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第三章函数及其图象

第一节平面直角坐标系与函数的概念

1指引方向

1.探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义.

2.结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例.

3.能结合图象对简单实际问题中的函数关系进行分析.

4.能确定简单实际问题中函数白变量的取值范围，并会求出函数值.

5.能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系.

6.结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论，

考点梳理

1.平面直角坐标系的相关内容：

(1)平面直角坐标系的有关概念：在平面内两条互相垂直且有公共

原点的数轴组成了平面直角坐标系.水平的数轴称为横轴(或％轴)，

竖直的数轴称为纵轴(或y轴).两条数轴把平面分成四个部分，这

四个部分称作四个象限

(2)点的坐标：在平面内，任意一个点都可以用一组有序实数对来

表示，如A(a,h).(a,力即为点4的坐标，其中a是点A的横坐

标，8是点A的_纵坐标.

(3)点的坐标特征【设点尸(a,b)】：

①各象限点的特征：

第一象限(+,+)；第二象限(—>+)

第三象限(一，一);第四象限(+,一).

②特殊点的特征：

若点夕在乂轴上，则。=0；

若点尸在y轴上，则4=0；

若点P在一、三象限角平分线上，则丑

若点P在二、四象限角平分线上，则。+与0.

③对称点的特征：

点P{a,b)关于％轴的对称点P'(。，一b)

点P(a,»)关于y轴的对称点P'(—a,b)

点、P(a,b)关于原点的对称点P'(一"，一b).

(4)点的坐标延伸【设点尸(Q,3、点M(c,d)】：

①点P到戈轴的距离为|4,到y轴的距离为其.到原点的距离为

7a2+b2.

②1)将点尸沿水平方向平移砥相>o)个单位后坐标变化情况为：

点P沿水平向右方向平移机(6>0)个单位后坐标为(。+机，b)；

点P沿水平向左方向平移租(m>0)个单位后坐标为份；

2)将点尸沿竖直方向平移〃(〃>())个单位后坐标变化情况为：

点尸沿竖直方向向上平移〃(〃>0)个单位后坐标为(a,h+n)；

点P沿竖直方向向下平移〃(〃>0)个单位后坐标为(a,b—n).

③若直线尸M平行x轴，则Z?=d；若直线PM平行y轴，则a=c；

④点P到点M的距离：PM=7(a-c)2+(b-d)2

⑤线段尸M的中点坐标：(等，等)

2.函数的有关知识：

(1)常量与变量：在某一变化过程中，始终保持不变的量叫做常量，

数值发生变化的量叫做变量.

(2)函数的定义：一般的，在某个变化过程中如果有两个变量％、y,

对于％的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，那么％

是自变量，y是％的函数.

(3)函数的表示方法：①解析式法；②图象法；③列表法.

(4)函数解析式(用来表示函数关系的数学式子叫做解析式)与变

自量的取值范围：

函数解析式的形式自变量的取值也用

解析式为整式全悻实数

解析式为分式使分母不为9的实数

解析式偶次根式使被开方数大于或等于零的实数

为根式奇次根式全体实数

先求出各部分的取值葩围，再

各种形式的组合

取其公共部分

牵涉实际问题使实际问题有意义

•••…

考点一平面直角坐标系内点的坐标特征

【例1】(2016枣庄)已知点P(a+1,-@+1)关于原点的对称点在

2

第四象限，则。的取值范围在数轴上表示正确的是(。

B.

I).

解题点拨：首先根据题意判断出P点在第二象限，再根据第二象限内

点的坐标符号(-,+)，得到不等式4+1<0,解出a的范围即

可。本题也可以先求出P的对称点坐标，再列不等式---K0

2

解出.

考点二几何背景下的坐标变化

【例2】(2016安顺)如图，将APQR向右平移2个单位长度，再向下

平移3个单位长度，则顶点P平移后的坐标是(A)

B.(-2,4)C.(2,-3)

D.(-1,-3)

解题点拨：由题意可知，平面内任意一点(x,y)平移后的对应

坐标是(x+2,y-3),照此规律计算可知顶点P(-4,-1)平移后的

坐标是(-2,-4)o

考点三自变量的取值范围

【例31⑴函数v=2x+l中的自变量x的取值范围是x为一切实

(1)函数y一中的自变量x的取值范围是』o

2x+l2~

⑶函数户"^1中的自变量x的取值范围是o

(4)函数y=无中的自变量x的取值范围是xNOo

2x+l------

⑸函数y=中的自变量光的取值范围是x>,。

J2x+12

(6)函数y+五工T中的自变量x的取值范围是xN二且XH()o

x2-------

解题点拨：分别抓住分式、二次根式定义确定自变量X的取值范围解

题即可。

考点四函数图象的简单应用

【例4】(2016咸宁)已知菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图

所示，顶点A(5,0),OB

=4行，点P是对角线OB上的一个动点，D(O,1),当CP+DP最短

时，点P的坐标为(D)

