泰勒公式及其应用-1

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四川理工学院毕业论文

泰勒公式及其应用

学生：

学号：

专业：数学与应用数学

班级：

指导教师：

四川理工学院理学院

二OO九年六月

四川理工学院

毕业论文任务书

论文题目：泰勒公式及其应用二级学院：理学院专业：数学与应用数学班级：2023级2班学号：05121020232学生：李颖梅指导教师：张新华接受任务时间：2023年3月9日

（系）教研室主任（签名）理学院院长（签名）

1．毕业论文的主要内容及基本要求

主要内容：本文是先对泰勒公式进行简单的介绍，对余项进行探讨，以便引出对误差的估计．在此基础上将泰勒公式的应用进行了总结，并配备了相应的例题．对于有些应用也给予了说明．基本要求：在明确了主要内容基础上要做到（1）查阅文献资料，确定课题研究思路，了解课题前沿（2）理清论文思路；（3）撰写出思路明了，规律合理的论文．

2．指定查阅的主要

ABSTRACT

Taylor’sformulaisanimportantknowledgeinthemathematicalanalysis．ThispaperdiscussessomebasiccontentsabouttheTaylor’sformula，Inthispaper，wediscussitsapplicationsinthemathematicalanalysisandrealitylifefrom9facetsingeneral：wecanusetheTaylor’sformulatoprovetheequationandinequality，solvethelimitandthevaluelimit，Therearesomeapplicationsinthefunctionalequationsandlinearinterpolation，besideswemayuseittosearchtheextremevalueandstudythepartialshapeofthefunction’sgraph，aswellastheapplicationofapproximatecalculation,thiscanhelpustoknowtheimportanceoftheTaylor’sformula．

Keywords：Taylor'sformulaTheremainingofthePianoTheremainingoftheLagrangianApplication

目录

第1章前言1

第2章预备知识2

2.1Taylor公式2

2.2泰勒公式的各种余项3

第3章泰勒公式的应用6

3.1应用Taylor公式证明等式6

3.2应用Taylor公式证明不等式7

3.3应用Taylor公式求极限9

3.4应用Taylor公式求中值点的极限11

3.5应用Taylor公式近似计算12

3.6应用Taylor公式求极值13

3.7应用Taylor公式研究函数图形的局部形态14

3.8应用Taylor公式研究线形插值15

3.9应用Taylor公式研究函数表达式16

终止语18

第1章前言

随着计算机和通信技术的迅速发展,在自然科学和工程技术等众多领域中,利用计算机进行近似计算，已成为科学研究和工程设计中不可缺少的一个重要环节,也就是说近似计算方法是一种很重要的科学研究方法.泰勒公式是一个多项式的拟合问题,而多项式是一种简单函数，它的研究对我们来说是很轻松的，而且研究也是很便利的，特别是对计算机编程计算是极为便利．假使将所研究的对象转化为多项式,那么问题就会比较简单了.这就使我们想到可不可以把泰勒公式应用到这些领域呢？因此有好多科学家和学者对此做出了重要的贡献.首先来看一下泰勒理论创始人泰勒是如何研究的.

泰勒（1685-1731）主要是从有限差分出发，得到格里戈里-牛顿插值公式,然后令初始变量为零,项数为无穷,但没有给出余项的具体表达式.随着后人的不断研究与完善，形成今天我们学习使用的泰勒公式．现代也有好多期刊和教材对这部分内容进行了介绍,对近似计算上的应用介绍也已较全面,较系统．但在其它领域的应用则显简单,不系统，不全面，为了便利以后的学习,有必要对此部分内容进行归纳总结.

本文较为详细地介绍了泰勒公式这部分内容所涉及的基本概念,相关定理及余项表达式.在此基础上，对泰勒公式在证明等式和不等式，求极限和中值点的极限，函数方程和线形插值中的应用做了介绍，另外还可以用来求极值，研究函数图形的局部形态，在近似计算中的应用等方面进行了全面地总结,同时配备了相应的例题解答和文字说明,以便于读者更好地去理解.

