中考数学培优练习：函数与圆综合问题

中考数学培优练习：函数与圆综合问题

【例题精讲】

【例1】如图，的圆心M(-1,2),匚M经过坐标原点O,与y轴交于点4经过点力的一条直线/

解析式为：y=—%+4与x轴交于点8,以/为顶点的抛物线经过x轴上点。(2,0)和点C(-4,0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)求证：直线/是M的切线;

(3)点P为抛物线上一动点，且尸E与直线/垂直，垂足为E；PFR轴，交直线/于点尸，是否存在这

样的点尸，使口2£厂的面积最小.若存在，请求出此时点P的坐标及口尸所面积的最小值；若不存在，

请说明理由.

【分析】(1)设抛物线的解析式为y=a(x-2)(x+4),将点M的坐标代入可求得。的值，从而得到抛

物线的解析式；

(2)连接4W,过点M作用GEM。，垂足为G.先求得点”和点8的坐标，可求得，可得到4G、ME、

OA,08的长，然后利用锐角三角函数的定义可证明□M4G=「/8。，故此可证明/A/L18；

(3))先证明口五;石二口尸处.则尸F：PE：EF=炳：2：1.则口PEF的面积=白产，设点尸的坐标为(x,

一32_/殍，则/7(x,-ix+4).然后可得到尸产与X的函数关系式，最后利用二次函数的性质求解

即可.

【解析】(1)设抛物线的解析式为y=〃(x-2)(x+4),将点M的坐标代入得：-9a=2,解得：。=一条

」抛物线的解析式为产一於一3+竽.

(2)连接4A/,过点M作MGU4D,垂足为G.

把x=0代入y=-3+4得：y=4,

QA(0,4).

将y=0代入得：0=一3+4,解得x=8,

□B(8,0).

□04=4,OB=8.

□M(-1,2),A(0,4),

口MG=1,AG=2.

1

tanA/JG=tann^^O=2.

QUMAG=L]ABO.

□□CM8+□力80=90°,

\J\JMAG+UOAB=90°9即匚A/ZB=900.

□/是匚河的切线.

(3)QOPFE+DFPE=90°,FBD+nPFE=90°f

\JQFPE=QFBD.

1

□tanDFPE=

QPF：PE：EF=乘:2：1.

□DPEF的面积=gpE・EF=1x空~PF《PF=^PF2.

□当PF最小时，dPEF的面积最小.

设点P的坐标为(x,—春/—gx+学)，则F(.x,■—3+4).

,_,1＞、/224,16、1,2,41621,202/1、2,71

3Pncr-(—2'+4)-(—gX-gX4-=-2"+4+gx+2gx—q=可2'-=9(1-豆)+^2^

i71

□当x=今时，P/有最小值，尸尸的最小值为支.

□□尸防的面积的最小值为=gx(9)2=瑞.

【例2】已知，抛物线^=4/+以+3(〃<0)与x轴交于4(3,0)、B两点,与y轴交于点C,抛物线的对

称轴是直线x=l,。为抛物线的顶点，点£在夕轴C点的上方，且CE=/.

(1)求抛物线的解析式及顶点。的坐标；

(2)求证：直线QE是口/8外接圆的切线；

(3)在直线/C上方的抛物线上找一点P,使S，CP=：S/CD,求点P的坐标；

(4)在坐标轴上找一点使以点8、C、M为顶点的三角形与口/8相似，直接写出点"的坐标.

【分析】(1)由对称轴求出8的坐标，由待定系数法求出抛物线解析式，即可得出顶点。的坐标;

(2)由勾股定理和勾股定理的逆定理证出口“&)为直角三角形，aACD=90°.得出/。为匚外接圆

的直径，再证明EUED为直角三角形，UADE=90°.得出40匚。£即可得出结论；

(3)求出直线ZC的解析式，再求出线段的中点N的坐标，过点N作NP1/C,交抛物线于点P,

求出直线N尸的解析式，与抛物线联立，即可得出答案；

(4)由相似三角形的性质和直角三角形的性质即可得出答案.

【解析】(1)口抛物线的对称轴是直线x=l,点/(3,0),

□根据抛物线的对称性知点8的坐标为(-1,0),04=3,

将/(3,0),8(-1,0)代入抛物线解析式中得：产13廿3；0,

IQ—b+3=0

解得：e=;l,

「抛物线解析式为y=-/+2x+3；

当x=l时，y=4,

□顶点D(1,4).

