linear3 2行列式的性质及应用

第三章3.1行列式的3.2行列式的性质及 （Cramer）3.4行列式的3.5应用实3.63.1行列式的定 二、三阶行列式的：1 号 式： 其值规定 a

把a11,a22的连线称为二阶行列式的主例 在平面上有一个平行四边形A、B两点的坐标分别b1a2b2，如3.1所示，求平行四边形OACB图3.1 SOEDBSCDBSAEOSAEDC SOEDB

a1b2（3-根据二阶行列式的定义，该平行四积刚好是以A、B两点坐标所构成的二式： a 例3.3求下面三元线性方程a11x1a12

a13x3 x aa

x

解：利用消元法可以得a11a22a33a12a23a31a13a21a32a13a22a31a12a21a33a11a23a32b1a22a33a12a23b3a13b2a32a13a22b3a12b2a33b1a23（3- 的定义，我们

是一个三阶行

（3-图3.2给出了它的图示计算规则（称为法）图3.2有了三阶行列式的定义，我们可以把式3）写为

x1

当方程组（3-2）的系数行 D

n阶行列式的把三阶行列式定义式（3-4）改写为如

则有

a23a32a12

a23a31a13

a22a31

aa aa

（3-

23a

23 a a

定义3.1在n阶行列式中，划去元素aij所在的构成的n-1阶行列式，称为元素aij的式记作Mij，称为元素aij的代数式。根据定义3.1，可以把式（3-5）

a11A11a12A12a13定义 由n2个数组成的n阶行列 D

是一个算式，当n1 an D ；当n2nDa11

a12

a1n

a1kA1k（3-定义

行列式定义的进一步由n个自然数1、2、3、…、n的一个有序数组，称为一个n元排列（或自然排列定义3.4一个排列中任排列的逆序数记i1i2Linn2个数组成n阶行列式： a12

ppL

p1p2Lp

1 a1pa2 L

an 1 2 n其中p 是一个元排列，1 2 np1p2 p所有n元排列（n！个）求和例 写出四阶行列式中含有a11a32的项a11a32项a11a2xa32a4y列有 和 种情况，1324逆序数为1，1423逆序数为则四阶行列式中含有a11a32的项为a11a23a32a44和a11a24a32a43 矩阵与行列式的当讨论的矩阵A是方阵时，把A的一对记作 或detA例证明n阶下三角矩阵

aa

an

nn a11a22Lann时，结论显然成detA

11

纳假设得：detAna11a22L ann同理可证，n阶对角矩阵的行列式（也称n对角行列式）O

a11a22La3.1.5行列式按行（列）定理3.1n阶行列式D等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数式乘积之和，Dai1Da1j

ai2Aia2jA2

LainLanj

aiknknnakjnk

i1,2,L,j1,2,L,210632002351210632002351100D

0

2 行列式的性质及应性质

行列式的行列式D与它的转置行列DT行列式的转置和矩阵的转置概念相 2

n n

ina1iA1ja2iA2jLaniAnjakiAkjn

i例3.7已知四阶行列 的代 式） 构造行列 ，行列式D1按第01001060000201234A412A423A434A44D1＝

＝2

（列）的所有元素同乘以数k下列行列式的第一行和第三行所有26822762682276397910具体拆分方法用4阶行列式说明如性质5把行列式的某一行（列）的各元素乘 方阵行列式的A kAkn

A=AA 方阵可逆的充要定义3.6

,

式为Aij，则称矩 为A的伴随矩阵。记为adj(A)，或A*。伴随矩阵的重要性质：Aadj(Aadj(AAA定理3.2n阶方阵A为可逆矩阵的充要条件是A0。当A可逆时，A11adj(A) A证：充分性A0 AAadj(AAadj(AA

故结论成 必要性，设A可逆，有AA1I，两边同取行列式A A1I1，故A0推论若A和B为同阶方阵，且满ABI，则BA=I，即矩阵A和矩阵B互逆。 6例3.8判断三阶方阵A

2，是否可若可逆A

解：

A1280，所可逆。

中各素的代 式分别

A11A13

12

A21

A31 A32

则：A11adj(A

6 20 128

例3.9设A为n阶可逆方（1adj(A)（2）adj(A)

A证：（1）因为矩阵A为可逆方阵，则 又根据伴随矩阵Aadj(A)=adj(A)A=AA Aadj(Aadj(AAA adj(A)