应当说,本文的最大特点是全面性和系统性,所涉及到的内容不仅有我们所经常用到的内容,还有一部分是我们不很常见的泰勒公式的应用,这对于想补充一下自己的课外知识的学者很有帮助.虽然例题不是好多,但很典型.只要深入去把握,并挖透习题,了解其中的方法,就可以“以不变应万变〞.

由于时间和能力有限,文中有错误是在所难免的,敬请读者批评指正.

第2章预备知识

前面一章我们介绍了一下泰勒和他的成就，那他的主要杰作泰勒公式毕竟在数学中有多大的用处呢？那么从这一章开始我们就要来学习一下所谓的泰勒公式，首先来了解一下它是在什么样的背景下产生的．

给定一个函数f(x)在点x0处可微，则有：

f(x0x)f(x0)f(x0)x(x)这样当x1时可得近似公式

f(x0x)f(x0)f(x0)x

或

f(x)f(x0)f(x0)(xx0)，xx01

即在x0点附近，可以用一个x的线形函数（一次多项式）去迫近函数f，但这时有两个问题没有解决：

（1）近似的程度不好，确切度不高．由于我们只是用一个简单的函数—一次多项式去替代可能是十分繁杂的函数f．

（2）近似所产生的误差不能具体估计，只知道舍掉的是一个高阶无穷小量(xx0)，假使要求误差不得超过104，用f(x0)f(x0)(xx0)去替代f(x)行吗？因此就需要用新的迫近方法去替代函数．

在下面这一节我们就来设法解决这两个问题．

2.1Taylor公式

首先看第一个问题，为了提高近似的确切程度，我们可以设想用一个x的n次多项式在x0附近去迫近f，即令

f(x)a0a1(xx0)...an(xx0)n（2.1）

从几何上看，这表示不满足在x0附近用一条直线（曲线yf(x)在点(x0,f(x0))的切线）去替代yf(x)，而是想用一条n次抛物线f(x)a0a1(xx0)...an(xx0)n去替代它．

我们猜想在点(x0,f(x0))附近这两条曲线可能会拟合的更好些．那么系数a0，a1an如何确定呢？

假设f本身就是一个n次多项式，显然，要用一个n次多项式去替代它，最好莫过它自身了，因此应当有

f(x)a0a1(xx0)...an(xx0)n

于是得：a0f(x0)

求一次导数可得：a1f(x0)又求一次导数可得：a2

这样进行下去可得：

f(x0)f(4)(x0)f(n)(x0)a3，a4，，an3!4!n!f(x0)2!

因此当f是一个n次多项式时，它就可以表成：

nf(n)(x0)f(k)(x0)nf(x)f(x0)f(x0)(xx0)...(xx0)(xx0)k（2.2）n!k!k0

即x0附近的点x处的函数值f(x)可以通过x0点的函数值和各级导数值去计算．通过这个特别的情形，我们得到一个启示，对于一般的函数f，只要它在x0点存在直到n阶的导数，由这些导数构成一个n次多项式

f(x0)f(n)(x0)2Tn(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)...(xx0)n2!n!

(x0)(k1,2,3,...,n)，称k!

为泰勒系数．因而n次多项式的n次泰勒多项式就是它本身．

称为函数f(x)在点x0处的泰勒多项式，Tn(x)的各项系数f(k)

2.2Taylor公式的各种余项

对于一般的函数，其n次Taylor多项式与函数本身又有什么关系呢？函数在某点x0附近能近似地用它在x0点的n次泰勒多项式去替代吗？假使可以，那怎样估计误差呢？下面的Taylor定理就是回复这个问题的．

定理1[10](带拉格朗日型余项的Taylor公式)

假设函数f(x)在|xx0|h上存在直至n1阶的连续导函数，则对任一x[x0h,x0h],泰勒公式的余项为

f(n1)()Rn(x)(xx0)n1(n1)!

其中x0(xx0)为x0与x间的一个值.即有

f(n)(x0)f(n1)()nf(x)f(x0)f(x0)(xx0)...(xx0)(xx0)n1(2.3)n!(n1)!