(2)当x=0时，

口点C的坐标为(0,3),

DAC=V32+32=3A/2,CD=Vl2+l2=V2,AD=7N+42=2瓜

UAC1+CD2=AD2,

□LMCD为直角三角形，aACD=90°.

为"CD外接圆的直径，

口点E在轴C点的上方，且CE=；.

7

□£(0,-)

2

「但卜+("=号DE=心+(#=当

QDE2+AD1=AE2,

/ED为直角三角形，4DE=90。.

QADJDE,

又口工。为外接圆的直径，

DDE是LUC。外接圆的切线；

(3)设直线/C的解析式为y=fcr+6,

根据题意得：［乎+/=°，

3=3

解得：｛:二］1,□直线4c的解析式为y=-x+3,

QA(3,0),D(1,4),

口线段的中点N的坐标为(2,2),

过点N作NPLJZC,交抛物线于点尸，

设直线N尸的解析式为y=-x+c,

则-2+c=2,解得：c=4,

口直线N尸的解析式为y=-x+4,

由y=-x+4,y=-12+2^+3联立得：-/+2¥+3=-x+4,

解得：X=¥或》=竽

5-75v54-75

□尸^—,或尸

3+国5-炽a3-V55+匾

□P（---）或（---

2222

(4)分三种情况：恰好为原点，满足UCA/8LILINC。，M(0,0);

在x轴正半轴上，匚□□力CD,此时加(9,0)；

1

口”在y轴负半轴上，UCBMUUACD,此时M(0,弋)；

综上所述，点"的坐标为(0,0)或(9,0)或(0,-i).

【例3】如图，在平面直角坐标系中，已知点4(0,30),点8(40,0),以。/为直径作「加交48

于点C,连接OC.

(1)求/C的长；

(2)连接并延长射线分别交UM于点£,尸(点E在y轴左侧)，连接OE,求tanUBE。；

(3)点P是射线0c上一动点，连接以，过点C作CHURl于点，，连接OH,求。，的取值范围.

【分析】(1)先求出工瓦利用面积求出OC,最后用勾股定理，即可得出结论；

(2)先求出8",再利用面积求出OG,进而用勾股定理求出MG,即可得出结论;

(3)找出分界点，求出个分界点时OH的长，即可得出结论.

【解析】(1)□点”(0,30),点5(40,0),

□04=30,08=40,

UAB=y/OA2+OB2=50,

DOA是匚M的直径，

□□JCO=90°,

1i

□T8・0C=^OA-OB,

22

OAOB30x40一

=24

AB-To-

根据勾股定理得/C=yJOA2-OC2=V302-242=18；

(2)如图1,

是UM的圆心,

1

UOM=^OA=\5,

在RtUSOM中,BM=y/OB2+OM2=<402+152=5>/73,

过点。作OGQBM于G,

在Rt\2BOM中，S=*OB・OM=^BM-OG,

„„OB-OM40x15120V73

口°G=^-=^T=^-,

在RtOGM中，根据勾股定理得，

MG=VOM2-0G2=J152-

EG=EM+MG=15+”浮，

”120反

584773-1752

tanBEO=一73

EG一r,45773―73

,0十73

(3)如图2,

当点P在线段OC上时，点，在况上，连接CH1,此时，□/，'。=口4。。<90。，

此种情况不存在，

当点尸在线段。。的延长线上，且离点C无穷远时，点，离点N越近，即。”接近于04=30,当点P

离点C越近点，越离点C越近，即OH接近于OC=18,

即。”的范围为1狂。〃<30.

【例4】如图，在平面直角坐标系xQy中，过UT外一点尸引它的两条切线，切点分别为N,若60t」MPN

<180°,则称「为的环绕点.

口在尸1（1,0）,尸2（1,1）,尸3（0,2）中，口0的环绕点是P2,P3；

口直线_y=x+Z>与x轴交于点4与y轴交于点8,若线段上存在口。的环绕点，求b的取值范围；

（2）口7的半径为1,圆心为（0,/）,以（zn,当m）（m>0）为圆心，47n为半径的所有圆构成图形//,

若在图形，上存在口7的环绕点，直接写出，的取值范围.

【分析】（1）□如图，PM,PN是EJT的两条切线，M,N为切点，连接力W,TN.当匚MPN=60。时，可

证7尸=2刃0,以T为圆心，7尸为半径作「7,首先说明：当60。与「〃尸2<180。时，7的环绕点在图中

的圆环内部（包括大圆设的点不包括小圆上的点）.利用这个结论解决问题即可.

