材料力学弯曲变形

材料力学弯曲变形第1页/共109页第六章弯曲变形

(DeflectionofBeams)

§6-1

基本概念及工程实例（Basicconceptsandexampleproblems)

§6-4

用叠加法求弯曲变形

(Beamdeflectionsbysuperposition)§6-3

用积分法求弯曲变形（Beamdeflectionbyintegration)§6-2

挠曲线的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)§6-5

静不定梁的解法(Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams)§6-6提高弯曲刚度的措施(Themeasurestostrengthenrigidity)第2页/共109页

§6-1

基本概念及工程实例（Basicconceptsandexampleproblems）一、为何要研究弯曲变形仅保证构件不会发生破坏，但如果构件的变形太大也不能正常工作。1、构件的变形限制在允许的范围内。第3页/共109页车削加工一等截面构件，如果构件的的变形过大，会加工成变截面；案例1：第4页/共109页如果钻床的变形过大，受工件的反力作用；摇臂钻床简化为刚架，不能准确定位。案例2：第5页/共109页车间桁吊大梁的过大变形案例3：第6页/共109页会使梁上小车行走困难，造成爬坡现象；还会引起较严重的振动；第7页/共109页桥梁如果产生过大变形楼板、床、双杠横梁等都必须把它们的变形限制在允许的范围内。屋顶第8页/共109页汽车板簧应有较大的弯曲变形,才能更好的起到缓和减振的作用；案例1：２、工程有时利用弯曲变形达到某种要求。第9页/共109页安装在工程机械驾驶室上方的ROPS/FOPS要求其在碰撞的过程中有较大的变形吸收落物或碰撞能量，保证驾驶员的人身安全案例2：第10页/共109页案例3：当今时代汽车工业飞速发展，道路越来越拥挤，一旦发生碰撞，你认为车身的变形是大好还是小好？第11页/共109页案例4：蹦床、跳板跳水要有大变形，才能积蓄能量，将人体弹射到一定高度。第12页/共109页3、研究弯曲变形还广泛应用于超静定问题分析、稳定性分析以及振动分析等方面。除了解决构件的刚度外，第13页/共109页1.挠度（Deflection）二、基本概念（Basicconcepts）w挠度AByx

横截面形心C（即轴线上的点）在垂直于x轴方向的线位移,称为该截面的挠度.用w表示.C'C第14页/共109页2.转角

（Slope）转角AC'CyB

xw挠度（

横截面对其原来位置的角位移,称为该截面的转角.用表示第15页/共109页3.挠曲线

（Deflectioncurve）梁变形后的轴线称为挠曲线.

式中,x

为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w

为该点的挠度.挠曲线yAB

x转角w挠度（C'C

挠曲线方程（equationofdeflectioncurve）为第16页/共109页4.挠度与转角的关系（Relationshipbetween

deflectionandslope）：yABx转角w挠度C'C挠曲线第17页/共109页5.挠度和转角符号的规定（Signconventionfordeflectionandslope）

yABx转角w挠度C'C挠曲线挠度和转角的符号是根据所选坐标系而定的挠度：与y轴正向一致为正，反之为负。转角：挠曲线上某点处斜率为正时，转角为正，反之为负。第18页/共109页§6-2

挠曲线的微分方程（Differentialequationofthedeflectioncurve)一、推导公式（Derivationoftheformula)1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系（Relationshipbetweenthecurvatureofbeamandthebendingmoment）

横力弯曲时,M

和都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影响,则第19页/共109页2.由数学得到平面曲线的曲率（Thecurvaturefromthemathematics）与1相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为第20页/共109页

在规定的坐标系中,x轴水平向右为正,w轴竖直向上为正.