推论1[10]当n0，（2.3）式即为拉格朗日中值公式：

f(x)f(x0)f()(xx0)

所以，泰勒定理也可以看作是拉格朗日中值定理的推广．

推论2[10]在定理1中,若令

f(n1)()Rn(x)(1)n1p(xx0)n1

pn!

则称Rn(x)为一般形式的余项公式,其中

型余项．若令p1，则得

f(n1)()Rn(x)(1)n(xx0)n1

n!(p0)x0xx0．在上式中，pn1即为拉格朗日(p0),

此式称为柯西余项公式．

当x00，得到泰勒公式：

f(0)2f(n)(0)nf（n1）(x)n1f(x)f(0)f(0)xx...xx，(01)（2.4）2!n!(n1)!

则（2.4）式称为带有拉格朗日型余项的麦克劳林公式．

定理２[10]（带皮亚诺型的余项的Taylor公式）若函数f在点x0处存在直至n阶导数，则有

n

Pn(x)k0f(k)(x0)(xx0)k，k!

Rn(x)f(x)Pn(x)．

则当xx0时，Rn(x)((xx0)n)．即有

f(n)(x0)f(x)f(x0)f(x0)(xx0)...(xx0)n((xx0)n)（2.5）n!

定理3所证的（2.5）公式称为函数f(x)在点x0处的泰勒公式，Rn(x)f(x)Pn(x)，称为泰勒公式的余项的，形如((xx0)n)的余项称为皮亚诺型余项，所以（2.5）式又称为带有皮亚诺型余项的泰勒公式

当（2.5）式中x00时，可得到

f(0)2f(n)(0)nf(x)f(0)f(0)xx...x(xn)（2.6）2!n!

（2.6）式称为带有皮亚诺型余项的麦克劳林公式，此展开式在一些求极限的题目中有重要应用．

由于Rn(x)((xx0)n)，函数的各阶泰勒公式事实上是函数无穷小的一种精细分析，也是在无穷小领域将超越运算转化为整幂运算的手段．这一手段使得我们可能将无理的或超越函数的极限，转化为有理式的极限，从而使得由超越函数所带来的极限式的奇性或不定性，得以有效的约除，这就极大的简化了极限的运算．这在后面的应用中给以介绍．

定理３设h0，函数f(x)在U(x0;h)内具有n2阶连续导数，且f(n2)(x0)0，

f(x)在U(x0;h)内的泰勒公式为

f(n)(x0)nf(n1)(x0h)n1f(x0h)f(x0)f(x0)h...hh,01（2.7）n!(n1)!

则limh01．n2

证明：f(x)在U(x0;h)内的带皮亚诺型余项的泰勒公式：

f(n)(x0)nf(n1)(x0)n1f(n2)(x0)n2f(x0h)f(x0)f(x0)h...hhh(hn2)n!(n1)!(n2)!

将上式与（2.7）式两边分别相减，可得出

f(n1)(x0h)-f(n1)(x0)n1f(n2)(x0)n2hh(hn2)，(n1)!(n2)!

从而

f(n1)(x0h)f(n1)(x0)f(n2)(x0)(hn2)n2，(n1)!h(n2)!h

令h0，得

f(n2)(x0)1(n2)，limf(x0)h0(n1)!(n2)!

故limh01．n2

由上面的证明我们可以看得出，当n趋近于无穷大时，泰勒公式的近似效果越好，拟合程度也越好．

第3章泰勒公式的应用

由于泰勒公式涉及到的是某一定点x0及x0处函数f(x0)及n阶导数值：f(x0)，

f(x0)，，f(n)(x0)，以及用这些值表示动点x处的函数值f(x)，本章研究泰勒公式的具体应用，譬如近似计算，证明中值公式，求极限等中的应用．

3.1应用Taylor公式证明等式

例3.1.1设f(x)在a,b上三次可导，试证：c(a,b)，使得

f(b)f(a)f(ab1)(ba)f(c)(ba)3224

证明：(利用待定系数法)