A.(0,0)B.(1,-)C.(-,-)D.(―,

2557

3)

7

解题点拨：关于最短路线问题：在直线L上的同侧有两个点A、B,

在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来

确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线

与直线L的交点就是所要找的点(注：本题C,D位于OB的同侧)。

点C关于OB的对称点是点A.连接AD.交OB于点P,P即为所

解：如图，连接AD,交OB于点P,P即为所求的使CP+DP最短的

点；连接CP、AC,AC交OB于点E,过E作EF_LOA,垂足为F。

,点C关于OB的对称点是点A,

，CP=AP,

AD即为CP+DP最短；

,/四边形OABC是菱形，OB=4后，

OE=g()B=2后,ACVOB,又，.抽⑸0),

在RAAEO中，AE=ylOA2-OE2=^52-(245)2=V5；

易知RtAOEF^RtAOAE

.OEEF.门OEAE2有x石。

OAAEOA5

/.OF=y]OE2-EF2=7(2^5)2-22=4°

E点坐标为E(4,2),

设直线0E的解析式为：y=kx,将E(4,2)代入，得y=g无，

设直线AD的解析式为：y=k'x+b,将A(5,0),D(O,1)代入，得

y=——x+1,

.5

1x=一10

.•.点P的坐标的方程组：，2，解得•7

y^--1x+i.5

15:7

•・•点p的坐标为*,*

课堂训练、课堂检测

1.(2016荆门)在平面直角坐标系中，若点A(.a,-b)在第一象

限内，则点B(a,b)所在的象限是()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【答案】D

2.(2015巴中)在函数y=—二互中，自变量x的取值范围是

x-2

(D)

A.xw-2B.x>2C.x<2D.xw2

【答案】D

3.(2016呼和浩特)已知平行四边形ABCD的顶点A在第三象限,

对角线AC的中点在坐标原点，一边AB与x轴平行且AB=2,若点A

的坐标为(a,b),则点D的坐标为o

【答案】(-2-a,-。)或(2-a,-b)

4.(2016贺州)如图,将线段AB绕点O顺时针旋转90。得到线段

A'B',求A(-2,5)的对应点4的坐标是多少？

【答案】解：•••线段AB绕点O顺时针旋转90。得到线段Ab,

/SABO=AA'B'O',ZAQ4'=90°,

/.AO=A'Oo

作ACLy轴于C,AU_L无轴于U,

r

ZACO^ZAC'O^9(fo

NCOC=90°,

ZAOA'-ZCOA'=ZCOC-ZCOA',

ZAOC=ZA'OC,

在MCO和A/VUO中，

ZACO=ZA'C'O

<ZAOC=ZA'OC'

[AO=A!O

：.AACO=^A'C'O(AAS),

AC=A'C,CO=CO,

A(-2,5),

AC=2,CO=5,

AC'=2,OC'=5,

4(5,2)。

中考达标模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1.（2016眉山）已知点M（l-2m,m-1）在第四象限，则m的取值

范围在数轴上表示正确的是()

-•—1—।1L»aIA»

00.5100.5100.51

A.B.C.D.

【答案】B

2.（2016武汉）已知点A（a,1）与点A（5,8）关于坐标原点对称,

则实数a、匕的值是（）

A.a=5,b=lB.a=—5,b=\C.a=5,b=—l

D.a=—5b=—i

【答案】D

3.（2016成都）平面直角坐标系中，点P（-2,3）关于x轴对称的点的

坐标为().

A.(-2,-3)B.(2,-3)C.(-3,-2)D.(3,

-2)

【答案】A

4.(2016武汉)平面直角坐标系中，已知A(2,2)、B(4,0).若在

坐标轴上取点C,使AABC为等腰三角形，则满足条件的点C的个

数是（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

二、填空题

5.(2016金华)将一次函数y=-2x+6的图象向左平移个单位

长度，所得图象的函数表达式为y=-2x。

【答案】3

6.(2015庆阳)函数y=正互的自变量》的取值范围

X

是O

【答案】且x#0

2

7.(2016荆州)若点M(k-bk+1)关于y轴的对称点在第二象限内,

则一次函数y=("l)x+k的图象不经过第象限。

【答案】四

三、解答题

8.(2016自贡)如图，把RdABC放在直角坐标系内，其中NC4B=90°,

BC=5,点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0),将aABC沿x轴向右

平移，当点C落在直线y=2x-6上时，线段BC扫过的面积为多少平

【答案】解：如图所示.

,点A、B的坐标分别为(1,0)、(4,0),

二AB=3.