曲线向上凸时:OxwxOw

因此,与的正负号相同

曲线向下凸时:(6.5)第21页/共109页

此式称为

梁的挠曲线近似微分方程（differentialequationofthedeflectioncurve）(6.5)

近似原因:（1）略去了剪力的影响;（3）（2）略去了

项;第22页/共109页

§6-3

用积分法求弯曲变形（Beamdeflectionbyintegration)一、微分方程的积分

（Integratingthedifferentialequation)

若为等截面直梁,其抗弯刚度EI为一常量上式可改写成第23页/共109页2.再积分一次,得挠度方程（Integratingagaingivestheequationforthedeflection）二、积分常数的确定（Evaluatingtheconstantsofintegration）1.边界条件（Boundaryconditions）

2.连续条件（Continueconditions）

1.积分一次得转角方程（Thefirstintegrationgivestheequationfortheslope）第24页/共109页AB

在简支梁中,左右两铰支座处的挠度和都等于0.

在悬臂梁中,固定端处的挠度和转角都应等于0.AB第25页/共109页ABxFw例题1图示一抗弯刚度为EI的悬臂梁,在自由端受一集中力F作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度和最大转角第26页/共109页（1）弯矩方程为解：（2）挠曲线的近似微分方程为xwABxF

对挠曲线近似微分方程进行积分第27页/共109页

梁的转角方程和挠曲线方程分别为

边界条件

将边界条件代入（3）（4）两式中,可得第28页/共109页BxyAF（）都发生在自由端截面处和（）第29页/共109页例题2图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其和ABql第30页/共109页

解:由对称性可知,梁的两个支反力为ABqlFRAFRBx

此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为第31页/共109页

梁的转角方程和挠曲线方程分别为

边界条件x=0和x=l时,

xABqlFRAFRBAB

在x=0和x=l处转角的绝对值相等且都是最大值，

最大转角和最大挠度分别为wmax

在梁跨中点处有最大挠度值第32页/共109页例题3图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在D点处受一集中力F的作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转角.ABFDabl第33页/共109页解:梁的两个支反力为FRAFRBABFDabl12xx

两段梁的弯矩方程分别为第34页/共109页

两段梁的挠曲线方程分别为

（a）（0x

a）近似微分方程

转角方程

挠度方程

（b）（a

x

l

）第35页/共109页D点的连续条件

边界条件

在x=a处

在x=0处,

在x=l处,

代入方程可解得:ABFDab12FRAFRB第36页/共109页

（a）（0x

a）

（b）（a

x

l

）第37页/共109页

将x=0和x=l

分别代入转角方程左右两支座处截面的转角

当a>b

时,右支座处截面的转角绝对值为最大第38页/共109页

简支梁的最大挠度应在处

先研究第一段梁,令得

当a>b时,x1<a

最大挠度确实在第一段梁中第39页/共109页

梁中点C

处的挠度为

结论:在简支梁中,不论它受什么荷载作用,只要挠曲线上无拐点,其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替,其精确度是能满足工程要求的.第40页/共109页

（a）对各段梁,都是由坐标原点到所研究截面之间的梁段上的外力来写弯矩方程的.所以后一段梁的弯矩方程包含前一段梁的弯矩方程.只增加了(x-a)的项.

（b）对(x-a)的项作积分时,应该将(x-a)项作为积分变量.从而简化了确定积分常数的工作.积分法的原则第41页/共109页连续性条件：ABLaCMxω特别强调在中间铰两侧转角不同，但挠度却是唯一的。连续不光滑第42页/共109页例1：写出梁的边界条件、连续性条件：xωkCPABaL边界条件光滑连续性条件第43页/共109页例2：写出梁的边界条件、连续性条件：hEACPABaL边界条件光滑连续性条件第44页/共109页

§6–4

用叠加法求弯曲变形

（Beamdeflectionsbysuperposition

）

梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载(可以是集中力,集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角,就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加.当每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿w轴方向),其转角是在同一平面内(如均在xy平面内)时,则叠加就是代数和.这就是叠加原理.一、叠加原理

（Superposition）

第45页/共109页1.载荷叠加（Superpositionofloads）多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起的变形的代数和.2.结构形式叠加（逐段刚化法）：梁的变形可以看作是组成梁的每一部分单独变形的叠加。第46页/共109页

按叠加原理求A点转角和C点挠度.解:（a）载荷分解如图（b）由梁的简单载荷变形表,查简单载荷引起的变形.BqFACaaF=AB+ABq第47页/共109页

（c）叠加qFF=+AAABBBCaaq第48页/共109页例题4一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理求梁跨中点的挠度wC和支座处横截面的转角A

