江元生《结构化学》答案chapter1

本文格式为Word版，下载可任意编辑——江元生《结构化学》答案chapter1第一章量子理论

xx????1.说明a(x,t)?a0cos?2?(??t)?及a(x,t)?a0sin?2?(??t)?都是波动方程

???????2a(x,t)1?2a(x,t)的解。?2?x2c?t2提醒：将a(x,t)代入方程式两端，经过运算后，视其是否一致。解：利用三角函数的微分公式

x??a(x,t)?a0co?s2?(??t)?代入方程：

?????sin(ax)?acos(ax)和cos(ax)??asin(ax)，将

?x?x?2x???x?????左边?2a0cos?2?(??t)??a0cos2?(??t)?????x??x??x???????a0??2?x?????sin2?(??t)?????x???????2x?2??????a0??cos?2?(??t)???????1?2xx??a0??????右边?22a0cos?2?(??t)??2?cos?2?(??t)??c?t????c?t??t???a0??x????2??sin2?(??t)?2???c?x??????a0x??2???2cos???22?(??t)??c????x??对于电磁波c???，所以a(x,t)?a0cos?2?(??t)?是波动方程的一个解。

???x??对于a(x,t)?a0sin?2?(??t)?，可以通过类似的计算而加以证明：

????2xx???2????左边?2a0sin?2?(??t)???a0??sin?2?(??t)?

?x?????????2a01?2xx????2???2sin?右边?22a0sin?2?(??t)???22?(??t)??c?t?c?????

2.试根据Planck黑体辐射公式，推证Stefan定律：I??T4，给出?的表示式，并计算它的数值。

提醒：E??0E(?)d?,I=cE/48?h?3解：将E(?)d??c3?8?h?3?1??h?kT?d?代入上式，E??0e?1c3????1??h?kT?d?e?1??作变量代换x?h?/kT后，上式变为，

Chapter11

8?h?kT?E?3??c?h?4??08?h?kT??48?5k4T4?1?x?x???dx?3?c?h?1515c3h3?e?1?34cc8?5k4T42?5k4T4I?E???5.67?10?8W?m?2?K?433234415ch15ch

3.说明在长波?低频?区域??=0?，Planck公式还原为Rayleigh-Jeans公式。提醒：应用Taylor级数展开eh?kT。

解：在长波?低频?区域??=0?，可将eh?kT用Taylor级数展开至一阶，

eh?kT?1?h?kT

并代入Planck公式即可得Rayleigh-Jeans公式，8?h?3?1?8?h?3kT8?kT?2E(?)d??d??d???d??c3?eh?kT?1?c3h?c3

4.试通过对能量密度函数求极值，推导出Wien位移定律?maxT?b,

b?hc/5k?2.9?10?3m?K。

解：此题正确求解的关键是必需明确以波长为变量求得的最大能量密度及波长?max和以频率为变量求得的最大能量密度及频率?max无对应关系:c=??max?max.现对这两个物理量分别计算如下:(1)求?max8?h?3根据能量密度函数的表示式E(?)d??c3dE(?)d?8?h?3?1???????d?d??c3?eh?kT?1???8?hd?????c3d??eh?kT?1?c3?eh?kT?1?8?h?2h?h?kT??h?kT???33e?1?e??2c?eh?kT?1??kT?3?1??h?kT?d?得到,e?1????e8?hh?kT?1?3?2??3hh?kTekT2当上述微分为零时能量密度函数取极值(可以证明,取极大值.),即:

8?h?2h?h?kT??h?kTc3?eh?kT?1?2?3?e??1??kTe??0?

?=0为平庸根,另一个根由下述方程得到:

h?h?kTh?kT3?e?1??kTe?0.

令x?h?,上述方程变换为:3(ex-1)-xex=0kT通过迭代求解,可得两个根x=0,x=2.82.从而得到关系式

Th.??max2.82k(2)求?max

先将能量密度的表示式变换为波长的函数:

Chapter12

d??8?h??c?d(c/?)E(?)d???3???hc/kT??8?hc5??E(?)d?