设k为使以下式子成立的实数：

f(b)f(a)f(ab1)(ba)k(ba)30（3.1）224

这时，我们的问题归为证明：c(a,b)，使得：

kf(c)ax1)(xa)k(xa)3，则g(a)g(b)0．224令g(x)f(x)f(a)f(

根据罗尔定理，(a,b)，使得g()0，即：

aa(a)k)f()(a)202228

a这是关于k的方程，注意到f()在点处的泰勒公式：2f()f(

f()f(aa(a)1)f()f(c)(a)22228

其中c(a,b)，比较可得原命题成立．

例3.1.2设f(x)在a,b上有二阶导数，试证：c(a,b)，使得

ab1)f(c)(ba)3．（3.2）224

证明：记x0baf(x)dx(ba)f(ab，则f(x)在x0处泰勒公式展开式为：2

f()f(x)f(x0)f(x0)(xx0)(xx0)2（3.3）2

对（3.3）式两端同时取a,b上的积分，注意右端其次项积分为0，对于第三项

的积分，由于导数有介值性，第一积分中值定理成立：c(a,b)，使得

b

af()(xx0)2dxf(c)(xx0)2dxab1f(c)(ba)312

因此原命题式成立．

因此可以从上述两个例子中得出泰勒公式可以用来证明一些恒等式，既可以证

明微分中值等式，也可以证明积分中值等式．以后在遇到一些等式的证明时，不妨可以尝试用泰勒公式来证明．证明等式后我们在思考，它能否用来证明不等式呢？经研究是可以的，下面我们通过几个例子来说明一下．

3.2应用Taylor公式证明不等式

例3.4设f(x)在a,b上二次可微，f(x)0，试证：ax1x2...xnb，

ki0，ki1，f(kixi)kif(xi)．

i1i1i1nnn

证明：取x0kixi，将f(xi)在xx0处展开

i1n

f(xi)f(x0)f(x0)(xix0)f(i)(xix0)2f(x0)f(x0)(xix0)2

n其中i1,2,3,...,n．

以ki乘此式两端，然后n个不等式相加，注意ki1

i1

kxi

i1nix0kixix00i1n

得：

k

i1nif(xi)f(x0)f(kixi)．i1n

例3.2.2设f(x)在0,1上有二阶导数，当0x1时，f(x)1f(x)2．试

证：当0x1时，f(x)3．

证明：f(t)在x处的泰勒展开式为：

f(t)f(x)f(a)(tx)f()(tx)22!

其中将t分别换为t1，t0可得：

f(1)f(x)f(x)(1x)f()(1x)2（3.4）2!

f()f(0)f(x)f(x)(x)(x)2（3.5）2!

所以（3.4）式减（3.5）式得：

f(1)f(0)f(x)f()f()2(1x)2x2!2!

从而，

f(x)f(1)f(0)11f()(1x)2f()x22(1x)2x221322

例3.2.3设f(x)在a,b上二阶可导，f(a)f(b)0，证明：(a,b)，有

|f()|4|f(b)f(a)|．(ba)2

证明：f(x)在xa，xb处的泰勒展开式分别为：

f(1)(xa)2，1(a,x)2!

f(2)f(x)f(b)f(b)(xb)(xb)2，2(x,b)2!f(x)f(a)f(a)(xa)

令xab，则有2

f(1)(ba)2abab)（3.6）f()f(a)，1(a,222!4

f(2)(ba)2abab,b)（3.7）)f(b)f(，2(222!4

（3.7）－（3.6）得：

(ba)2f(2)f(1)0f(b)f(a)8

则有

(ba)2(ba)2f(2)f(1)f(b)f(a)f(2)f(1)88

令f()maxf(1),f(2)，即有

|f()|4|f(b)f(a)|．2(ba)

0x1例3.2.4设f(x)二次可微，f(0)f(1)0，maxf(x)2，试证：

minf(x)16．0x1

证明：因f(x)在0,1上连续，故有最大值，最小值．又因maxf(x)2，0x1

f(0)f(1)0，故最大值在0,1内部达到，所以x00,1使得

f(x0)maxf(x)0x1

于是f(x0)为极大值，由费马定理有：f(x0)0，

在xx0处按Taylor公式展开：,(0,1)使得：

0f(0)f(x0)