,B。ABCqMel第49页/共109页

解:将梁上荷载分为两项简单的荷载,如图所示ABCqMe(a)lBAMe(c)lAq(b)BlCC()()()第50页/共109页例题5试利用叠加法,求图所示抗弯刚度为EI的简支梁跨中点的挠度wC

和两端截面的转角A

,B

.ABCqll/2ABCq/2CABq/2q/2

解:可视为正对称荷载与反对称荷载两种情况的叠加.第51页/共109页（1）正对称荷载作用下ABCq/2CABq/2q/2（2）反对称荷载作用下

在跨中C截面处,挠度wC等于零,但转角不等于零且该截面的弯矩也等于零

可将AC段和BC段分别视为受均布线荷载作用且长度为l

/2的简支梁第52页/共109页CABq/2q/2可得到：Bq/2ACq/2将相应的位移进行叠加,即得()()()第53页/共109页例2抗弯刚度EI为常量，用叠加法确定C和yC

?L/2L/2qCBA第54页/共109页qL/2L/2qCBAqq叠加法之载荷叠加法第55页/共109页qq第56页/共109页w第57页/共109页（1）将AC段刚化。（2）将BC段刚化。解：（3）最后结果叠加法之逐段刚化法第58页/共109页例题6一抗弯刚度为EI的外伸梁受荷载如图所示,试按叠加原理并利用附表,求截面B的转角B以及A端和BC中点D的挠度wA

和wD.ABCDaa2a2qq第59页/共109页解:ABCDaa2a2qqABAD2qqBCD第60页/共109页qBCDBAD2qBAD2qCBAD2qCC2qaBADBAD2qC第61页/共109页由叠加原理得:D（1）求B

,wDBCqBCDBAD2qC第62页/共109页（2）求wA

因此,A端的总挠度应为qBCDBAD2qC2qaBAD第63页/共109页二、刚度条件（Stiffnesscondition）1.数学表达式（Mathematicalformula）2.刚度条件的应用（Applicationofstiffnesscondition）（1）校核刚度（

Checkthestiffnessofthebeam）（2）设计截面尺寸（Determinetheallowableloadonthebeam）（3）求许可载荷

（Determinetherequireddimensionsofthebeam）是构件的许可挠度和转角.和第64页/共109页例7下图为一空心圆杆,内外径分别为:d=40mm,D=80mm,杆的E=210GPa,工程规定C点的[w]=0.00001,B点的[]=0.001弧度,试校核此杆的刚度.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNBF2BCDA=+F2BCaF2BCDAM=+F1=1kNADCF2=2kNCABB第65页/共109页解:（1）结构变换,查表求简单载荷变形.l=400mmF2=2kNACa=0.1m200mmDF1=1kNB+F2BC图2图3+F2BCDAM=图1F1=1kNDC第66页/共109页（2）叠加求复杂载荷下的变形F2=2kN=++图1图2l=400mmACa=0.1m200mmDF1=1kNBF1=1kNDBC图3F2BDAMACCF2第67页/共109页（3）校核刚度:（rad）第68页/共109页例9用叠加法计算图示阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2=2I1

所以：（1）刚化I1，则：解：（2）刚化I2，则：第69页/共109页请思考试用叠加法计算图示阶梯形梁的最大挠度。设惯性矩I2=2I1

第70页/共109页一、基本概念（Basicconcepts）

1.超静定梁（staticallyindeterminatebeams）§6-5

静不定梁的解法（Solutionmethodsforstaticallyindeterminatebeams）

单凭静力平衡方程不能求出全部支反力的梁,称为超静定梁FABABCFFRAFRBFRC第71页/共109页第72页/共109页第73页/共109页2.“多余”约束（Redundantconstraint）

