离散数学命题函数与量词

离散数学命题函数与量词1第1页，共20页，2023年，2月20日，星期一一、命题函数与命题逻辑中命题常量和命题变元的概念类似，代表个体的个体标识符也可以表示客体（个体常量）或客体变元（个体变元）表示具体或特定个体的标识符称作个体常元，一般用小写英文字母a、b、c、…或这些英文字母带下标表示。将表示任意个体或泛指某类个体的标识符称为个体变元，常表示为x、y、z、…等或这些英文字母带下标。2第2页，共20页，2023年，2月20日，星期一一、命题函数设H是谓词“能到达山顶”i表示客体李四、t表示老虎，c表示汽车H(i)、H(t)、H(c)分别表示了三个不同命题，它们有一个共同的共同的形式，即H(x)x取l时表示：李四能到达山顶

x取t时表示：老虎能到达山顶

x取c时表示：汽车能到达山顶同理，若L(x,y)表示“x小于y”,那么L(2,3)表示一个真命题：2小于3。而L(5,1)则表示假命题:5小于1又如A(x,y,z)表示“x+y=z”,则A(3,2,5)是一个真命题，而A(1,2,4)是一个假命题。3第3页，共20页，2023年，2月20日，星期一一、命题函数上述三例中H(x),L(x,y),A(x,y,z)（其中x,y,z为客体变元）本身不是一个命题，只有当x,y,z取特定客体时，才确定了一个命题。定义2-2.1由一个谓词，一些客体变元组成的表达式称为简单命题函数。由这个定义可知，n元谓词就是有n个客体变元的命题函数。当n=0时称为0元谓词，它本身就是一个命题，所以命题是n元谓词（命题函数）的一个特殊情况。4第4页，共20页，2023年，2月20日，星期一一、命题函数因为命题函数中包含客体变元，因此命题函数没有确定的真值，它不是命题。只要用客体取代所有的个体变元，就得到了命题。

例如，用H(x,y)：x+y≥0，显然此命题函数不是命题，因为它无法判断真假。令

a：5,b：-7

用a,b分别取代x,y，就得到H(a,b)，它表示5+(－7)≥0，这是个假命题，它的真值为假。用个体常元取代命题函数的所有个体变元所得到的表达式就是前面所说的谓词填式。也把谓词填式叫做0元谓词（含0个客体变元）。5第5页，共20页，2023年，2月20日，星期一一、命题函数由一个或n个简单命题函数以及逻辑联结词组合而成的表达式称复合命题函数。逻辑联结词、∧、∨、→、↔的意义与命题演算中的解释完全类同。例：将下列命题符号化，并讨论它们的真值。⑴2与3都是偶数。⑵如果5大于3，则2大于6。解：⑴设F(x)：x是偶数。

a：2，b：3

该命题符号化为：F(a)∧F(b)F(b)表示3是偶数，它是个假命题。所以F(a)∧F(b)为假。⑵设G(x,y)：x大于ya：5，b：3，c：2，d：6

该命题符号化为：G(a,b)→G(c,d)

G(a,b)表示5大于3，它是真命题。G(c,d)表示2大于6，这是个假命题。所以G(a,b)→G(c,d)为假。书例见P56例1-例36第6页，共20页，2023年，2月20日，星期一二、个体域客体变元的取值范围对命题函数是否可成为命题及其真值极有影响例4R(x)：x是大学生如果x的讨论范围是某大学里班级中的学生，则R(x)是永真式如果x的讨论范围是某中学班级里中的学生，则R(x)是永假式。而如果x的讨论范围是一个剧场中的观众，其中有一部分大学生，那么，对某些观众，R(x)为真，对另一些观众R(x)为假。7第7页，共20页，2023年，2月20日，星期一二、个体域例5(P(x,y)∧P(y,z))→P(x,z)若P(x,y)：x小于y。当x,y,z都在实数域中取值时，该式永真若P(x,y)：x为y的儿子。当x,y,z都指人时，该式永假若P(x,y)：x距离y10米。若x,y,z表示地面上的房子，则命题的真值将由x,y,z的具体位置而定，可能为真，也可能为假。8第8页，共20页，2023年，2月20日，星期一二、个体域可以看出命题函数确定为命题与客体变元的论述范围有关。在命题函数中，客体变元的论述范围称为个体域或论域。个体域可以是有限的，也可以是无限的，包含任意个体域的个体域称为全总个体域，它是由宇宙间一切对象组成的集合。9第9页，共20页，2023年，2月20日，星期一三、量词有了客体变元和谓词之后，有些命题还是不能准确的符号化，原因是还缺少表示客体（变元）之间数量关系的词。称表示客体（变元）之间数量关系的词为量词。量词可分两种:⑴全称量词