□如图2中，设小圆交y轴的正半轴与于E.求出两种特殊位置6的值，结合图形根据对称性解决问题即

可.

（2）如图3中，不妨设则点E在直线y=亨x时，以（加>0）为圆心，三~7n为

V3>/3

半径的LIE与x轴相切，作口£1的切线ON,观察图象可知，以E（机，——m）（加>0）为圆心，——m为

33

半径的所有圆构成图形，，图形"即为匚MON的内部，包括射线OM,ON上.利用（1）中结论，画出

圆环，当圆环与UMON的内部有交点时，满足条件，求出两种特殊位置f的值即可解决问题.

【解析】（1）□如图，PM,PN是口7的两条切线，M,N为切点，连接TN,TN.

当L1M/W=6O。时，口/T平分L1MPN,

□□m/=UTPN=30。，

TMQPM,TN「PN,

QUPMT=QPNT=90o,

□TP=2TM,

以7为圆心，7尸为半径作口兀

观察图象可知：当60。0口“尸"<180。时，匚T的环绕点在图中的圆环内部（包括大圆上的点不包括小圆上

的点）.

图1

如图1中，以。为圆心2为半径作口。，观察图象可知，尸2,尸3是一。的环绕点,

故答案为：P2,尸3.

□如图2中，设小圆交y轴的正半轴与于民

当直线y=x+b经过点后时，b=\.

当直线y=x+b与大圆相切于K(在第二象限)时，连接OK,

由题意6(0,b),A(-h,0),

口OB=b,OA=b,AB=VOX2+OB2=V26,

11

□OK=2,fB・OK=W，OA・OB,

22

1

□一•迎6x2=亍・b*b,

22

解得6=2企,

观察图象可知，当1〈后2夜时，线段上存在口。的环绕点，

根据对称性可知：当-2/Wb<-1时，线段上存在匚。的环绕点,

综上所述，满足条件的b的取值范围为1〈后2尤或-2&S6V-1.

(2)如图3中，不妨设E("i,鼻),则点E在直线y=与时，

35

□w>0,

□点E在射线OE上运动，作EVTOx轴，

/V3、

E(W7,—m),

3

F5

□OM=m,EM=T，

V3V3

□以E(M,—m)(用>0)为圆心，为半径的:］E与x轴相切，作ZTE"的切线ON,

yj3V3

观察图象可知，以E(加，—m)(/w>0)为圆心，—m为半径的所有圆构成图形//,图形H即为Z1A/ON

33

的内部，包括射线。河，ON上.

当口7的圆心在歹轴的正半轴上时，假设以T为圆心，2为半径的圆与射线ON相切于。，连接3.

□tanUE。腐=需=圣

□□EOM=30°,

ON,OM是OE的切线，

□□£OW=D£OA/=30°,

□□TOZ)=30°,

□OT=2DT=4,

口T(0,4),

当口丁的圆心在y轴的负半轴上时，且经过点。(0,0)时，T(0,-2),

观察图象可知，当-2<二4时，在图形〃上存在口7的环绕点.

［例5］如图1,二次函数y=a?_2or-34(a<0)的图象与x轴交于力、B两点(点4在点B的右侧)，

与y轴的正半轴交于点C,顶点为£).

(1)求顶点。的坐标(用含。的代数式表示);

(2)若以/。为直径的圆经过点C.

1求抛物线的函数关系式；

口如图2,点E是y轴负半轴上一点，连接BE,将［OBE绕平面内某一点旋转180。，得到口尸姓(点尸、

M、N分别和点。、B、E对应)，并且点/、N都在抛物线上，作MFEJx轴于点F,若线段MF：BF=1：

2,求点M、N的坐标；

□点。在抛物线的对称轴上，以0为圆心的圆过4、B两点,并且和直线CQ相切，如图3,求点。的

【分析】(1)将二次函数的解析式进行配方即可得到顶点。的坐标.

(2)1以力。为直径的圆经过点C,即点C在以为直径的圆的圆周上，依据圆周角定理不难得出：

是个直角三角形，且□/。=90。，/点坐标可得，而C、。的坐标可由〃表达出来，在得出ZC、CD、

的长度表达式后，依据勾股定理列等式即可求出。的值，由此得出抛物线的解析式.

口将一O8E绕平面内某一点旋转180。得到IPMV,说明了RW正好和x轴平行，且PM=O8=1,所以求

忖、N的坐标关键是求出点M的坐标；首先根据22的函数解析式设出M点的坐标，然后根据题干条件：

5/=2加尸作为等量关系进行解答即可.