VZC4B=90°,BC=5,

：.AC=4,

AC'=4,

二•点C'在直线y=2x-6上，

2x-6=4,解得x=5。

即0A=5,

二.CC=5-1=4,

2

/•SBCCB,=4X4=16(cm)。

即线段BC扫过的面积为16c*o

9.(2016临沂)现代互联网技术的广泛应用，催生了快递行业的高

速发展。小明计划给朋友快递一份物品，经了解有甲、乙两家快递公

司比较合适。甲公司表示：快递物品不超过1千克的，按每千克22

元收费：超过1千克，超过的部分按每千克15元收费.乙公司表示:

按每千克16元收费，另加包装费3元.设小明快递物品x千克。

(1)请分别写出甲、乙两家快递公司快递该物品的费用y(元)与x(千

克)之间的函数关系式；

(2)小明选择哪家快递公司更省钱？

【答案】解：(1)由题意知：

当()<x《l时，ylv=22x;当x>l时，价=22+15(x—l)=15x+7;

%=16x+3;

’22x(0<x<l)

••y甲="，y7=16x+3;

15x+7(x>l)乙

⑵①当()<xKl时,

令y甲vy乙，即22x<16x+3,解得：0<;

令丁甲=y乙，乜口22X=16X+3,解得：x=g；

令即,y乙，即22x>16x+3,解得:^-<x<l

②当x>l时,

令小〈丫乙，即15x+7v16x+3,解得:x>4；

令即=丁乙，即15x+7=16x+3,由昆得：x=4,

令丁甲>y乙,艮［115x+7>16x+3,解得：1<x<4

综上可知：

当lvxv4时，选乙快递公司省钱；

当x=4或尸工时，选甲乙快递公司一样省钱；

2

当0<*<工或x>4时，选甲快递公司省钱。

2

B组提高练习

10.（2016年重庆八中）2016年5月10日上午，小华同学接到通知,

她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上交该作文的电子

文稿.接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文稿，录入一段

时间后因事暂停，过了一小会，小华继续录入并加快了录入速度，

直至录入完成.设从录入文稿开始所经过的时间为x,录入字数为y,

下面能反映y与x的函数关泵的大致图象是（）

(提示：根据在电脑上打字录入这篇文稿，录入字数增加，因事暂停,

字数不变，继续录入并加快了录入速度，字数增加，变化快，可得答

案。)

【答案】C

11.(2016咸宁)如图1,在平面直角坐标系wy中，点A的坐标为(0,

1),取一点B(b,0),连接AB,作线段AB的垂直平分线过点B

第11题

(1)当人=3时-，在图1中补全图形(尺规作图，不写作法，保留作图

痕迹)；

(2)小慧多次取不同数值或得出相应的点P,并把这些点用平滑的

曲线连接起来，发现：这些点P竟然在一条曲线L上!

①设点P的坐标为(x,y),试求y与x之间的关系式，并指出曲

线L是哪种曲线；

②设点P到x轴，)，轴的距离分别为4，d2,求4+4的范围.当

4+4=8时,求点P的坐标。

【答案】

第11题答案图

解：⑴如图1所示：

⑵①当尤＞()时，如图2,连接AP,过点P作轴于点E

•••4垂直平分AB

PA=PB=y,

在RtAAPE中，EP=OB=X,AE=OE-OA=y-L

由勾股定理，得(k1)2+V=y2,

整理得，y--x2+-

220

当xWO时，点P(x,y)同样满足y=g/+g

...曲线L就是二次函数y=!/+J.的图象，

22

即曲线L是一条抛物线。

②由题意可知，+4=国，

••d]+d2=^厂+耳+国o

当x=0时-，&+出有最小值;。

4+4的范围是4+4z；，

当4+4=8时，则g/+；+W=8。

(I)当x»0时，原方程化为#+；+》=8,

解得玉=3,x2=-5(舍去).

(II)当x<()时，原方程化为:尤=8

解％=-3,x2=5(舍去).

将》=±3代入，y=^-x2+~,得y=5

...点P的坐标为(3,5)或(-3,5)o

第二节一次函数的图象与性质

课标呈现指引方向

1.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函

数的表达式。

2.会利用待定系数法确定一次函数的表达式。

3.能面出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y=丘+匕

(心0)探索并理解%>0和左<0时，图象的变化情况。

4.理解正比例函数。

5.体会一次函数与二元一次方程的关系。

考点梳理夯实基础

1.一次函数的定义

(1)一次函数的一般形式是刀=依+》/人0_。正比例函数的一般形

式是y=kxCkH0^o

(2)正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。

2.一次函数的图象及性质

(1)正比例函数y(心0)的图象是经过点(0,0)和(1,「)的

一条直线；一次函数y=(ZHO)的图象是经过(-2,0)和(0,

k

b)两点的一条直线。

(2)-次函数y=(k/0)的图象与性质

k,b的k>Q^<0

符号6>06<06=0z»o6<06=0

不%*

大致

图像gi

A*A**-

经过第一一二第一，三四第一,二第一二，四第二，三四第二，四

象限象限象限象限象限象限象限

性质)•随X增大而增大.)随工增大而减少.