在静定梁基础上附加的约束3.“多余”反力（Redundantreaction）“多余”约束处相应的约束反力FRBABCFFABFRAFRC4.超静定次数（Degreeof

staticallyindeterminateproblem）

超静定梁的“多余”约束的数目就等于其超静定次数.n=未知力的个数-独立平衡方程的数目第74页/共109页二、求解超静定梁的步骤

(procedureforsolvingastaticallyindeterminate)1.画静定基建立相当系统：

将可动铰链支座看作多余约束,解除多余约束代之以约束反力RB.得到原超静定梁的基本静定系.2.列几何方程——变形协调方程

超静定梁在多余约束处的约束条件,梁的变形协调条件ABqqABFRB

根据变形协调条件得变形几何方程:第75页/共109页

3.列物理方程—变形与力的关系

查表得qAB将力与变形的关系代入变形几何方程得补充方程4.建立补充方程BAFRBqABFRB第76页/共109页补充方程为由该式解得5.求解其它问题（反力,应力,变形等）qABFRBFRAMA求出该梁固定端的两个支反力qABBAFRB第77页/共109页

代以与其相应的多余反力偶MA

得基本静定系.

变形相容条件为

请同学们自行完成！方法二

取支座A

处阻止梁转动的约束为多余约束.ABqlABqlMA第78页/共109页例题8

梁AC如图所示,梁的A端用一钢杆AD与梁AC铰接,在梁受荷载作用前,杆AD内没有内力,已知梁和杆用同样的钢材制成,材料的弹性模量为E,钢梁横截面的惯性矩为I,拉杆横截面的面积为A,其余尺寸见图,试求钢杆AD内的拉力FN.a2aABCq2qDl第79页/共109页CADBq2qAFNFNA点的变形相容条件是拉杆和梁在变形后仍连结于A点.即解:这是一次超静定问题.将AD杆与梁AC之间的连结铰看作多余约束.拉力FN为多余反力.基本静定系如图ADBCq2qFNFNA1第80页/共109页变形几何方程为根据叠加法A端的挠度为BCq2qFNBCq2q在例题中已求得可算出:CFNB第81页/共109页拉杆AD

的伸长为:补充方程为:由此解得:ADBCq2qFNFN第82页/共109页例题9求图示梁的支反力,并绘梁的剪力图和弯矩图.

已知EI=5103kN·m3.4m3m2mABDC30kN20kN/m第83页/共109页解:这是一次超静定问题

取支座B

截面上的相对转动约束为多余约束.

基本静定系为在B

支座截面上安置铰的静定梁,如图所示.4m3m2mABDC30kN20kN/m4m3m2mABDC30kN20kN/m

多余反力为分别作用于简支梁AB和BC的B端处的一对弯矩MB.

变形相容条件为，简支梁AB的B截面转角和BC梁

B

截面的转角相等.MB第84页/共109页由表中查得:4m3m2mABDC30kN20kN/mDAB30kN20kN/mMBC第85页/共109页补充方程为:解得:

负号表示B截面弯矩与假设相反.4m3m2mABDC30kNDAB30kN20kN/m20kN/mMBC第86页/共109页

由基本静定系的平衡方程可求得其余反力

在基本静定系上绘出剪力图和弯矩图.4m3m2mABDC30kN20kN/m+-32.0547.9518.4011.6431.801.603m-+++-25.6823.28第87页/共109页§6-6提高梁刚度的措施一、改善结构、减少弯矩１、合理安排支座；２、合理安排受力；３、集中力分散；４、

ω一般与跨度有关，５、增加约束：成正比，与故可减小跨度；第88页/共109页尾顶针、跟刀架或加装中间支架；较长的传动轴采用三支撑；桥梁增加桥墩。增加约束：采用超静定结构第89页/共109页采用超静定结构第90页/共109页改变支座形式FF第91页/共109页改变载荷类型q=F/LF第92页/共109页二、选择合理的截面形状A几乎不变，大部分分布在远离中性轴处，工字形、槽钢等；起重机大梁常采工字形或箱形截面；第93页/共109页起重机大梁常采工字形或箱形截面；第94页/共109页四、不宜采用高强度钢;三、加强肋盒盖、集装箱；各种钢材Ｅ大致相同。第95页/共109页1、y’’=M(x)/EI在

条件下成立？A：小变形；B：材料服从虎克定律；C：挠曲线在XOY面内；D：同时满足A、B、C；2、等直梁在弯曲变形时，挠曲线曲率在最大

处一定最大。A：挠度