线性规划应用题 苏教版

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例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，其次种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?

产品圆桌衣柜木料(单位m3)第一种0.180.09第二种0.080.28?0.18x?0.09y?72?0.08x?0.28y?56?解：设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么?而z=6x+10y.

x?0???y?0

如上图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.

作直线l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值解方程组??0.18x?0.09y?72,得M点坐标(350,100).答:应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最大.

0.08x?0.28y?56?1.5指出:资源数量一定,如何安排使用它们,使得效益最好,这是线性规划中常见的问题之一

例2、某养鸡场有1万只鸡,用动物饲料和谷物饲料混合喂养.每天每只鸡平均吃混合饲料0.5kg,其中动物饲料不能少于谷物饲料的动物饲料每千克0.9元,谷物饲料每千克0.28元,饲料公司每周仅保证供应谷物饲料50000kg,问饲料怎样混合,才使成本最低.

解:设每周需用谷物饲料xkg,动物饲料ykg,每周总的饲料费用为z元,那么

?x?y?35000?1??y?x,而z=0.28x+0.9y5??0?x?50000???y?0y?1x5如下图所示,作出以上不等式组所表示的平面区域,即可行域.

作一组平行直线0.28x+0.9y=t,其中经过可行域内的点且和原点最近的直线,经过直线x+y=35000和直线

的交点

A(87500175008750017500,),即x?,y?3333时,饲料费用最低.

所以,谷物饲料和动物饲料应按5:1的比例混合,此时成本最低.

指出:要完成一项确定的任务,如何统筹安排,尽量做到用最少的资源去完成它,这是线性规划中最常见的问题之一.

1

(例3图)(例4图)

例3、下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素A、B的含量及成本:

维生素A(单位/千克)维生素B(单位/千克)成本(元/千克)甲4008007乙6002006丙4004005营养师想购这三种食物共10千克,使之所含维生素A不少于4400单位,维生素B不少于4800单位,问三种食物各购多少时,成本最低?最低成本是多少?

解:设所购甲、乙两种食物分别为x千克、y千克,则丙种食物为(10?x?y)千克.x、y应满足线性条件为

?400x?600y?400(10?x?y)?4400?y?2,化简得???800x?200y?400(10?x?y)?4800?2x?y?4作出可行域如上图中阴影部分

目标函数为z=7x+6y+5(10?x?y)=2x+y+50,令m=2x+y,作直线l:2x+y=0,则直线2x+y=m经过可行域中A(3,2)时,m最小,即mmin=2?3+2=8，∴zmin=mmin+50=58答:甲、乙、丙三种食物各购3千克、2千克、5千克时成本最低,最低成本为58元.

指出:此题可以不用图解法来解,譬如,由??y?2得

?2x?y?4z=2x+y+50=(2x?y)+2y+50?4+2?2+50=58,当且仅当y=2,x=3时取等号总结：(1)设出决策变量,找出线性规划的约束条件和线性目标函数;

(2)利用图象,在线性约束条件下找出决策变量,使线性目标函数达到最大(或最小).

?a11x1?a12x2???a1mxm?b1?ax?ax???ax?b?2112222mm22.线性规划问题的一般数学模型是:已知??????an1x1?an2x2???anmxm?bn(j=1,2,?,m)是常量.

(这n个式子中的“?〞也可以是“?〞或“=〞号)

其中aij(i=1,2,?,n,j=1,2,?,m),bi(i=1,2,?,n)都是常量,xj(j=1,2,?,m)是非负变量,求z=c1x1+c2x2+?+cmxm的最大值或最小值,这里cj(3)线性规划的理论和方法主要在以下两类问题中得到应用:一是在人力、物力资金等资源一定的条件下,如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务,如何合理安排和规划,能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.

线性规划中整点最优解的求解策略

在工程设计、经营管理等活动中，经常会碰见最优化决策的实际问题，而解决此类问题一般以线性规划为其重要的理论基础。然而在实际问题中，最优解(x,y)寻常要满足x,y∈N，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解.

1．平移找解法

作出可行域后，先打网格，描出整点，然后平移直线l，直线l最先经过或最终经过的那个整点便是整点最优解.

例1、某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72m3，其次种有56m3，假设生产每种产品都需要用两种木料，生产一只圆桌和一个衣柜分别所需木料如下表所示.每生产一只圆桌可获利6元,生产一个衣柜可获利10元.木器厂在现有木料条件下,圆桌和衣柜各生产多少,才使获得利润最多?产品2

木料(单位m3)第一种圆桌衣柜0.180.09第二种0.080.28?0.18x?0.09y?72?0.08x?0.28y?56?解：设生产圆桌x只,生产衣柜y个,利润总额为z元,那么?而z=6x+10y.如下图,作出以上不等式组所

?x?0??y?0表示的平面区域,即可行域.