3.两直线的位置关系(设两直线必=3+4，y2=k2x+b2):

(1)两直线平行：kx=k2(b尸4);

⑵两直线垂直：人乜二一1。

4.用待定系数法求一次函数解析式:

(1)关键：确定一次函数y=(^0)中的字母々与人的值。

⑵步骤：①设一次函数表达式；

②根据已知条件将x,y的对应值代人表达式；

③解关于人,8的方程或方程组；

④确定表达式。

5.一次函数与一元一次方程，一元一次不等式和二元一次方程组的

关系

(1)-次函数与一元一次方程：

一次函数y=(女工0)的图象与x轴交点的横坐标是y=0时一元

一次方程的解，与y轴交点的纵坐标是二£时一元一次方程的解。

(2)-次函数与一元一次不等式：

kx+b>0(%0)或自+)<0(%0)的解集即一次函数图象位于x轴

上方或下方时相应的x取值范围，反之也成立。

(3)-次函数与二元一次方程组：

两条直线的交点坐标即为两个一次函数解析式所组成的二元一次

方程组的解，反之根据以二元一次方程组的解为坐标的焦是对应两直

线的交点。

考点精析专题突破

考点——次函数的图象和性质

【例1】(2016荆州)若点M(k-1,k+1)关于)，轴的对称点在第四象

限内，则一次函数y=(左-1比+人的图象不经过第一象限。

解题点拨：首先根据平面直角坐标系内关于)轴对称的点的坐标特

征确定点M所处的象限，然后确定人的符号，从而确定一次函数所经

过的象限，得到答案。

考点二一次函数解析式的确定

【例2】如图，一次函数>=二％+2的图象分别与％轴、y轴交于点A、

3

B,以线段AB为边在第一象限内作等腰RrAABC,NBAC=90°.求过B、

C两点直线的解析式.

解题点拨：此题为一次函数综合题.作CDLx轴于点D.证明

\ABO=ACAD，得出AD=

OB=2,从而得出C点坐标，即可求出BC的解析式.

解：一次函数yEgx+2中，令x=0得：y=2；令y=0,解得x=3.

则B的坐标是(0,2),A的坐标是(3,0)

作CDlx轴于点D.

,/ZBAC=9^,

NQA8+NC4Q=90°,

又VZC4D+ZACD=90°,

ZACD=ZBAO

XVAB=AC,ZBOA=ZCAD=9C）,

：.\ABO三ACAD,

AD=OB=2,CD=OA=3,OD=OA+AD=5。

则C的坐标是（5,3）.

设BC的解析式是y=日+匕，

根据题意得：I"：；,

5k+b=3

,1

解得：仁二

b=2

则BC的解析式是：>=：x+2

考点三一次函数与方程（组）、不等式（组）的关系

【例31（2015滩坊）如图，正比例函数y=皿（加>0）的图象与反比

例函数>2,（4/0）的图象交于点A（n,4）和点B,轴，垂

X

足为Mo

若AAMB的面积为8,则满足M>y?的实数x的取值范围是-2<x<0

或x>2o

解题点拨：由反比例函数图象的对称性可得：点A和点B关于原

点对称，再根据AAMB的面积为8列出方程:x4〃x2=8,解方程求

出n的值，然后利用图象可知满足%的实数x的取值范围。

考点四一次函数与几何的综合应用

【例4】(2015盐城)如图，在平面直角坐标系即，中，已知正比例函

数尸%与一次函数—的图象交于点A.

(1)求点A的坐标；

(2)设x轴上有一点P(a,0),过点P作x轴的垂线(垂线位于点A

的右侧)，分别交y和y=-x+7的图象于点B、C,连接OC,若

4

7

BC=-OA,求AO3C的面积。

解题点拨：本题考查的是两条直线相交或平行问题，根据题意作出

辅助线.构造出直角三角形是解答此题的关键。

解：⑴,•,由题意得，\y=4X，解得“=：，

y=~x+i口—

...A(4,3)；

(2)过点A作x轴的垂线，垂足为D,在RtZMDAD申，由勾股定理得,

OA=^OUr+ACP=742+32=5，

77

，BC=-0A=—x5=1,

55

P(a,0),

•••B(ci9—ci)9C(a,-a+7),

37

BC=-a-(-a-^l)=-a-l，

44

-a-1=7>解得a=8,

4

二•SAQBC=；BCOP=；X7X8=28。

课堂训练当堂检测

1.(2016广州)若一次函数y=ax+6的图象经过第一、二、四象限,

则下列不等式中总是成立的是()

A.«/?>0B.<2-/>>0C.a2+b>0D.a+h>0

【答案】C

2.（2016重庆巴蜀）甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整

个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（千米）与甲车行驶时

间/（小时）之间的函数关系如图所示，则下列结论：①A、B两城相

距300千米：②乙车比甲车晚出发1小时，却早到1小时：③乙车出

发后2.5小时追上甲车；④当甲、乙两车相距50千米时，x=9或身，

44

其中正确的结论有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

3.如图，直线>=区+8经过A(3,1)和8(6,0)两点，则不等式组0

<kx+b<-]x的解集为.