口设。与直线CO的切点为G,连接。G,由C、。两点的坐标不难判断出口80=45。，那么匚0G。为

等腰直角三角形，即QZ)2=20G2=2082,设出点。的坐标，然后用。点纵坐标表达出0。、08的长，

根据上面的等式列方程即可求出点。的坐标.

【解析】(1)Qy=ax2-2ax-3a=a(x-1)2-4a,

JD(1,-4a).

(2)□□以为直径的圆经过点C,

：AC。为直角三角形，且口48=90。；

由夕=。,-2"-3。=〃(x-3)(x+1)知，A(3,0)、5(-1,0)、C(0,-3a),贝U：

AC2=(0-3)2+(-3a-0)2=9/+9、CD2=(0-1)2+(-3a+4a)2=a2+\,AD2=(3-1)2+(0+4a)

2=16a2+4

由勾股定理得：AC2+CD2=AD2,即：9a2+9+/+1=16/+4,

化简，得：/=],由。＜0,得：a=-1

即，抛物线的解析式：y=-/+2x+3.

□□将口OBE绕平面内某一点旋转180。得到口PMN,

□PMCr轴，且PA/=O8=1；

设-X2+2X+3),则。尸=X,MF=-X2+2X+3,BF=OF+OB=X+\；

JMF：BF=1：2,gPBF=2MF,

□2(-X2+2X+3)=X+1,化简，得：2?-3X-5=0

解得：xi=-1、X2=2

57315

□M(一，一)、N(-,—).

2424

□设口0与直线CO的切点为G,连接0G,过。作Ca匚0。于〃，如右图;

设0(1,b),贝[00=4-6,QB2=QG2=(1+1)2+(b-0)2=b2+4；

□C(0,3)、0(1,4),

JCH=DH=\,即口。”。是等腰直角三角形，

□□0GO也是等腰直角三角形，即：QD2=2QG2；

代入数据，得：

(4-6)2=2(庐+4),化简，得：#+86-8=0,

解得：b—~4±2A/6；

即点。的坐标为(1,-4+2乃)或(1,-4-2V6).

(3)③图

【培优练习】

1.如图1,已知抛物线y=ox2-12ax+32a(a>0)与x轴交于4B两点、(Z在8的左侧)，与y轴交于点

C.

(1)连接BC,若求a的值.

(2)如图2,已知M为口/BC的外心，试判断弦Z8的弦心距〃是否有最小值，若有，求出此时a的值，

若没有，请说明理由；

(3)如图3,已知动点尸(f,D在第一象限，f为常数.

问：是否存在一点P,使得DZPB达到最大，若存在，求出此时口/尸5的正弦值，若不存在，也请说明理

【分析】(1)令y=0,求得抛物线与x轴的交点工、8的坐标，令x=0,用。表示C点的坐标，再由三

角函数列出a的方程，便可求得。的值；

(2)过/点作皿口/8于点4,连接朋Z、MC,用d表示出M的坐标，根据M4=A/C,列出a、d的

关系式，再通过关系式求得结果；

(3)取的中点T,过T作M7T148,以M为圆心，M4为半径作「A/,"T与直线y=x交于点S,P'

为直线y=x上异于P的任意一点，连接4P,交匚〃于点K,连接8K,MP,AP,BP,MB,MA,当P

为直线y=x与"的切点时，口加4达到最大，利用圆圆周角性质和解直角三角形的知识求得结果便可.

