第7讲 随机变量的函数的分布

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第7讲随机变量的函数的分布主讲：李昌兴

第7讲

随机变量的函数的分布

一、问题的提出二、离散性随机变量的函数的分布三、连续型随机变量的函数的分布

第7讲随机变量的函数的分布主讲：李昌兴

第7讲

随机变量的函数的分布

一、问题的提出在实际问题中经常会遇到由随机变量为自变量构成的函数，如对某工厂生产的一批圆盘进行检验，圆盘的半径r是一个随机变量，圆盘的面积S=r2是关于r的函数，我

们希望通过半径r的分布状况了解面积S的分布状况。

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第7讲

随机变量的函数的分布

一、问题的提出设y=g(x)是连续函数，X为定义在样本空间上的随机变量，令Y=g(X),那么Y也是一个定义在同一个样本空间上的随机变量。假使X是离散型的随机变量，那么Y也是离散型的随机变量。假使X是连续型的随机变量，那么Y也是连续型的随机变量。

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第7讲问题

随机变量的函数的分布

一、问题的提出已知随机变量X的分布率P(Xxk)或者密度函数fX(x),求随机变量Y=g(X)的分布率P(Yyk)或密度函数fY(y).

方法

将与Y有关的事件转化成X的事件

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二、离散型随机变量的函数的分布例1设离散型随机变量X的分布律为X-10123P0.20.10.10.30.3第一步：列表

求(1)Y=X-1;(2)Y=-2X2的分布律。解

XX-1X2P

-1-21

0-10

101

214

329

0.2

0.1

0.1

0.3

0.3

第7讲随机变量的函数的分布主讲：李昌兴

二、离散型随机变量的函数的分布例1设离散型随机变量X的分布律为X-10123P0.20.10.10.30.3其次步：写出分布率

求(1)Y=X-1;(2)Y=-2X2的分布律。解

X-1P

-2

-1

0

1

2

0.200.1

0.110.3

0.14

0.3

0.390.3

X2P

0.3

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二、离散型随机变量的函数的分布设X是一个离散型随机变量，其分布律为XPx1p1x2p2……xkpk……

y=g(x)是一个连续函数，那么随机变量X的函数Y=g(X)也是一个离散型随机变量，且其分布律为YPg(x1)g(x2)p1p2……g(xk)pk……

注意：若g(xk)的值中有相等的，则应把那些相等的值分别合并，把对应的概率相加，并把g(xk)按递增顺序排列.

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例2已知X的概率分布为

P(Xk)pqk,k0,1,2,其中p+q=1,0p1,求Ysin

X2

的概率分布。

32k)}1)P{(P(Y1)P(sin222k0P{(X4k3)}P(X4k3)k0k0

解由已知随机变量的所有可能取值-1,0,1.

X

X

pqk0

4k3

pq41q

3

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类似可求

pP(Y0)P(X2k)pq21qk0k02k

P(Y1)P(X4k1)pqk0k0

4k1

pq1q4

故Y的概率分布为

Ypi

-1

0

1

pq31q4

p1q2

pq1q4

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三、连续型随机变量的函数的分布例3设连续型随机

变量X具有概率密度

求Y=2X+1的概率密度fY(y)。解先求出Y的分布函数FY(y)

第7讲随机变量的函数的分布主讲：李昌兴

三、连续型随机变量的函数的分布例3设连续型随机变量X具有概率密度

求Y=2X+1的概率密度fY(y)。解先求出Y的分布函数FY(y)

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例4

设随机变量X~N(0,1),求(1)Y=|X|的密度函数

fY(y),(2)Y=X2的密度函数fY(y).解由已知条件X的概率密度为(1)随机变量Y=|X|的分布函数

.

FY(y)P(Yy)P(|X|y)当y0时，X|y)是不可能事件，那么FY(y)0.(|当y0时，

FY(y)P(|X|y)P(yXy)FX(y)FX(y)

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例4

设随机变量X~N(0,1),求(1)Y=|X|的密度函数

fY(y),(2)Y=X2的密度函数fY(y).解由已知条件X的概率密度为(1)随机变量Y=|X|的密度函数

.

fY(y)FY(y)

y0,FY(y)0

第7讲随机变量的函数的分布主讲：李昌兴

例4

设随机变量X~N(0,1),求(1)Y=|X|的密度函数

fY(y),(2)Y=X2的密度函数fY(y).解由已知条件X的概率密度为(1)随机变量Y=|X|的密度函数

.

fX(y)fX(y),y0,fY(y)FY(y)0,y0.y22e2,y0,20,y0.y0,FY(y)FX(y)FY(y)

第7讲随机变量的函数的分布主讲：李昌兴

例4

设随机变量X~N(0,1),求(1)Y=|X|的密度函数

fY(y),(2)Y=X2的密度函数fY(y).解由已知条件X的概率密度为(2)随机变量Y=X2的分布函数

.

FY(y)P(Yy)P(X2y)

P(yX0,

y),

y0,y0.y0,y0.

FX(y)FX(y),0,

第7讲随机变量的函数的分布主讲：李昌兴

例4

设随机变量X~N(0,1),求(1)Y=|X|的密度函数

fY(y),(2)Y=X2的密度函数fY(y).解由已知条件X的概率密度为(2)随机变量Y=X2的密度函数

.

11fX(y)fX(y),2yfY(y)2y0,y1e2,y0,2y0,y0.

y0,y0.

第7讲随机变量的函数的分布主讲：李昌兴

特别，当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，有定理1设随机变量X具有概率密度fX(x).函数g(x)为()内的严格单调的可导函数，则Y=g(X)也是一个连续型随机变量，且Y的概率密度函数为

其中x=h(y)是y=g(x)的反函数，min{g(),g()},

max{g(),g()}.证若y=g(x)严格单调增加，则其反函数x=h(y)存在且也严格单调增加。

Y=g(X)在区间(,β)内取值.

第7讲随机变量的函数的分布主讲：李昌兴

当y时，FY(y)=0;当y时，FY(y)=1;当时,

FY(y)P(Yy)P[g(X)y]P[Xh(y)]FX[h(y)]Y的概率密度为

若y=g(x)严格单调下降，同样可以证明:

综上所述，定理得证.

第7讲随机变量的函数的分布主讲：李昌兴

特别，当函数y=g(x)可导且为严格单调函数时，有定理1设随机变量X具有概率密度f