0f(1)f(x0)f()2x0，（3.8）2f()(1x0)2．（3.9）2

因此

44minf(x)minf(),f()min2,20x1(1x)0x0

1而x0,1时，2

444min2,16，22x0(1x0)(1x0)

1x00,时，2

444min2,216．2(1x)0x0x0

所以，minf(x)16．0x1

由上述几个例题可以看出泰勒公式还可以用来证明不等式，例3.2.1说明泰勒公

式可以根据题目的条件来证明函数的凹凸性，例3.2.2说明可以对某些函数在一定范围内的界进行估计，例3.2.3是用泰勒公式证明中值不等式，例3.2.4与例3.2.2很相像，只不过前者是界的估计，后者是对导数的中值估计．证明不等式有好多种方法，而学习了泰勒公式后，又增加了一种方法，在以后的学习中我们要会灵活应用．但前提是要满足应用的条件，那就是泰勒公式成立的条件．

3.3应用Taylor公式求极限

例3.3.1求limx0cosxex4x22．

解：在这里我们用泰勒公式求解，考虑到极限，用带皮亚诺型余项的麦克劳林

公式展开，则有

x2x4

cosx1(x5)224

ex2

2x2x41(x5)28

x2

2cosxex4

(x5)12

所以，limx0cosxex4x22x4(x5)1lim4．x012x

像这类函数用泰勒公式求极限就比较简单，由于使用洛毕达法则比较麻烦和复

杂．

例3.3.2设函数(x)在0,上二次连续可微，假使lim(x)存在，且(x)在

(x)0．0,上有界，试证：xlim

xx证明：要证明lim(x)0，即要证明：0，0．当xM时x．

利用Taylor公式，h0，

(xh)(x)(x)h()h2（3.10）

即12

(x)

x1(xh)(x)1()h（3.11）h2记Alim(x)，因(x)有界，所以M0，使得

(x)M，(x0)

故由（3.11）知

1(xh)AA(x)1|()|h（3.12）h2(x)

10，首先可取h0充分小，使得Mh，然后将h固定，因Alim(x)，x22

所以0，当x时

1(xh)AA(x)h2

从而由（3.12）式即得：(x)

2

2．即

xlim(x)0

例3.3.3判断以下函数的曲线是否存在渐近线，若存在的话，求出渐近线方程．

（1）y(x2)(x1)2；

215（2）yx(cose2x)．x1

解：（1）首先设所求的渐近线为yaxb，并令u1，则有：x

(12u)(1u)abu

xu0u

22(1u)(1u)abu(u)33limu0u

1abu(u)lim0u0u

从中解出：a1，b0．所以有渐近线：yx．lim[(x2)(x1)2axb]lim

（2）设yaxb，u

113231，则有xu2

221cosueau4bu552xlim[x(cose)axb]limxu0xu5

u2u4u2u4

(1)(1)au4bu5(u5)limu0u

0

从中解出：a1，a1,b0．12

1x．12所以有渐近线：y

从上面的例子中我们可以看得出泰勒公式在判断函数渐近线时的作用，因而我们在判断函数形态时可以考虑这个方法，通过求极限来求函数的渐进线．

上述三个例子都是泰勒公式在求极限的题目上的应用，例3.3.1是在具体点或

者是特别点的极限，而其次个例子是求无穷远处的极限，第三个是利用极限来求函数的渐近线，学习了数学分析，我们知道求极限的方法多种多样，但对于有些繁杂的题目我们用洛必达法则或其他方法是很难求出，或者是比较繁杂的，我们不妨用泰勒公式来解决．

3.4应用Taylor公式求中值点的极限

例3.4.1[4]设

(1)f(x)在(x0,x0)内是n阶连续可微函数，此处0；

(2)当k2,3,...,(n1)时，有f(k)(x0)0，但是f(n)(x0)0；

(3)当0h时有

f(x0h)f(x0)f(x0h(h))．（3.13）h

其中0(h)1，证明：

lim(h)nh01．n

证明：要求出(h)的极限必需设法解出(h)，因此将（3.13）式左边的f(x0h)

及右端的f(x0h(h))在x0处展开，注意条件(2)，知1,2(0,1)使得

hnnf(x0h)f(x0)hf(x0)f(x01h)，（3.14）n!

hn1((h))n1

(n)f(x0h(h))f(x0)f(x02h(h))，（3.15）(n1)!