3

【答案】：3V%V6

4.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABC。的顶点4在y轴正半

轴上，顶点B在％轴正半轴上，QA、03的长分别是一元二次方程

?-7^+12=0的两个根(OA>OB).

(1)求点D的坐标；

(2)求直线3c的解析式.

【答案】解：（1）7*+12=0,解得西=3,X2=4,,：OA>OB,

：.OA=4,OB=3.

过。作。轴于点E.AD^AB,NQAB=90°,ZDAE+

ZOAB=9Q°,NA3O+NO48=90°,

：.ZABO=ZDAE,VDE1AE,：.ZAED=90°=ZAOB,在△D4E

ZABO=ZDAE

和AABO中,，NAED=ZAOB=90°,

AB=AD

妾△ABO(AAS),：.DE=OA=4,AE=OB=3,：.OE=1,

.•.0(4,7)；

(2)过C作CMJ_x轴于点M.同上可证得△3CM也△A30,：.CM

=0B=3,BM=OA=4,：.0M=7,，C(7,3),设直线BC的解析

式为y=Ax+6(%W0,k、。为常数)，代入3(3,0),C(7,3)得

[3攵+Z?=0

k=l

解得4•%—2.

b=，44

4

中考达标

模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1.(2016温州)如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A、B两

点，P是线段A8上任意一点(不包括端点)，过P分别作两坐标

轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为10,则该直线的函数表

达式是()

A.y=%+5B.y=x+10C.y——x+5

D.y=—%+10

【答案】C

2.一次函数y=ox+仇aVO）图象上有A、3两点，A（%i，M），8（如

”），且％1>%2，则yi和>2的大小关系为（）

A.M>竺B.yV>2C•yi="

D.无法判断

【答案】B

3.（2016德州）下列函数中，满足y的值随％的值增大而增大的是

（）

A.y=~2xB.y=3%—1C.y=-

X

D.y=x

【答案】B

4.（2015济南）如图，一次函数与一次函数竺=履+4的图

象交于点。（1,3）,则关于％的不等式x+b>区+4的解集是（）

A.x>—2B.%>0C.%>1

D.x<\

y

y2=kx+4y

yi=x+b

【答案】c

二、填空题

5.若点A（—2,/篦）在正比例函数y=-的图象上，则m的值为

2

【答案】1

6.（2016潍坊）在平面直角坐标系中，直线/：y=x-1与％轴交于

点A［，如图所示依次作正方形Ai&G。、正方形432。2。1、…、正方

形A志KG1，使得点C、人2、A3、…在直线/上，点G、。2、。3、…

在y轴正半轴上，则点B„的坐标是.

【答案】（2叫2"-1）

7.（2016包头）如图，直线丁=尹+4与％轴、y轴分别交于点A和

点B,点、C、D分别为线段AB.OB的中点，点尸为OA上一动

点，PC+尸。值最小时点。的坐标为

【答案】（一|,0）

三、解答题

8.（2016北京）如图，在平面直角坐标系xOy中，过点4（-6,0）

的直线G与直线为：y=2x相交于3（加，4）.

（1）求直线/i的表达式；

（2）过动点尸（〃，0）且垂直于％轴的直线与/i，，2的交点分别为。、

D,当点C位于点。上方时，写出〃的取值范围.

【答案】解：（1）;•点3在直线为上，，4=2m，，m=2,则8（2,

4）,设人的表达式为>=丘+上由4、3两点均在直线上得到,

4=2k+b,解得:

0=-6Z+b

6=3

则直线Z,的表达式为y=；%+3.

(2)由图可知：C(^+3,〃)，D(2n,n),由于点。在点。的上方，

得到2+3>2〃,解得：〃<2.

2

9.(2016绥化)在平面直角坐标系％Oy中，直线y=—x+3与％轴、

y轴分别交于A、B,在△AOB内部作正方形，使正方形的四个顶

点都落在该三角形的边上，求正方形落在％轴正半轴的顶点坐标.

【答案】解:分两种情况：

①如图1,令％=0,则y=3；令y=0,则x=3,：.OA=OB=3,：.

ZBAO=45°,VDE1OA,：.DE=AE,二•四边形COEQ是正方形，

：.OE=DE,：.OE=AE,.•.O£=1QA=3,0)；

222

②如图2,由①知△ObC,△EM是等腰直角三角形，.•.CF=&OE

AF=叵EF,\•四边形CDEb是正方形，：.EF=CF,:.AF=叵CF

=2OF,：.OA=OF-\-2OF=3,：.OF=1,/.F(l,0).