?1?(1?ehc/kT?)?c????e3对E(?)求极值:

dE(?)d??8?hc???5(1?ehc/kT?)?1?d?d???hc???ehc/kT?????8?hc??5??6(1?ehc/kT?)?1???5(1?ehc/kT?)?2???2?kT???????6hchc/kT???hc/kT??8?hc5(1?e)?e??(1?ehc/kT?)2?kT??极值条件为上式等于零.再令y?hc,得到:kT?5(ey-1)-yey=0

迭代求得:y=0,y=4.965.

y=0为平庸根,y=4.965时,E(?)取极大值(可以证明),故而,?maxT?hc/ky?hc/4.965k.

(3)综合上述两个结果,简单发现?max?max不等于光速c.

5.计算以下波长的一个光子和1mol光子的能量：?a?600nm?红?,?b?550nm?黄?,?c?400nm?蓝?,?d?200nm?紫外?,?e?150pm?X射线?,?f?1cm?微波?。

解：此题用到的长度单位变换为：1m?102cm?106μm?109nm?1012pm。

一个光子的能量为：E?h??hc?，而1mol光子的能量为：Emol?N0h??N0hc?。这里N0是Avogadro常数，h是Planck常数,c是光速，?是波长。对与此题的各种波长，代入以上公式得：

?a?E?2.07eV，Emol?199.38kJ；?b?E?2.25eV，Emol?217.50kJ；?c?E?3.10eV，Emol?299.07kJ；?d?E?6.20eV，Emol?598.14kJ；?e?E=8.26×103eV,Emol=7.975×105kJ；?f?E=1.24×10?4eV,Emol=1.20×10-2kJ。

6.用波长为750nm,500nm,200nm的光照射以下金属的表面：Na?2.3eV?,K?2.2eV?,Cs?2.1eV?,W?4.5eV?。括号中的数值是该金属的功函数，请估计光电子发射时，每种状况的电子动能。解：光电子发射时，电子动能Ek?hc???，这里?是金属的功函数。代入此题的波长

和功函数，计算结果见下表：

—————————————————————————————NaKCsW

—————————————————————————————?=750无发射无发射无发射无发射?=5000.18eV0.28eV0.38eV无发射?=2003.90eV4.00eV4.10eV1.70eV—————————————————————————————

Chapter13

7.测量光电子的动能，把它看作入射光频率的函数。在波长为625nm时，动能为0.2eV；在波长为416nm时，动能为1.2eV；在312nm时，动能为2.2eV。计算此金属的功函数，能否通过这些数据，确定Planck常数，试给出h的数值。解：

此题中h作为未知量出现。据公式Ek?hc???，将第一组和其次组数据代入公式并将

公式中的每一项的能量单位都换成eV，得到一方程组，

?0.2?1.036?10?5N0hc625?10?9????5?91.2?1.036?10Nhc416?10??0?从这个方程组可得h?6.6512?10?34J?s和??1.79eV。利用这两个参数和第三组数据可验证所得结果正确。

8.计算以下状况下得deBroglie波长：?a?速度为10m/s的氢原子；

?b?能量为0.05eV和5?106eV的自由电子；?c?能量为0.05eV的氙原子。

解：粒子的deBroglie波长为??=h/p。

?a?H的原子量为1.007825,原子质量单位1.6605655×10?27kg，所以??6.62618?10?34J?s?1.007825?1.6605655?10?27kg?103m/s??3.959?10?10m

