数值分析试题与答案解析

范文范例 指导 学习数值分析试题一、填空题（20×2′）1.322设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2A,X213位有效数字。2.若f(x)=x7－x3＋1，则f[20,21,22,23,24,25,26,27]=1 ，012345678f[2,2,2,2,2,2,2,2,2]=0。设，‖A‖∞＝___5____，‖X‖∞＝__3_____，‖AX‖∞≤_15___。4. 非线性方程 f(x)=0的迭代函数 x=(x)在有解区间满足 | ’(x)|<1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。ab 上的三次样条插值函数 Sx 在ab上具有直到 阶的连续导数。5.区间[,] () [,] 2当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的 后插公式 ；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式 。n7.拉格朗日插值公式中 f(xi)的系数 ai(x)的特点是： ai(x) 1 ；所i 0以当系数 ai(x)满足 ai(x)>1 ，计算时不会放大 f(xi)的误差。8.要使 20的近似值的相对误差小于 0.1%，至少要取 4 位有效数字。对任意初始向量 X(0)及任意向量 g，线性方程组的迭代公式 x(k+1)Bx(k)gk ?9. = +(=0,1, )收敛于方程组的精确解 x*的充分必要条件是 (B)<1 。10.由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。word版本整理分享范文范例 指导 学习x00.511.522.5y=f(x)-2-1.75-10.2524.2511.牛顿下山法的下山条件为|f(xn+1)|<|f(xn)|。rii?n来实现的，其中的残12.线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差(=0,1,,)差r＝(b-ax-ax-?-ax)/a，(i=0,1,?,n)。ii11i22inniii在非线性方程f(x)=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f(x)的二阶导数不变号，则初始点x0的选取依据为f(x0)f ”(x0)>0 。14.使用迭代计算的步骤为建立迭代函数、 选取初值 、迭代计算。二、判断题（10×1′）、若A是n阶非奇异矩阵，则线性方程组 AX＝b一定可以使用高斯消元法求解。 ×1 ( )、解非线性方程 f x 的牛顿迭代法在单根 x 附近是平方收敛的。2 ( )=0 *( )3、若A为n阶方阵，且其元素满足不等式naiiaij(i1,2,...,n)j1jiAX＝b的高斯——塞德尔迭代法一定收敛。×则解线性方程组()4、样条插值一种分段插值。 ( )5、如果插值结点相同，在满足相同插值条件下所有的插值多项式是等价的。 ( )6、从实际问题的精确解到实际的计算结果间的误差有模型误差、观测误差、截断误差及 舍 入 误 差 。( )7、解线性方程组的的平方根直接解法适用于任何线性方程组 AX＝b。 ( ×)word版本整理分享范文范例 指导 学习8、迭代解法的舍入误差估计要从第一步迭代计算的舍入误差开始估计 ,直到最后一步迭代计算的舍入误差。 ( ×)9、数值计算中的总误差如果只考虑截断误差和舍入误差，则误差的最佳分配原则是截断 误 差 ＝ 舍 入 误 差 。( )10、插值计算中避免外插是为了减少舍入误差。 ( ×)三、计算题（5×10′）1、用列主元高斯消元法解线性方程组。x1x2x345x14x2 3x3 122x1x2x311解答：（1，5，2）最大元5在第二行，交换第一与第二行：5x14x23x312x1x2x342x1x2x311L21=1/5=0.2,l 31=2/5=0.4 方程化为：5x1 4x2 3x3 120.2x2.6x

20.4x31.620.2x315.8（-0.2,2.6 ）最大元在第三行，交换第二与第三行：word版本整理分享范文范例 指导 学习5x1 4x2 3x3 122.6x0.2x

20.2x315.820.4x31.6L32=-0.2/2.6=-0.076923, 方程化为：5x14x23x3122.6x20.2x315.80.38462x30.38466回代得：x13.00005x25.99999x31.000102、用牛顿——埃尔米特插值法求满足下列表中插值条件的四次插值多项式 P4(x)，并写出其截断误差的表达式 (设f(x)在插值区间上具有直到五阶连续导数