于是（3.13）式变为

hn1

(n)hn1((h))n1

(n)f(x0)f(x01h)f(x0)f(x02h(h))n!(n1)!

从而

(h)n(x01h)．(n)nf(x02h(h))f(n)

因1,2,(h)(0,1)，利用f(n)(x)的连续性，由此可得

lim(h)nh01．n

这个例子可以作为定理来使用，但前提是要满足条件．以后只要遇到相关的题目就可以简单应用．

3.5应用Taylor公式近似计算

由于泰勒公式主要是用一个多项式去迫近函数，因而可用于求某些函数的近似

值，或根据误差确定变量范围．特别是计算机编程上的计算．

例3.5.1求：（1）计算e的值，使其误差不超过106；

（2）用泰勒多项式迫近正弦函数sinx，要求误差不超过103，以m2的情形

探讨x的取值范围．

解：(1)由于ex的麦克劳林的泰勒展开式为：xxnex

e1x...xn1,012!n!(n1)!x2

当x1时，有

11e

e11...2!n!(n1)!

e3故Rn(1)．当n9时，有(n1)!(n1)!

R9(1)3310610!3628800

从而省略R9(1)而求得e的近似值为：e11111...2.7182852!3!9!

(2)当m2时，x3

sinxx，使其误差满足：6

x5cosx5R4(x)x1035!5!

只需x0.6543（弧度），即大约在原点左右3729′38″范围内，上述三次多项式迫近的误差不超过103．

3.6应用Taylor公式求极值

定理3.1[12]设f在x0附近有n1阶连续导数，且

f(x0)f(x0)...f(n)(x0)0，f(n1)(x0)0

（1）假使n为偶数，则x0不是f的极值点．

（2）假使n为奇数，则x0是f的严格极值点，且当f(n1)(x0)0时，x0是f的

严格微小值点；当f(n1)(x0)0时，x0是f的严格极大值点．

证明：将f在x0点处作带皮亚诺型余项的Taylor展开，即：

f(n1)(x0)f(x)f(x0)(xx0)n1((xx0)n1)(n1)!

于是

f(n1)(x0)((xx0)n1)n1f(x)f(x0)(xx)0n1(xx0)(n1)!

由于

f(n1)(x0)((xx0)n1)f(n1)(x0)limn1xx0(n1)!(xx0)(n1)!

f(n1)(x0)((xx0)n1)f(n1)(x0)故0，(x0,x0)中，与同号．n1(n1)!(xx0)(n1)!

（1）假使n为偶数，则由(xx0)n1在x0附近变号知，f(x)f(x0)也变号，故x0

不是f的极值点．

（2）假使n为奇数，则n1为偶数，于是，(xx0)n1在x0附近不变号，故

f(n1)(x0)同号．f(x)f(x0)与(n1)!

若f(n1)(x0)0，则f(x)f(x0)，x(x0,x0)(x0,x0)，x0为f的严格

微小值点．

若f(n1)(x0)0，则f(x)f(x0)，x(x0,x0)(x0,x0)，x0为f的严格

极大值点．

例3.6.1试求函数x4(x1)3的极值．

解：设f(x)x4(x1)3，由于f(x)x3(x1)2(7x4)，因此x0,1,

三个稳定点．f的二阶导数为4是函数的7

f(x)6x2(x1)(7x28x2)，

44由此得，f(0)f(1)0及f()0．所以f(x)在x时取得微小值．77

求三阶导数

f(x)6x(35x360x230x4)，

有f(0)0，f(1)0．由于n13，则n2为偶数，由定理3.1知f在x1不取极值.

再求f的四阶导数

f(4)(x)24(35x345x215x1)，

有f(4)(0)0．由于n14，则n3为奇数，由定理3.1知f在x0处取得极大值．

444336912（）（）综上所述，f(0)0为极大