日常生活和数学中常用的“一切的”，“所有的”，“每一个”，“任意的”，“凡”，“都”等词统称为全称量词，将它们符号化为“”。并用(x)，(y)等表示个体域里的所有个体，而用(x)F(x)和(y)G(y)等分别表示个体域中的所有个体都有性质F和都有性质G。10第10页，共20页，2023年，2月20日，星期一三、量词例（a）所有人都是要呼吸的。

(b)每个学生都要参加考试。

(c)任何整数或是正的或是负的。若设M(x):x是人，H(x):x要呼吸。

P(x):x是学生，Q(x):x要参加考试。

I(x):x是整数,R(x):x是正数，N(x):x是负数。则(a)记为（x）(M(x)→H(x))(b)记为（x）(P(x)→Q(x))

(c)记为（x）(I(x)→(R(x)∨N(x))11第11页，共20页，2023年，2月20日，星期一三、量词⑵存在量词

“存在”，“有一个”，“有些”，“至少有一个”等词统称为存在量词，将它们符号化为“”。并用(x)，(y)等表示个体域里有些个体，而用(x)F(x)和(y)G(y)等分别表示在个体域中存在个体具有性质F和存在个体具有性质G。例(a)存在一个数是质数。

(b)一些人是聪明的。

(c)有些人早饭吃面包。设P(x)：x是质数。

M(x):x是人。

E(x):x早饭吃面包。则(a)记为(x)(P(x))(b)记为(x)(M(x)∧R(x))(c)记为(x)(M(x)∧E(x))12第12页，共20页，2023年，2月20日，星期一三、量词全称量词与存在量词统称为量词。每个由量词确定的表达式，都与个体域有关，如前列中（x）(M(x)→H(x))表示所有的人都要呼吸，若把个体域限制在“人类”这个范围中，那么亦可简单的表示为（x）(H(x))

指定论域不仅与表达形式有关，而且与命题的真值有关，如上例中设论域为“自然数”，则命题的真值为F。为了方便，我们将所有命题函数的个体域全部统一，使用全总个体域。13第13页，共20页，2023年，2月20日，星期一三、量词例：用谓词表达式写出下列命题。（1）爱美之心人皆有之。设F(x):x为人，G(x):x爱美。

（2）有人爱发脾气。设F(x):x为人，G(x):x爱发脾气。（3）说所有人都爱吃面包是不对的。

F(x)：x为人，G(x):x爱吃面包（4）没有不吃饭的人。

F(x):x为人，G(x):x吃饭（5）一切人都不一样高。

F(x):x为人，H(x,y):x与y不同，L(x,y):x与y一样高。（6）并不是所有的汽车比所有的火车快。

F(x):x为汽车，G(y):y为火车，H(x,y):x比y快14第14页，共20页，2023年，2月20日，星期一三、量词解：(1)设F(x):x为人，G(x):x爱美。

x(F(x)→G(x))。

*将公式翻译自然语言可以这样叙述“对于宇宙间一切事物x而言，如果x是人，则x是爱美的”，即“爱美之心人皆有之”，它反映了爱美是人的共性之一。

(2)设F(x):x为人，G(x):x爱发脾气。x(F(x)∧G(x))。

*叙述为“宇宙中存在着一些事物x,x是人，而且x爱发脾气。

15第15页，共20页，2023年，2月20日，星期一三、量词*从(1)(2)中可以看出，若个体域使用了全总个体域，需要对每一个客体变元的变化范围用谓词加以限制，这个谓词表示了一个非全总个体域的个体域，称为特性谓词。一般的，对全称量词，特性谓词常作原命题公式的蕴含前件。如：x(F(x)→G(x))一般的，对存在量词，特性谓词常作为原命题公式的合取项。如：x(F(x)∧G(x))16第16页，共20页，2023年，2月20日，星期一三、量词(3)本命题是对“所有人都爱吃面包”的否定，仿照第1）题，容易看出，它的符号化形式为

┐x(F(x)→G(x))(其中，F(x)：x为人，G(x):x爱吃面包)

又容易看出，本命题与“有人不爱吃面包”是一回事，所以还可以符号化为：

x(F(x)∧┐G(x))

(4)本题是对“有不吃饭的人”的否定，仿照（2），容易看出，它的符号化形式为：

┐

x(F(x)∧┐G(x))

(其中，F(x):x为人，G(x):x吃饭)又不难看出，本命题与“所有人都吃饭”是一回事，因而有可以符号化为：

x(F(x)→G(x))

17第17页，共20页，2023年，2月20日，星期一三、量词(5)一切人都不一样高。

令F(x):x为人，H(x,y):x与y不同，L(x,y):x与y一样高。命题符号化为：x(F(x)→y(F(y)∧H(x,y)→┐L(x,y)))

又可以写成：

xy(F(x)∧F(y)∧H(x,y)→┐L(x,y))

(6)并不是所有的汽车比所