)。xi012f(xi)1-13f’(xi)15解答：做差商表xi F(xi F[xi,xi+ F[xi.xi+1.xi F[xi,xi+1,xi+2,x F[xi,xi+1,xi+2,xi+3,) 1] +2] i+3] xi+4]0 11 -1-2word版本整理分享范文范例 指导 学习1 -1 1 32 3 4 3 02 3 5 1 -2 -1P4(x)=1-2x-3x(x-1)-x(x-1)(x-1)(x-2)R4(x)=f(5)( )/5!x(x-1)(x-1)(x-2)(x-2)3、对下面的线性方程组变化为等价的线性方程组，使之应用雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法均收敛， 写出变化后的线性方程组及雅克比迭代法和高斯——赛德尔迭代法的迭代 公式，并简单说明收敛的理由。2x1x2x41x1x35x46x24x3x48x13x2x33解答：交换第二和第四个方程，使系数矩阵为严格对角占优：2x1x2x41x13x2x33x24x3x48x1x35x46雅克比迭代公式：2x1x2x41x13x2x33x24x3x48x1x35x46word版本整理分享范文范例 指导 学习《计算机数学基础 (2)》数值分析试题一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.已知准确值x*与其有t位有效数字的近似值x＝0.0a1a2?an×10s(a10)的绝对误差x*－x()．s－1－ts－ts＋1－ts＋t(A)0.5×10(B)0.5×10(C)0.5×10(D)0.5×102.以下矩阵是严格对角占优矩阵的为()．210052101210，1410(A)(B)01211141001200125210421114211410(C)(D)21412141001213153.过(0，1)，(2，4)，(3，1)点的分段线性插值函数()=()Px3x10x23x10x2(A)2(B)23x102x33x2102x33x10x23x10x2(C)2(D)23x102x3x42x34.等距二点的求导公式是()f(xk)1(ykyk1)f(xk)1kyk1)h(y(A)(B)hf(xk1)1(ykyk1)1yk1)f(xk1)(ykhhf(xk)1(ykyk1)h(C)(D)f(xk1)1(yk1yk)hword版本整理分享范文范例 指导 学习解常微分方程初值问题的平均形式的改进欧拉法公式是y1yc)k1(yp2那么yp,yc分别为()．ypykhf(xk,yk)ypykhf(xk1,yk)(A)yhf(x,y)(B)ykhf(xk,yp)yckyck1k(C)ypykf(xk,yk)(D)ypykhf(xk,yk)ycykf(xk,yp)ycykhf(xk1,yp)二、填空题(每小题3分，共15分)6.设近似值x1,x2满足(x1)=0.05，(x2)=0.005，那么(x1x2)=．7.三次样条函数S(x)满足：S(x)在区间[a,b]内二阶连续可导，S(xk)=yk(已知)，k=0,1,2,?,n，且满足()在每个子区间[k,k+1]上是．Sxxxbnn8.牛顿－科茨求积公式af(x)dxAkf(xk)，则Ak＝.k0k09.解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数(x)满足在有根区间内，则在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛．解常微分方程初值问题的改进欧拉法预报――校正公式是预报值： yk1 yk hf(xk,yk)，校正值：yk+1= ．三、计算题 (每小题 15分，共60分)用简单迭代法求线性方程组8x13x22x3204x111x2x3336x13x212x336(3)T的X．取初始值(0,0,0)，计算过程保留4位小数．12.已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1,3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)．313.将积分区间8等分，用梯形求积公式计算定积分1x2dx，计算过程保留4位小数．114.用牛顿法求115的近似值，取x=10或11为初始值，计算过程保留4位小数．四、证明题(本题10分)证明求常微分方程初值问题f(x,y)y(x0)y0在等距节点 a=x0<x1<? <xn=b处的数值解近似值的梯形公式为y(xk+1)yk+1=yk+h[f(xk,yk)+f(xk+1,yk+1)]其中h=xk+1－xk(k=0,1,2,2?n－1)《计算机数学基础 (2)》数值分析试题答案word版本整理分享范文范例指导学习一、单项选择题(每小题3分，共15分)1.A2.B3.A4.B5.D二、填空题(每小题3分，共15分)6.0.05x2+0.005x17.3次多项式8.b－a(x)r<1hf(xk1,yk1)]hf(xk＋1,yk1)．9.10.yk+[f(xk,yk)三、计算题(每小题215分，共60分)写出迭代格式x1(k1)00.375x2(k)0.25x3(k)2.5x2(k1)0.3636x1(k)00.0909x3(k)3x3(k1)0.5x1(k)0.25x2(k)03TX(0)=(0,0,0).x1(1)00.37500.2502.52.5x2(1)0.3636000.0909033得到X(1)x3(1)0.500.250033＝(2.5，3，3)Tx1(2)00.37530.2532.52.875x2(2)0.36362.500.0909332.3637得到X(2)x3(2)0.52.50.253031.0000=(2.875，2.3637，1.0000)Tx1(3)00.3752.36370.2512.53.1364x2(3)0.36362.87500.0909132.0456x3(3)0.52.8750.252.3637030.9716得到X(3)=(3.1364，2.0456，0.9716)T.计算均差列给出．f(xk) 一阶均差 二阶均差 三阶均差 四阶均差xk0611043461814/34823661/362126529/311/151/15f(0,1,3,4,6)=115(4,1,3)=613.f(x)= 1 x2,h=x6=2.50，x7=2.75，x8=3.0.