13?b?1eV=1.6022×10?31J，电子质量为9.10953×10?31kg。自由电子的波长和能量的关系为

??h2meE，将数据代入公式并统一单位得，

对于能量为0.05eV的自由电子，?=5.485×10?9m；对于能量为5×10?eV的自由电子，?=5.485×10?13m?c?Xe的原子量为

9.微粒子发生衍射现象的条件是孔径尺寸要与波长相当。今有动能102~105eV的电子，试论当孔径直径为10?6m?普通光栅?时，能否观测到衍射现象。解：

1eV=1.6022×10?31J，电子质量为9.10953×10?31kg。自由电子的波长和能量的关系为

??h2?10

2meE。对于动能为10eV的自由电子，?=1.226×10m；

对于能量为105eV的自由电子，?=3.878×10?12m。所以动能为102~105eV的电子不能在普通光栅上观测到衍射现象。

10.试将两个正弦波a1(x,0)?a0sink1x，a2(x,0)?a0sink2x叠加，导出测不准关系?x?p?h。解：将两个正弦波叠加后，利用和角公式得，

?k?k2A(x,0)?a1(x,0)?a2(x,0)?2a0sin?1?2

??k?k2x?cos?1??2?x??Chapter14

在x?0附近，当x???k1?k2,0,?k1?k2时，A(x,0)?0。此时坐标范围为?x??k1?k2，动

量范围为?p?p1?p2?h/?1?h/?2?

h(k1?k2)，从而可得?x?p?h/2?。2?11.试说明?(x,t)?ei(?kx?2??t)中得任何一个函数都是波动方程的解,且满足定态要求?(x,t)?2?(x,t)k2??(x,t)与时间无关。它们也是另一形式波动方程得解：，请验证。???x2i2???t2解：将?(x,t)?ei(?kx?2??t)代入方程：

?2i(?kx?2??t)左边?2e?(?ik)2ei(?kx?2??t)??k2ei(?kx?2??t)

?x2k?i(?kx?2??t)?k??i(?kx?2??t)2?右边??e?(?i2??)??k2ei(?kx?2??t)???e2?2??t??t?2??t?22?2?(x,t)?k??2?(x,t)i(?kx?2??t)??故?(x,t)?e是，且?2?x22???t??2?(x,t)?ei(?kx?2??t)?e?i(?kx?2??t)?1，与时间无关，是该波动方程的定态解。

2k2??(x,t)?2?(x,t)k2??(x,t)?k???(x,t)??又由于?，所以的解。????t2i2???t?x2i2???t?2???22

?2?(x,t)k2??(x,t)12.说明cos?kx?2??t?和sin?kx?2??t?中的任何一个函数都不是???x2i2???t的解，也不符合定态要求，试推证之。

解：将cos?kx?2??t?代入方程，

?2左边?2cos?kx?2??t???k2cos?kx?2??t?

?xk2?k2??右边??cos(kx?2??t)??????2???cos(kx?2??t)?k2cos(kx?2??t)所以

i2???t?i2????2?(x,t)k2??(x,t)cos?kx?2??t?不是的解。并且???x2i2???tcos?kx?2??t??2cos2?kx?2??t??1是时间的函数，所以cos?kx?2??t?也不符合定态要求。

2对sin?kx?2??t?同理可证。

13.写出氢原子中电子的波动方程。解：

??(x,y,z,t)?2??2?(x,y,z,t)?2?(x,y,zt)ih?t???2me??z2??y2?2?(x,y,zt)?e2????(x,y,z,t)

?z2?r其中右边第一项为动能项，其次项为核与电子的静电相互作用项。

Chapter15

14.试问e解：?a??b??c??d??e?