B组提高练习

一、选择题

10.（2016泰安）如图，直线y=—乎％+2与％轴、y轴分别交于4、

3两点，把△AQB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO'3',则点

3'的坐标是（）

A.（4,26）B.（2^3,4）C.（53）

D.（273+2,2A/3）

【答案】B

（提示：在、=一#%+2中令％=0,解得：y=2；令y=0,解得：%

=20.则OA=2g,08=2..,.在直角△A80中，AB=S/OA2+OB2

=4,/BAO=30°,又•.•N8A3'=6（T,NOAB'=90°,.•.点3

'的坐标是（26，4）.）

11.（2016德州）如图，在平面直角坐标系中，函数＞=2%和〉=一工

的图象分别为直线/”h，过点（1，0）作％轴的垂线交。于点A”

过点A作y轴的垂线交L于点42，过点4作％轴的垂线交4于

点A?，过点4作y轴的垂线交4于点44，…依次下去，则点A2017

的坐标为.

【答案】⑵颐，21009)

(提示:观察，发现规律：Ai(l,2),A2(-2,2),A3(-2,-4),4(4,

w

-4),4(4,8),.-.A2n+1((-2),2X(—2)")(〃为自然数).•••

2017=1008X2+1,，42017的坐标为((-2)1叫2(-2)1008)=

10091009

.008,2).故答案为⑵颜,2).)

12.(2014天津)在平面直角坐标系中，。为原点，直线/：x=l,

点A(2,0),点E、点死点M(l,—1)都在直线/上，且点E和

点厂关于点M对称，直线E4与直线交于点P.

(1)当点尸的坐标为(1,1)时，如图，求点P的坐标；

(2)当点/为直线/上的动点时，记点尸(x,y),求y关于％的函

数解析式.

y

【答案】解：(1)•.•点0(0,0),尸(1,1),••・直线O尸的解析式为y

=%.设直线E4的解析式为：y=^+b/W0),•••点七和点厂关于点

M(l,一1)对称，；.E(1,-3).又•.•42,0),点£在直线E4上，

解得［：［1..•直线•的解析式为7=3%—6....点尸是

直线O歹与直线用的交点，则［=：,解得卜=：,...点P的坐标

［y=3x-6［y=3

是(3,3).

(2)由已知可知点尸的坐标是(1,/)..•.直线。厂的解析式为y=江.

设直线E4的解析式为：y=cx+d(c、d是常数，且cWO).由点石和

点/关于点M(l,-1)对称，得点E(l,-2~t).又点A、E在直线

EA上，・・・｛：=：；“解得｛；：；〉)，・.•直线班的解析式为：产

(2+。%—2(2+/).•.•点P为直线0b与直线E4的交点，.•.比=(2+。%

—2(2+。，即t=x~2.则有y=tx=(x—2)x—j(r—2x.

第三节一次函数的应用

课标呈现

指引方向

能用一次函数解决简单实际问题.

考点梳理

夯实基础

1.利用一次函数性质解决实际问题的步骤：

(1)确定实际问题中的自变量和因变量.

(2)根据条件中的等量关系确定一次函数表达式及自变量的取值范

围.

(3)利用函数性质解决实际问题.

2.结合一次函数的图象解决实际问题：

(1)通过函数图象获取信息时，要分清楚是一个一次函数问题还是

几个一次函数问题；要读懂横纵坐标表示的实际意义，要注意平面直

角坐标系中点的特征与意义，还需学会将图象中的点的坐标转化为数

学语言，建立一次函数模型.

(2)数形结合是解决与一次函数应用题的关键方法，能起到事半功

倍的作用.

考点精析

专项突破

考点一利用一次函数解析式解决实际问题

【例。(2016洛阳)如图，某个体户购进一批时令水果，20天销售

完毕，他将本次销售情况进行跟踪记录，根据所记录的数据绘制的函

数图象，其中日销售量y（千克）与销售时间x（天）之间的函数关系如图

甲所示，销售单价p（元/千克）与销售时间双天）之间的函数关系如图乙

所示.

（1）直接写出y与％之间的函数关系；

（2）分别求出第10天和第15天的销售金额;

（3）若日销售量不低于24千克的时间段为“最佳销售期”，则此次

销售过程中“最佳销售期”共有多少天？在此期间销售单价最高为多

少元？

解题点拨：（1）用待定系数法分别求出0W%W15、15<%W20时销售

量y关于销售时间％的函数关系式；（2）由图乙先求出OWxVIO、10

W%W20时销售单价p关于销售时间％的函数关系式，再求出％=10

和％=15时的销售单价，最后根据销售额=销售单价X销售量分别求

之；（3）分别求出0W%W15、15V%W20时销售量）与24时一％的范围。

可知共有多少天，再结合上述％的范围根据一次函数性质求p的最大

值即可.

解：（1）分两种情况：

①当0W%W15时-，设日销售量y与销售时间％的函数解析式为>=鬲％,

•.〉=鬲％过点(15,30),/.15^=30,解得e=2,.•.y=2%(0W%W15)；

②当15V%W20时-，设日销售量y与销售时间％的函数解析式为旷=

22%+上：点(15,30),(20,0)在y=g+h的图象上，••/2+?=3°,

解得仁：，.・・,=—6%+120(15V%W20)；

综上，可知y与％之间函数关系式为：尸芸<<孙.