0.25．分点x0=1.0，x1=1.25，x2=1.5，x3=1.75，x4=2.0，x5=2.25，8函数值：f(1.0)=1.4142，f(1.25)=1.6008，f(1.5)=1.8028，f(1.75)=2.0156，f(2.0)=2.2361，f(2.25)=2.4622，f(2.50)=2.6926，f(2.75)=2.9262，f(3.0)=3.1623．word版本整理分享范文范例指导学习3hf(x8)f(x)dx[f(x0)122(f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)f(x5)f(x6)f(x7))](9分)0.25=×[1.4142+3.1623+2×(1.6008+1.8028+2.01562+2.2361+2.4622+2.6926+2.9262)]=0.125×(4.5765+2×15.7363)=4.506114.设x为所求，即求x2－115=0的正根．f(x)=x2－115．因为f(x)=2x，f(x)=2，f(10)f(10)=(100－115)×2<0，f(11)f(11)=(121－115)×2>0取x0=11．有迭代公式f(xk)2115xk115xk+1=xk－=xkxk)(k=0,1,2,?f(xk)2xk22xk11115x1=＝10.72732211x=10.7273115＝10.723822210.7273x3=10.72381152210.7238

10.7238x*10.7238四、证明题(本题10分)15.在子区间[xk+1,xk]上，对微分方程两边关于x积分，得xk1y(xk+1)－y(xk)=f(x,y(x))dxxk用求积梯形公式，有y(x)－y(x)=h[f(xk,y(xk))f(xk1,y(xk1))]k+1k将y(xk),y(xk+1)用yk,yk+12替代，得到y(x)y=h)+f(x,y)](k=0,1,2,?,－1)+[f(x,yk+1k+1kkkk+1k+12数值分析期末试题word版本整理分享范文范例 指导 学习一、填空题（ 2 10 20分）1 5 2（1)设A 210，则A ______13_______。3 8 2（2)2x15x2102.5对于方程组，Jacobi迭代法的迭代矩阵是BJ。10x14x232.50（3)3x*的相对误差约是x*的相对误差的1倍。3（4）求方程xf(x)根的牛顿迭代公式是xxnxnf(x)。n1n1f'(xn)（5）设 f(x) x3 x 1，则差商 f[0,1,2,3] 1 。（6）设nn矩阵G的特征值是,,(G)maxi。12,n，则矩阵G的谱半径1in1 2（7）已知 A ，则条件数 Cond (A) 90 1（8）为了提高数值计算精度， 当正数x充分大时 ,应将ln(x x2 1)改写为 ln(xx21)。（9）n个求积节点的插值型求积公式的代数精确度至少为 n 1次。1 3（10）拟合三点 (x1,f(x1))，(x2,f(x2))，(x3,f(x3))的水平直线是 y f(xi)。3i 12x1x2x31二、（10分）证明：方程组x1x2x31x1x22x31