作直线l:6x+10y=0,即l:3x+5y=0,把直线l向右上方平移至l1的位置时,直线经过可行域上点M,且与原点距离最大,此时z=6x+10y取最大值。解方程组??0.18x?0.09y?72,得M点坐标(350,100).答：应生产圆桌350只,生产衣柜100个,能使利润总额达到最

?0.08x?0.28y?561配套，怎样截最合理？3大.点评：此题的最优点恰为直线0.18x+0.09y=72和0.08x+0.28y=56的交点M。

例2有一批钢管，长度都是4000mm，要截成500mm和600mm两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于解：设截500mm的钢管x根，600mm的y根，总数

为z根。根据题意，得为

，

作出如下图的可行域内的整点，

，目标函数

作一组平行直线x+y=t，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过B（8，0）的直线，这时x+y=8.由于x,y为正整数，知（8，0）不是最优解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解．答：略．

点评：此题与上题的不同之处在于，直线x+y=t经过可行域内且和原点距离最远的点B（8，0）并不符合题意，此时必需往下平移该直线，在可行域内找整点，譬如使x+y=7，从而求得最优解。

从这两例也可看到，平移找解法一般适用于其可行域是有限区域且整点个数又较少，但作图要求较高。二、整点调整法

先按“平移找解法〞求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最终筛选出整点最优解．

?2x?y?3?0?例3．已知x,y满足不等式组?2x?3y?6?0，求使x?y取最大值的整数x,y．

?3x?5y?15?0?解：不等式组的解集为三直线l1：2x?y

l1

A

l3

C

O

xl2

y?3?0，l2：2x?3y?6?0，l3：

B

3x?5y?15?0所围成的三角形内部（不含边界），设l1与l2，l1与l3，l2与l3交点分别为

A,B,C，则A,B,C坐标分别为A(作一组平行线l：x?3

1537512,)，B(0,?3)，C(,?)，841919y?t平行于l0：x?y?0，当l往l0右上方移动时，t随之增大，

∴当l过C点时x?当xy最大为

6375，但不是整数解，又由0?x?知x可取1,2,3，

1919?1时，代入原不等式组得y??2，∴x?y??1；当x?2时，得y?0或?1，∴x?y?2或1；

当x?x?2?x?3?3时，y??1，∴x?y?2，故x?y的最大整数解为?或?．

?y?0?y??13.逐一检验法

由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能确凿而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓．例4一批长4000mm的条形钢材，需要将其截成长分别为518mm与698mm的甲、乙两种毛坯，求钢材的最大利用率．

解：设甲种毛坯截x根，乙种毛坯截y根，钢材的利用率为P，则

②，线性约束条件①表示的可行域是图中阴

影部分的整点．②表示与直线518x+698y=4000平行的直线系。所以使P取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线518x+698y=4000的整点坐标．如图看到(0，5)，(1，4)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，2)，(6，1)，(7，0)都有可能是最优解，将它们的坐标逐一代入②进行校验，可知当x=5,y=2时，

．

①，目标函数为

答：当甲种毛坯截5根，乙种毛坯截2根，钢材的利用率最大，为99.65%．解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域）上完成的，所以作图时应尽可能确切，图上操作尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，

假使图上的最优点并不十明显显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解.

线性规划的实际应用习题精选

1．某家俱公司生产甲、乙两种型号的组合柜，每种柜的制造白坯时间、油漆时间及有关数据如下：

问该公司如何安排这两种产品的生产，才能获得最大的利润．最大利润是多少？

2．要将两种大小不同的钢板截成A、B、C三种规格，每张钢板可同时截得三种规格小钢板的块数如下：

每张钢板的面积，第一种为1m，其次种为2m，今需要A、B、C三种规格的成品各12，15，17块，问各截这两种钢板多少张，可得所需三种规格成品，且使所用钢板面积最小．4

2

2

3．某人承揽一项业务，需做文字标牌2个，绘画标牌3个，现有两种规格的原料，甲种规格每张3m，可做文字标牌1个，绘画标牌2个，乙种规格每张2m，可做文字标牌2个，绘画标牌1个，求两种规格的原料各用多少张，才能使总的用料面积最小．4．某蔬菜收购点租用车辆，将100吨新鲜黄瓜运往某市销售，可供租用的大卡车和农用车分别为10辆和20辆，若每辆卡车载重8吨，运费960元，每辆农用车载重2.5吨，运费360元，问两种车各租多少辆时，可全部运完黄瓜，且动费最低．并求出最低运费．5．某木器厂生产圆桌和衣柜两种产品，现有两种木料，第一种有72立方米，其次种有56立方米，假设生产每种产品都需要两种木料．生产一只圆桌需用第一种木料0.18立方米，其次种木料0.08立方米，可获利润60元，生产一个衣柜需用第一种木料0.09立方米，其次种0.28立方米，可获利润100元，木器厂在现有木料状况下，圆桌和衣柜应各生产多少，才能使所获利润最多．2