[-6x+120(15VxW20)

(2)•.•第10天和第15天在第10天和第20天之间，••・当102人

20时，设销售单价p(元/千克)与销售时间双天)之间的函数解析式为p

=如+〃，♦.•点(10,10),(20,8)在P=mx+"的图象上，.•.「°"+〃小°,

[20根+〃=8

_1

解得『=一二，.♦.〃=-：+12(10W%W20),

77=125

当％=10时，p=10,y=2X10=20,销售金额为：10X20=200(元)，

当％=15时，〃=—；><15+12=9,y=30,销售金额为：9X30=

270(%).

故第10天和第15天的销售金额分别为200元，270元.

(3)若日销售量不低于24千克，则y224.

当0W%W15时，y=2x,解不等式2x224,得入212；

当15<xW20时，y=-6x+120,解不等式-6九+120224,得％W16,

，12W%W16,.•・“最佳销售期”共有：16—12+1=5(天);

•.•〃=—；%+12(10W%W20),-l<0,.•.〃随％的增大而减小，...当

16时，尤取12时，〃有最大值，此时P=一;义12+12=9.6(元

/千克).

故此次销售过程中“最佳销售期”共有5天，在此期间销售单价最高

为9.6元.

考点二综合一次函数解析式和图象解决实际问题

[例2]（2016无锡）某公司今年如果用原线下销售方式销售一产品，

每月的销售额可达100万元.由于该产品供不应求，公司计划于3月

份开始全部改为线上销售，这样，预计今年每月的销售额y（万元）与

月份双月）之间的函数关系的图象如图1中的点状图所示（5月及以后

每月的销售额都相同），而经销成本p（万元）与销售额y（万元）之间函数

关系的图象如图2中线段A3所示.

2（万元）产（万元）

200-------------

—1—■—1--1--1--1----

0123456*（月）°100200y（万元）

图1图2

（1）求经销成本p（万元）与销售额y（万元）之间的函数关系式；

（2）分别求该公司3月，4月的利润；

（3）问：把3月作为第一个月开始往后算，最早到第几个月止，该

公司改用线上销售后所获得利润总额比同期用线下方式销售所能获

得的利润总额至少多出200万元？（利润=销售额一经销成本）

解题点拨：（1）设p=6+。，A（100,60）,B（200,110）,代入即可

解决问题.

（2）根据利润=销售额一经销成本，即可解决问题.

（3）设最早到第％个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额

比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元，列出

不等式即可解决问题.

解：⑴设〃A(100,60),3(200,110),代入得［黑

解得,"一5,，p=Ly+l。.

6=102

(2)•.,y=150时,.=85,二三月份利润为150—85=65万元.

•.，=175时一，〃=97.5,...四月份利润为175—97.5=77.5万元.

(3)设最早到第％个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额

比同期用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元.

V5月份以后的每月利润为90万元，.••65+77.5+90(%—2)—40%2

200,.•.%24.75,

...最早到第5个月止，该公司改用线上销售后所获得利润总额比同期

用线下方式销售所能获得的利润总额至少多出200万元.

课堂训练

当堂检测

1.从甲地到乙地，先是一段平路，然后是一段上坡路，小明骑车从

甲地出发，到达乙地后立即返回甲地，途中休息了一段时间.假设

小明骑车在平路、上坡、下坡时分别保持匀速前进，已知小明骑车

上坡的速度比在平路上的速度每小时少5km.下坡的速度比在平路

上的速度每小时多5km.设小明出发％h后，到达离甲地ykm的地

方，图中的折线。4BCQE表示y与％之间的函数关系，则下列说

法正确的有()个

①小明骑车在平路上的速度为15km/h；

②小明途中休息了O.lh；

③如果小明两次经过途中某一地点的时间间隔为0.15h,那么该地

点离甲地5.75km.

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

2.（2015连云港）如图是某地区一种产品30天的销售图象，图①是

产品日销售量M单位：件）与时间《单位：天）的函数关系，图②是一

件产品的销售利润z（单位：元）与时间（单位：天）的函数关系，已知日

销售利润=日销售量又一件产品的销售利润.下列结论错误的是

（）

A.第24天的销售量为200件

B.第10天销售一件产品的利润是15元

C.第12天与第30天这两天的日销售利润相等

D.第30天的日销售利润是750元

【答案】c

3.（2016重庆）为增强学生体质，某中学在体育课中加强了学生的

长跑训练.在一次女子800米耐力测试中，小静和小茜在校园内200

米的环形跑道上同时起跑，同时到达终点；所跑的路程S（米）与所用

的时间/（秒）之间的函数图象如图所示，则她们第一次相遇的时间是

起跑后的第秒.

【答案】120

4.（2016武汉）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销

售，每年产销工件.已知产销两种产品的有关信息如下表:

每年其他费每年最大

每件售价每件成本

产品用产

（万元）（万元）

（万元）销量（件）

甲6a20200

乙201040+0.05/80

其中。为常数，且3WaW5.