使用Jacobi 迭代法求解不收敛性。证明：Jacobi 迭代法的迭代矩阵为00.50.5BJ1010.50.50BJ的特征多项式为0.50.5det(IBj)11(21.25)0.50.5BJ的特征值为 1 0， 2 1.25i， 3 1.25i，故 (BJ) 1.25＞1，因而迭代法不收敛性。word版本整理分享范文范例 指导 学习三、（10分）定义内积1(f,g)f(x)g(x)dx0试在H1 Span1,x 中寻求对于 f(x) x的最佳平方逼近元素 p(x)。解： 0(x) 1，1(x) x，,),)1，(,)2dx1，(0,f)(00dx1，(10xdx11x1110020312(1,f)xxdx。05法方程11c022311c12235解得c0412，c1。所求的最佳平方逼近元素为1515px412x，0x1()1515四、（10分）给定数据表

10

xdx 2，3x-2-1012y-0.10.10.40.91.6试用三次多项式以最小二乘法拟合所给数据。解:y(x) c0 c1xc2x2 c3x31248501001111，ATAA1000010034111110034003401301248ATy(2.9,4.2,7,14.4)T法方程ATAc ATy的解为c00.4086，c10.39167，c20.0857，c30.00833得到 三次多项式word版本整理分享范文范例 指导 学习y(x) 0.4086 0.39167x 0.0857x2 0.00833x3误差平方和为 3 0.000194五.(10 分)依据如下函数值表x0124f(x)19233建立不超过三次的 Lagrange插值多项式，用它计算 f(2.2)，并在假设 f(4)(x) 1下，估计计算误差。解:先计算插值基函数l0(x)l1(x)l2(x)l3(x)

(x1)(x2)(x4)(01)(02)(04)(x 0)(x 2)(x4)(1 0)(1 2)(14)(x0)(x1)(x4)(20)(21)(24)(x 0)(x1)(x 2)(40)(41)(42)

1x37x27x18841x32x28x331x35x2x441x31x21x24812所求Lagrange插值多项式为311x3x21xL3(x)f(xi)li(x)l0(x)9l1(x)23l2(x)3l3(x)451从而i0442f(2.2) L3(2.2) 25.0683。据误差公式R3(x)f(4)()(xx0)(xx1)(xx2)(xx3)及假设f(4)(x)1得误差4!估计：R3f(4)()1(x)(2.20)(2.21)(2.22)(2.24)0.95040.03964!4!六.(10分)用矩阵的直接三角分解法解方程组word版本整理分享范文范例指导学习1020x150101x231243x3170103x47解设1020110200101l1uuu212223241243ll1uu313233340103lll431u414244由矩阵乘法可求出uij和lij11l10121ll11213132lll1010141424310201020uuu101222324uu213334u442解下三角方程组1y1501y23121y3170101y47有y1 5，y2 3，y3 6，y4 4。再解上三角方程组1020x15101x2321x362x44得原方程组的解为x11，x21，x32，x42。七.(10 分) 试用Simpson 公式计算积分12exdx1的近似值, 并估计截断误差。解：word版本整理分享范文范例指导学习11(e112e2)exdx24e1.52.026316112361(4)24f(x8x7x6x5)