【解析】(1)连接8C,

图1

令卜=0,得夕="2-12ax+32a=0,

解得，x=4或8,

\JA(4,0),B(8,0),

令x=0,得y=ax2-12ox+32a=32a,

□C(0,32a),

又口力BC=30。,

f_32a_门

tanABC-——g——-2-,

解得，。=第；

(2)过M点作板口/B于点“，连接M4、MC,如图2,

QAH=BH=^AB=2,

□0/7=6,

设M(6,d),

UM4=MC,

□4+/=36+(d-32a)2

得2ad=32/+1,

口d=16a+/=(4VH-焉)2+4伍

1

「当4代=豆时，有d点小=4V2,

即当。=辛时，有d废小=4>②

(3)QP(f,f),

□点尸在直线y=x上，

如图3,取的中点T,过T作AfTZJZB,以"为圆心，M4为半径作与直线y=x交于点S,

P为直线y=x上异于尸的任意一点，连接/P,交匚M于点K,连接8K,MP,AP,BP,MB,MA,

图3

当E1A/与直线>=》相切时，有MPB=AKB>AP'B,

□口4尸8最大，此时相切点为尸，

设M(6,d),而T(6,0),

QS(6,6),

□□PSA/=90°-JSOT=450,

又MP=MB=V4+d2,

QMS=y[2MP=V2d2+8,

QMS+MT=ST=6,

□V2d2+8+d=6,

解得，d=2(负根舍去)，

经检验，"=2是原方程的解，也符合题意，

(6,2),

」MB=2位,

□AMB=2匚4PB,MTQAB,MA=MB,

□JAMT^CBMT=^\2AMB=QAPB,

sinAPB=sinBMT=篇=亨.

2.如图，在平面直角坐标系上，一条抛物线y=ax2+bx+c(存0)经过4(1,0)、B(3,0)、C(0,3)三

点，连接并延长.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点〃是直线8c在第一象限部分上的一个动点，过M作例MZy轴交抛物线于点N.

1°求线段的最大值；

2。当取最大值时，在线段A/N右侧的抛物线上有一个动点P,连接RW、/W,当口队亚的外接圆圆

心0在UPMN的边上时，求点P的坐标.

图①图②

【分析】（1）将三个已知点坐标代入抛物线的解析式中列出方程组求得。、从C,便可得抛物线的解析

式；

（2）1。用待定系数法求出直线8C的解析式，再设M的横坐标为/,用/表示MN的距离，再根据二次

函数的性质求得的最大值；

2。分三种情况：当DPMN=90。时；当□PMW=90。时；当LMPN=90。时.分别求出符合条件的P点坐标

便可.

【解析】（1）把人、B、。三点的坐标代入抛物线y=or2+bx+c（#0）中，得

Q+b+c=0

9a+3b+c=0,

c=3

a=1

解得，b=—4,

c=3

口抛物线的解析式为：y=x2-4x+3；

（2）1°设直线8c的解析式为y=/Mx+〃（〃"0）,则

（3m+九=0

In=3,

解得，

口直线BC的解析式为：y=-x+3,

设MG,-Z+3）（0</<3）,则N（f,？-4r+3）,

9

+-

△MN=-P+3t=-(t4

Q9

口当七时，皿的值最大，其最大值”

2。匚口尸蛇的外接圆圆心0在匚的边上,

PA/N为直角三角形，

3333

由1。知，当WN取最大值时，M（一，-）,N（-,

2224

□当口尸”乂=90。时，PMZlx轴，则尸点与〃点的纵坐标相等，

3

口尸点的纵坐标为一，

2

当y=5时，y=x2—以+3=I，

解得，坞叫或A空G（舍去），

4+V103

□P（------，-）;

22

□当口产乂0=90。时，PNDx轴，则P点与N点的纵坐标相等，

□P点的纵坐标为一/

当y=一，时，y—x2-4x+3=-p

解得，X=I，或x=?（舍去），

53

□P<-«-4）«

□当」MPN=90。时，则MN为UPMN的外接圆的直径，

PMN的外接圆的圆心。为MN的中点，

33,,,19

Q-）,半径为「MN=

2828

过0作0KEJx轴，与在MN右边的抛物线图象交于点K,如图1

图②

令尸I,得尸--以+3=条

ArtZB8—>/22^3zAxt8+7^

解仔，x=——(舍)，或］=-—,

8+V223

□K(------,-)

48

□燃=二誉〉*即K点在以MN为直径的匚。外,

设抛物线»=，-4汇+3的顶点为点，则/（2,-1）,

311

连接LK,如图口，则£到QK的距离为,+1=《■

88

LK=J甘善-2尸+端+1/=簪

设。点到£K的距离为〃，则

1111

—QK•—=.LK•h,

282

22/209+117209x22一、9

------4^209------、1427》中

~8~

「直线AK下方的抛物线与UQ没有公共点,

口抛物线中M部分（除N点外）在过N点与x轴平行的直线下方,

口抛物线中NL部分（除N点外）与□。没有公共点，

□抛物线K点右边部分，在过K点与y轴平行的直线的右边，

〕抛物线K点右边部分与。没有公共点，综上，口。与A/N右边的抛物线没有交点，

□在线段MV右侧的抛物线上不存在点P,使口尸脑7的外接圆圆心0在边上；

综上，点P的坐标为（二4+-/10；3）或（5丁3

2224

3.如图1,在平面直角坐标系中，直线y=-5x+5与x轴，夕轴分别交于4,C两点，抛物线夕=/+6+。

经过Z,C两点，与x轴的另一交点为8.