(1)若产销甲、乙两种产品的年利润分别为“万元、”万元，直接

写出力、”与％的函数关系式；

(2)分别求出产销两种产品的最大年利润；

(3)为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理

由.

解：(1)y]=(6—q)%—20(0V%W200),-0.05?+10^-40(0<^

W80)；

(2)甲产品：•「3WaW5,随％的增大而增大，

.•.当％=200时，)1机依=1180—200矶3忘。忘5).

乙产品：y2=-0.05%2+10x—40(0V%W80)

/.当0V%W80时,经随汇的增大而增大,

当％=80时一，y2y=440(万元).

.•.产销甲种产品的最大年利润为(1180—200。)万元，产销乙种产品的

最大年利润为440万元；

(3)1180-200«>440,解得3Wa<3.7时，此时选择甲产品；

1180-2000=440,解得丁=3.7时,此时选择甲乙产品；

1180-200a<440,解得3.7V“W5时,此时选择乙产品.

...当3WaV3.7时，生产甲产品的利润高；当。=3.7时，生产甲乙两

种产品的利润相同；3.7VaW5时一，生产乙产品的利润高.

中考达标

模拟自测

A组基础训练

一、选择题

1.（2016宜宾）如图是甲、乙两车在某时段速度随时间变化的图象,

下列结论错误的是（）

A.乙前4秒行驶的路程为48米

B.在。到8秒内甲的速度每秒增加4米/秒

C.两车到第3秒时行驶的路程相等

D.在4至8秒内甲的速度都大于乙的速度

【答案】C

2.小明从家出发，外出散步，到一个公共阅报栏前看了一会报后，

继续散步了一段时间，然后回家，如图描述了小明在散步过程中

离家的距离s（米）与散步所用时间《分）之间的函数关系，根据图

象，下列信息错误的是（）

A.小明看报用时8分钟

B.公共阅报栏距小明家200米

C.小明离家最远的距离为400米

D.小明从出发到回家共用时16分钟

【答案】A

第1题

3.（2016安徽）一段笔直的公路AC长20千米，途中有一处休息点

B,A3长15千米，甲、乙两名长跑爱好者同时从点4出发，甲以15

千米/时的速度匀速跑至点B.原地休息半小时后，再以10千米/

时的速度匀速跑至终点C；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点

C.下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y

（千米）与时间％（小时）函数关系的图象是（）

C.D.

【答案】A

4.（2016荆门）如图，正方形A8CQ的边长为2cm.动点、P从点A

出发，在正方形的边上沿A-3-C的方向运动到点C停止，设点P

的运动路程为％（cm）,在下列图象中，能表示△人£）「的面积》（cm?）关

于％（cm）的函数关系的图象是（）

第4题

【答案】A

二、填空题

5.（2016重庆）甲、乙两人在直线道路上同起点、同终点、同方向,

分别以不同的速度匀速跑步1500米，先到终点的人原地休息，已知

甲先出发30秒后，乙才出发，在跑步的整个过程中，甲、乙两人的

距离y（米）与甲出发的时间％（秒）之间的关系如图所示，则乙到

终点时，甲距终点的距离是米.

y/m

75

0

30180x/s

第5题

【答案】175

6.（2016沈阳）在一条笔直的公路上有A、B、C三地，C地位于A、

3两地之间，甲，乙两车分别从4、3两地出发，沿这条公路匀速行

驶至C地停止.从甲车出发至甲车到达C地的过程，甲、乙两车各

自与C地的距离＞'（km）与甲车行驶时间*h）之间的函数关系如图表

示，当甲车出发h时，两车相距350km.

【答案】之

2

7.（2016苏州）某商场在“五一”期间举行促销活动，根据顾客按

商品标价一次性购物总额，规定相应的优惠方法：①如果不超过500

元，则不予优惠；②如果超过500元，但不超过800元，则按购物总

额给予8折优惠；③如果超过800元，则其中800元给予8折优惠，

超过800元的部分给予6折优惠.促销期间，小红和她母亲分别看中

一件商品，若各组单独付款，则应分别付款480元和520元；若合并

付款，则她们总共只需付款元.

【答案】830或910

三、解答题

8.某政府为了增强城镇居民抵御大病风险的能力，积极完善城镇居

民医疗保险制度，纳入医疗保险的居民的大病住院医疗费用的报销比

例标准如下表：

医疗费用范围报销比例标

准

不超过8000元不予报销

超过8000元且不超过30000元的部50%

分

超过30000元且不超过50000元的60%

部分

超过50000元的部分70%

设享受医保的某居民一年的大病住院医疗费用为工元，按上述标准报

销的金额为y元.

（1）直接写出％W50000时-，y关于％的函数关系式，并注明自变

量％的取值范围；

（2）若某居民大病住院医疗费用按标准报销了20000元，问他住

院医疗费用