1A Aadj(A) A O

AnIAA又因为矩阵A为可逆方阵，则 故 adj(A)A（Cramer）法讨论用行列式来求解含有n个方程n个变线性方程

a11x1a12

La1nxn x

L

（3-

L

Lannxn方程组（3-7）也可以写成矩阵Ax

（3-

a1n

b1

x1

b

xA

2n

b2

x2 L

b

x

nn

n n

A，称为方程组（3-7）的系数法则）（3-7）x1D

，…x

D

（3-其中Djj12L,nDj列的元素用第j把常 称为齐次线性方程组称为非齐次线性方程组推论1对于n×n齐次线性方程Ax0，当系数行列式A0时x0只有一个零解。推论2若n×n齐次线性方程Ax0，有非零解，则必A0。(2)x14x22x1例3.10已知齐次线性方4x1(2)x22x32x2x(1)x有非零解，问应取何值

42c3

按r2展开223)202-2+7得：＝2行列式的计3.4.1行列式的笔算其他还有加边法、法、递推法、数学归6665693666569321124D 4r2 Dr1r4 3r2(1) 12r4 24r3 2411240163r4100163004 2411240163r410016300400400000r3r4

例3.13

aaaaaaaaaaa a a a a

证：利用行列式性质及行列式按列展开（质法、展开法 a a3 aaaaa a3 2aa aa a

a2a a

a a a a 2r3a2r2 a a a 2 a

aaaa a按第一列展开a

并提取公因子

a2

a2 a2a1a3a1a4a1a3a2a4a2a4a3此例中的四阶行列式，称为四阶（VanderMonde）行列式,n阶 行

a a

a aiaj aaL aaL

1jiaa

1Dn

NNnn 列（n-1,n-2,…,2,1,n）的逆序数确定该

Dn

(n1)(n2 n例计算5阶行列0000120300D500456780009000解：由分块矩阵行列 O

O1

1mnA 0

85

D

0 0 0按c1展开

4D44D5D43D4

D3

2 25345 5345

D D5D435

32333435例3.17AB均为n阶方阵，A求

B解：

kn

ABAA

A*

A则有3A*B

3nA*B

3n An1B532n 0例3.18设矩阵A

2B A*BAAA的伴随矩阵，求 解：

A两边取行列式，有：33I B而IA

2

则B B(a13a2,a22a3,a3a1)，求 解：根据分块矩阵的乘法概B(a13a2,a22a3,a30 0(a1,a2,a3)

1A 5(5) 3.4.2 计算行列的行列式等于-1。det(E1)=-1 的行列式等于k。det(E2)=k (3-12） E3iA=

(3-由于初等变换矩阵都是可逆的，其乘积也A=L*

(3-det(A)=det(L)*det(U)=其调用格式[L,U]=lu(A)为方另一种调用格式能同时给出真正的阵L和交换矩阵P,[L,U,P]=此时，它满 P*A= （3-三．求出上三角方阵的行由(3-15）式知道，det(U)决定了det(A)的绝n在不计正负号的时候，可以n =det(U)=uiii= 语句表示 其调用格式为：D=det(A)这个函数要求输入变元必须应用实的行

22A55

解：列出程

dU

分解为上三角矩阵U和准下三角矩阵取上三角矩阵U 程序运行的结果 L= 0

10.0000 1.0000 7.4000U 000000000

12.8750

9.04171.1235dU D5.9720e003如下 如下 A 1/101/11

2 2 ,b1 ,b2 2

2 解： 写出程序ea344如下x1=inv(A)*b1,x2=inv(A)*b2dx=x2-x1,db=b2-b1程序运行的结果

21

,db

为了定量地分析解的误差和可信度，应//dx/

cond(A)db/

cond(A)

（3- 6例3.16设A 9，求其逆阵V 9A=[-16,-4,-6;15,-3,9;18,0,9],运行后得到警告Warning:MatrixisclosetosingularorbadlyResultsmaybeinaccurate.RCOND V1.0e15 1.6888det(A)=0，故它是一个奇异矩阵，其逆不存 3.5.3用逆阵进 编译[5,8,10,21,7,2,10,8,3]。5代表S，8E，…等等用矩阵乘法来对这个消息进一步加

1

A

A1

也组成一个

B

8 8 3AB

215378

3

所以发出的消通过以下的变换可以解出原来的消 1 29