（I）求抛物线解析式及8点坐标;

（2）若点M为x轴下方抛物线上一动点，连接M4、M2、8C,当点A/运动到某一位置时，四边形

面积最大，求此时点M的坐标及四边形NM8C的面积;

（3）如图2,若尸点是半径为2的H8上一动点，连接PC、PA,当点尸运动到某一位置时，PC+^PA

的值最小，请求出这个最小值，并说明理由.

【分析】(1)由直线y=-5x+5求点2、C坐标，用待定系数法求抛物线解析式，进而求得点8坐标.

(2)从x轴把四边形分成口43。与口/8/；由点4、B、C坐标求d4BC面积；设点A/横坐标为

m,过点M作x轴的垂线段M//,则能用机表示M/7的长，进而求口/8知的面积，得到口工8屈面积与加

的二次函数关系式，且对应的a值小于0,配方即求得机为何值时取得最大值，进而求点“坐标和四边

形//8C的面积最大值.

BDBP1

(3)作点。坐标为(4,0),可得80=1,进而有====7再加上公共角口尸5。=匚45P,根据

BPAB2

两边对应成比例且夹角相等可证得胃等于相似比;，进而得PO=3IP,所以当C、P、D

在同一直线上时，PC+；Rf=PC+PD=CO最小.用两点间距离公式即求得C。的长.

【解析】(1)直线歹=-5x+5,x=0时,y=5

□C(0,5)

y=-5x+5=0时，解得：x=l

□J(1,0)

□抛物线卜=:+区+《经过ac两点

fl+b+c=0解得.仅=一6

10+0+c=5解彳tc=5

□抛物线解析式为y=x^-6x+5

当-6x+5=0时，解得：xi=l,X2=5

口3(5,0)

(2)如图1,过点M作■轴于点〃

QA(1,0),B(5,0),C(0,5)

□48=5-1=4,。。=5

SABC=%B・OC=1x4x5=IO

□点〃为X轴下方抛物线上的点

□设"(〃?，tn2-6m+5)(l</n<5)

-6加+5]=-7W2+6W-5

□S%BM=*AB・MH=x4(-加？+6加-5)=-2m2+12m-10=-2(加-3)2+8

□S四边形/A/8C=Sd45c+S10+[-2(〃？-3)2+8]=-2(m-3)2+18

□当加=3,即A/(3,-4)时，四边形4W8C面积最大，最大面积等于18

(可以直接利用点M是抛物线的顶点时，面积最大求解)

(3)如图2,在x轴上取点。(4,0),连接PQ、CD

□80=5-4=1

JAB=4,BP=2

□BD—=BP—=1一

BPAB2

□□PBDSBP

□□PBDUUBP

PDBD1

□—==

APBP2

PD=^AP

QPC+^PA=PC+PD

口当点C、P、。在同一直线上时，PC+步4=PC+PD=CD最小

CD=y/OC2+OD2=V52+42=V41

□PC+^PA的最小值为"I

图1

4.如图，抛物线尸小+队-2(a和)与x轴交于/(-3,0),B(1,0)两点,与y轴交于点C,直线y

=-x与该抛物线交于E,F两点、.

(1)求抛物线的解析式.

(2)P是直线E尸下方抛物线上的一个动点，作PH「\EF于点H,求P4的最大值.

(3)以点C为圆心，1为半径作圆，।C上是否存在点M,使得「8CM是以CM为直角边的直角三角形？

(2)先判断出过点尸平行于直线打的直线与抛物线只有一个交点时，PH最大,再求出此直线/的解

析式，即可得出结论；

(3)分两种情况：匚当口3河。=90。时，先求出8/W的长，进而求出8。，OA/1的长，再构造出相似三角

形即可得出结论；

□当口5。1=90。时，利用锐角三角函数求出点M3的坐标，最后用对称的性质得出点河4的坐标，即可得

出结论.

