P2横坐标相反，纵坐标不变。P3横坐标相反，纵坐标相反。-y0-x0(-x0,-y0)第35页，共51页，2023年，2月20日，星期一对称点一般的P(x,y,z)关于：（1）x轴对称的点P1为__________;

（2）y轴对称的点P2为__________;（3）z轴对称的点P3为__________;关于谁对称谁不变第36页，共51页，2023年，2月20日，星期一练习1：点M(x,y,z)是空间直角坐标系Oxyz中的一点，写出满足下列条件的点的坐标(1)与点M关于x轴对称的点(2)与点M关于y轴对称的点(3)与点M关于z轴对称的点(4)与点M关于原点对称的点(5)与点M关于xOy平面对称的点(6)与点M关于xOz平面对称的点(7)与点M关于yOz平面对称的点(x,-y,-z)(-x,y,-z)(-x,-y,z)(-x,-y,-z)(x,y,-z)(x,-y,z)(-x,y,z)第37页，共51页，2023年，2月20日，星期一两点间距离公式类比猜想第38页，共51页，2023年，2月20日，星期一zxyOP(x,y,z)(1)在空间直角坐标系中,任意一点P(x,y,z)到原点的距离：P`(x,y,0)空间两点间的距离公式第39页，共51页，2023年，2月20日，星期一zxyOP2(x2,y2,z2)(1)在空间直角坐标系中，任意两点P1(x1,y1,z1)和P2(x2,y2,z2)间的距离：NP1(x1,y1,z1)MH第40页，共51页，2023年，2月20日，星期一1、在空间直角坐标系中标出求A、B两点，并求出它们之间的距离：

(1)A(2,3,5)