ikx,coskx,k,kx及e?kx中哪些是

2df?af的本征函数，本征值a为多少。dxdikxe?ikeikx。eikx是该方程的一个本征函数，本征值a?ik。dxdcoskx??ksinkx。coskx不是该方程的本征函数。dxdk?0。k是该方程的一个本征函数，本征值a?0。dxdkx?k。kx不是该方程的本征函数。dxd?kx?kx2不是该方程的本征函数。e??2kxekx。edx2215.已知动量算符px??i?2dikx，试求以下各波函数所代表的粒子动量平均值，?a?e，dx?b?e?kx，?c?coskx，其中???x??。

d?(x)dx?(x)px?(x)dx?dx。???i????(x)?(x)dx?(x)?(x)dx??????(x)解：动量平均值px?ikx?e?a?px???i?dikxedxe?ikxeikxdx?dx??i??ik?ikxikx??k?ikxikxeedx??eedxd?kxedxxe?2kxdx12k?dx??2i?k??2i?k??i?2?k?kx?2kxe?kxdxedx12?k?22222?b?px?e??i??e?kx2?c?px

dcoskxdxcoskxsinkxdx?dx???i???i?k?0

?coskxcoskxdx?coskxcoskxdx?coskx16.求一维势箱粒子的x2值。解：一维势箱粒子的本征函数为：

?2n?x??n(x)?sin,0?x?L(n?1,2,3,?)?LL???n(x)?0,x?0,x?L2L22n?x2?L?n?22L2x??0xsindx??xsinxdx?33?LLL?n???0n?L2n?2L2n?2L2L2?33?0xdx?33?0xcos2xdx??n?n?32n2?223?n?0x2?1?cos2x?dx

17.一个电子被限制在0.1nm的一维箱中，试估计其动量?及速度?的不确定范围。解：根据测不准原理?x?p?h，电子被限制在箱中，其位置的不确定性可以认为是箱的

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大小。则

?p?h/?x?6.62618?10?34J?s/0.1nm?6.62618?10?24kg?m/s

电子质量为9.10953?10?31kg，则

6.62618?10?24kg?m/s?v??p/me??7.3?106m/s-319.10953?10kg

18.试以一维势箱运动为模型，探讨己三烯的?电子成键。解：

?2n?x??n(x)?sin,0?x?L(n?1,2,3,?)?LL???n(x)?0,x?0,x?L下图所示为己三烯链上的电荷分布状况三个最高峰分别出现在第一,第三,第五个C-C

键上,说明上述三个键为双键,其余为单键.三个双键中,中间的双键的电荷分布较小,说明这个双键的强度小于边上的双键.

19.一维势箱的长度有L变为Lm(m?2,3,4,?)时，箱中粒子的能级和波函数会发生什么变化？

n2h2解：处于一维势箱中粒子的能级和波函数为En?和

8ML2?2n?x??n(x)?sin,0?x?L(n?1,2,3,?)?LL???n(x)?0,x?0,x?Lm2n2h2当势箱的长度缩短时，其能级和波函数分别变为En?和

8ML2?2mmn?x??n(x)?sin,0?x?L/m(n?1,2,3,?)。?LL???n(x)?0,x?0,x?L/m其能级间隔将变大而波函数的形式并不发生变化，但波函数振幅变大。

20.请用分开变数方法将三维势箱中粒子的波动方程化为三个一维势箱中的方程。解：三维势箱中粒子的波动方程为：

????(x,y,z)?E?(x,y,z)?设?(x,y,z)??(x)?(y)?(z)，并代入以上方程，

Chapter17

?2??2?2?2?2?2?2?2m??y?z??x????(x)?(y)?(z)?E?(x)?(y)?(z)?方程两端同时除以?(x)?(y)?(z)得，

?2??2?2?2??2?2?22m??y?z??x1?2?(x)1?2?(y)1?2?(z)????2mE/?2222?(x)?x?(y)?y?(z)?z方程左端每一项只含一个变量，且三个变量是无关的，所以每一项都等于一个常数。设这三个常数为?2mEx/?2，?2mEy/?2和?2mEz/?2，且E?Ex?Ey?Ez，则三维势箱中粒子的波动方程化为三个一维势箱中的方程，

?2?2?(x)?2?2?(z)?2?2?(y)??Ex?(x)，??Ez?(z)。?Ey?(y)和?2m?x22m?z22m