【解析】(1)□抛物线^="2+以-2(分0)与x轴交于力(-3,0),B(1,0)两点，

ca3h2-O

-一

+b-2-O

p2

=-

□3

b=»

-

3

抛物线的解析式为y=杀2+%-2；

(2)如图1,过点尸作直线/,使人跖，过点。作OPU/,

当直线/与抛物线只有一个交点时，PH最大,等于OP,

.直线EF的解析式为y=-x,

设直线/的解析式为y=-x+mQ,

口抛物线的解析式为y=|X2+^A-2D,

7

2今-

联立□□化简得，-?+3-777=0,

492

!□=-4xx(-2-6)=0,

97

"一海，

97

直线/的解析式为y=-x—24,

令y=0,则x=一薄,

97、

M(―2^,0),

OM—

在REOPW中，OP=^=智,

9772

□P//«*=-48--

(3)□当UCM8=90。时，如图2,

□8W是。的切线，

□□C半径为1,B(1,0),

BMiOy轴，

□□CBM25BCO,M2(1,-2),

□SA/2=2,

BM\与8"2是UC的切线，

□BMI=BM2=2,UCBM\=QCBM29

□□CBMI=UBCO,

QBD=CD,

222

在RtEJBO。中，OD+OB=BDi

□on2+i=(2-0。)2,

3

QOD=

4,

QBD=l，

3

□DA/I=7

过点Ml作”|0口j轴，

□M0E]x轴，

□□3。。口口团。。，

OB0DBD

MiQ~DQ~OMj

35

口」一=—=f,

MiQDQ

4

39

□M。建,。。=嘉

□。。=在喘=4

M\(一焉，-')，

□当口36=90。时，如图3,

□□OC〃3+UOCB=90。，

□OC8+08c=90。，

□□OCA/3=CO5C,

在Rt80c中，08=1,0C=2,

□tanD0SC=丽—2,

□tanl（?CA/3=2,

过点A/3作M3HLy轴于，，

在REC〃A/3中，CM3=1,

设C〃=机，则A/3，=25，

根据勾股定理得，m2+（2m）2=1,

底

.m=-g-,

□A/3〃=2m=等，OH=OC-CH=2-^-,

..2店V5

□Ms（r---p-,——―2）,

55

而点朋4与“3关于点C对称，

2V5Js

OA/4,--r--2）,

5n

即：满足条件的点/的坐标为（一1-f）或（1,-2）或（一竽，y-2）或（等，邛一2）.

5.如图，已知□/的圆心为点(3,0),抛物线产G2_条+。过点”，与口力交于8、C两点，连接48、

AC,且B、C两点的纵坐标分别是2、1.

(1)请直接写出点8的坐标，并求a、c的值；

(2)直线y=奴+1经过点8,与x轴交于点D点£(与点。不重合)在该直线上，且4D=NE,请判

断点E是否在此抛物线上，并说明理由；

(3)如果直线y=%ix-1与口工相切，请直接写出满足此条件的直线解析式.

【分析】(1)证明Rt3S/MinRtDJSC(AAS),即可求解;

(2)点E在直线8。上，则设E的坐标为(x,4+1),由/。=/邑即可求解;

(3)分当切点在x轴下方、切点在x轴上方两种情况，分别求解即可.

【解析】(1)过点8、C分别作x轴的垂线交于点R、S,

ABR+LRAB^90°,URAB+LCAS=90°,

QCRAB=DCAS,又4B=4C,

CiRtJBRAnRtnASC(AAS),

□AS=BR=2,AR=CS=T,

故点8、C的坐标分别为(2,2)、(5,1),

将点8、C坐标代入抛物线少="2—告+c并解得：

4=不，C=11,

故抛物线的表达式为：＞=|?一条+11;

1

(2)将点2坐标代入、=依+1并解得：y=^x+\,则点。(-2,0),

点/、B、C、。的坐标分别为(3,0)、(2,2)、(5,1)、(-2,0),

则/8=遍，4)=5,

1

点E在直线8。上，则设E的坐标为(x,-x+1),

1

3AD=AE,则52=(3-x)12+(-x+1)2,

2

解得：x=-2或6(舍去-2),

故点E(6,4),

把x=6代入尸1.r2-^x+ll=4,

故点E在抛物线上；

(3)口当切点在x轴下方时，

设直线y=%x-1与口4相切于点4,直线与x轴、夕轴分别交于点K、G(0,-1),连接G4

AH=AB=V5,GA=V10,

O

\JAHK=[2KOG=9093HKA=r\HKA,□「KOGKHA,

KOOGKO1

口方=话’肌J(KO+3)2_5=丁

解得：KO=2或-2(舍去—2),

故点K(-2,0),

把点K、G坐标代入1并解得：

直线的表达式为：y=—%-1；

□当切点在x轴上方时，

直线的表达式为：y=2x-1；

故满足条件的直线解析式为：尸-1x-1或尸2x-1.

