线代练习册二解答

本文格式为Word版，下载可任意编辑——线代练习册二解答太原理工大学2023级《线性代数》练习册（二）

一.判断题（正确打√，错误打×）

1若?s不能由?1,?2,?,?s?1线性表示，则?1,?2,?,?s线性无关.(×)

解答：反例：取?1?0，?2?0，则?2不能由?1线性表示，但?1,?2线性相关.2.若??,??,??与??,??等价，则??,??,??线性相关.(√)解答：由于等价的向量组具有一致的秩，所以

R(?1,?2,?3)?R(?1,?2)?2?3，所以向量组??,??,??线性相关.3.假使?可由?1,?2,?3唯一线性表示,则?1,?2,?3线性无关.(√)解答：向量?能由向量组A唯一线性表示的充分必要条件是

R(?1,?2,?,?m,?)?R(?1,?2,?,?m)?m；

所以R(?1,?2,?3)?3，所以?1,?2,?3线性无关.4.向量组的秩就是它的最大线性无关组的个数.(×)解答：正确结论：

向量组的秩就是它的最大线性无关组所含向量的个数.

5.若向量组?,?,?只有一个极大无关组，则?,?,?线性无关.(×)

解答：反例：取??0,????0，则向量组?,?,?只有一个最大无关组?，但?,?,?线性相关.

正确命题：若?,?,?线性无关，则?,?,?只有一个最大无关组.二.单项选择题

1.设向量组（1）:??,??,??能由向量组（2）:?1,?2线性表示，则(A).（A）向量组（1）线性相关;（B）向量组（1）线性无关;（C）向量组（2）线性相关;（D）向量组（2）线性无关.

解答：由于3?2，且??,??,??能由?1,?2线性表示，由P??推论1可知?1,?2,?3线

性相关.所以选项（A）正确.

2.设n维向量组?1,?2,?,?m线性无关，则(B).

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太原理工大学2023级《线性代数》练习册（二）

（A）向量组中增加一个向量后仍线性无关;（B）向量组中去掉一个向量后仍线性无关;

（C）向量组中每个向量都去掉第一个分量后仍线性无关;（D）向量组中每个向量任意增加一个分量后仍线性无关.解答：根据“全体无关则部分无关〞知选项（B）正确.注意（D），“向量组中每个向量任意增加一个分量后〞不是原来的延伸向量组，所以不能保证还线性无关.例如

?1??1?????11?????1???2??，?2???3??线性无关，但?1??2?，?2??2?线性相关.

?????3??3?????3.以下命题错误的是(C)

（A）若n维向量组??,??,?,?m中没有一个向量能由其余向量线性表示，则该向量组线性无关;

（B）若n维向量组??,??,?,?m的秩小于m，则此向量组线性相关;

（C）若n维向量组??,??,?,?r线性无关，向量组??,??,??s也线性无关，则向量组??,??,?,?r，??,??,??s的秩为r?s.

（D）任何一组不全为零的数k?,k?,?kr使k????k??????kr?r??,则向量组

??,??,?,?r线性无关.

解答：由定义或定理即知选项（A），（B），（D）均正确.

选项（C）错误.反例

????????????????而不是3.

??????????,??????线性无关，??????也线性无关，但是??,??,??的秩是2，

??????????4.设A：?1,?2,?3,?4是一组n维向量，且?1,?2,?3线性相关，则(D).(A)A的秩等于4;(B)A的秩等于n;

(C)A的秩等于1;(D)A的秩小于等于3.

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太原理工大学2023级《线性代数》练习册（二）

解答：由于?1,?2,?3线性相关，所以A：?1,?2,?3,?4线性相关，所以R(A)??.

5.已知向量组?1,?2,?3线性无关,则下面线性无关的向量组是(C).

(A)(C)

?1??2,?2??3,?3??1;（B）?1??2,?2??3,?3??1;?1??2,?2??3,?3??1;（D)?1?2?2,3?2?5?3,-?1?8?2.

1-101111011?0；

解答：方法一

(A):

0-1?0;（B）0-10

-101110(C)：

12050?0.

011?2；(D)3101-180方法二

(?1??2)?(?2??3)?(?3??1)?0，(?1??2)?(?2??3)?(?3??1)?0，

知(A)、(B)均线性相关.由替换定理的推论知(D)线性相关.故应选(C)（可用线性无关的定义证明线性无关）.三.填空题

1.设n维向量?1,?2,?3线性无关，则向量组?1??2,?2??3,?3??1的秩r?

2.1-10解答：由于01-1?0,所以?1??2,?2??3,?3??1线性相关,

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太原理工大学2023级《线性代数》练习册（二）

(或者由于(?1所以?1但?1（

??2)?(?2??3)?(?3??1)?0,

??2,?2??3,?3??1线性相关)

??2,?2??3线性无关,所以r?2.

设

k1(?1??2)?k2(?2??3)?0k1?1?(k2?k1)?2?k2?3?0

由于?1,?2,?3线性无关,所以k1无关.)

2.已知???(?,?,??,?)，???(?,?,?,?),空间的维数为2,则a?6.

解答：方法一由于由?1,?2,?3生成的向量空间的维数为2,而?1,?2线性无关,所

?k2?0,所以?1??2,?2??3线性

???(?,?,?,a).若由?1,?2,?3生成的向量

?2?k??k?????k?k???以?3可由?1,?2唯一线性表示,所以?3?k1?1?k2?2,即?,解得

???k????a??k?a?6.

方法二由于?1,?2,?3生成的向量空间的维数为2，所以?1,?2,?3线性相

关，从而???(?,?,?)，???(?,?,?),???(?,?,a)也线性相关，于是

????????解得a?6.

??a

3.设向量组??,??,?,?m线性无关，向量?不