6.如图，抛物线yuaf+Gax(a为常数，a>0)与x轴交于。，A两点、，点、B为抛物线的顶点，点。的坐

标为Q,0)(-3<Z<0),连接8D并延长与过O,A,8三点的口尸相交于点C.

(1)求点力的坐标；

(2)过点C作口P的切线CE交x轴于点E.

U如图1,求证：CE=DE；

口如图2,连接ZC,BE,BO,当°=*，I2IC4E=O8E时，求」----的值.

yt

【分析】(1)令歹=0,可得办(x+6)=0,则力点坐标可求出；

(2)口连接PC连接P6延长交x轴于点由切线的性质可证得「日》=COM贝！］CE=O£；

OE=m,由ZIC4E=-C8E可得生=丝，则m=—3，代入一5一工•可求出「一一二-的值.

BEOE-t-btmODOE

【解析】(1)令or2+6ax=0,

ax(x+6)=0,

DA(-6,0)；

(2)□证明：如图，连接尸C,连接P8,延长交x轴于点M,

］口尸过O、力、B三点,8为顶点,

□PA/匚。4,匚尸5。+口4。〃=90。,

又PC=PB,

\J\JPCB=UPBC9

口CE为切线,

□PCB+UECD=9。。,

又10BDM="DE,

Q]JECD=[JCDE,

CE=DE.

□解：设0E=〃7,

□□C4£=CC5O,UCAE=UOBE,

\J\JCBO=[JEBO,

BDOD

由角平分线成比例定理可得：—,

BEOE

即：(3+叫+27=之

J(3+m)+27m

6t

口m=T^,

1t+6

--=-7^，

1111

___—

ODOE~tm

_t+61

_1

=6-

7.如图，在平面直角坐标系x处中，。为坐标原点，点力(4,0),点8(0,4),匚力8。的中线ZC与y轴

交于点C,且口〃经过O,A,C三点、.

(1)求圆心〃的坐标；

(2)若直线4。与口时相切于点力,交y轴于点。，求直线的函数表达式；

(3)在(2)的条件下，在过点8且以圆心/为顶点的抛物线上有一动点尸，过点P作PEDy轴，交直

线ZO于点E.若以PE为半径的与直线/£)相交于另一点F.当EP=4追时，求点P的坐标.

【分析】(I)利用中点公式即可求解;

nr112

(2)设：CAO=a,则□C/0=10DA=PEH=a,tanDCA0=初=]=tana,则sina=而'cosa=卮

AC=同，则8=^^=谓=1°，即可求解；

⑶利用cos"£H=器=,=cosa=春，求出尸E=5,即可求解.

【解析】⑴点5(0,4),则点C(0,2),

□点Z(4,0),则点M(2,1)；

(2)应该是圆/与直线相切，贝!|lZiC/D=90°,

设：□G4O=a,则□C4O=EIOA4=E]PE，=a,

0c112

XanQCAO=9)=tana,则sina=券，cosa=飞,

.__AC

AC=yf20,则8=嬴=10,

则点。(0,-8),

将点4。的坐标代入一次函数表达式：y=/nx+〃并解得:

直线的表达式为：y=2x-S；

(3)抛物线的表达式为：(x-2)2+1,

将点8坐标代入上式并解得：«=|,

故抛物线的表达式为：y=/2-3x+4,

过点P作尸，EF,则EH=诳=2瓜

解得：PE=5,

设点P(x,-x2-3x+4),则点E(x,2x-8),

4

贝!|PE=#-3尢+4-2X+8=5,

解得x=竽或2,

1419b

则点P(—,—)或(2,1).

33

8.如图，抛物线y=or2+bx+c(存0),与x轴交于力(4,0)、。两点，点。(2,-2)为抛物线的顶点.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)点E为力。的中点，以点E为圆心、以1为半径作UE,交x轴于8、C两点，点加为」E上一点.

□射线8/交抛物线于点P,设点尸的横坐标为〃?，当tanJA/BC=2时，求〃？的值；

□如图2,连接。河，取。河的中点N,连接ON,则线段。N的长度是否存在最大值或最小值？若存在，

请求出。N的最值；若不存在，请说明理由.

图1图2

【分析】(1)用抛物线顶点式表达式得：(x-2)2-2,将点/的坐标代入上式，即可求解；

(2)分点P在x轴下方、点尸在x轴上方两种情况，分别求解即可；

(3)证明BN是口。£”的中位线，故