中考数学考点解析专题：圆(含教师版和学生版)

中考数学试题专题复习：圆【教师版】

一、选择题

1.（天津3分）已知。O1与。。2的半径分别为3cm和4cm,若0。2=7cm,则。C\与。O?的位置关

系是

（A）相交（B）相离（C）内切（D）外切

【答案】D«

【考点】圆与圆位置关系的判定。

【分析】两圆半径之和3+4=7,等于两圆圆心距002=7,根据圆与圆位置关系的判定可知两圆外切。

2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系

是

A、相交B、外切C、外离D、内含

【答案】B。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等

于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大

于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。

•••两圆的直径分别是2厘米与4厘米，.••两圆的半径分别是1厘米与2厘米。

•.•圆心距是1+2=3厘米，.•.这两个圆的位置关系是外切。故选B。

3,（内蒙古包头3分）已知AB是。。的直径，点P是AB延长线上的一个动点，

过P作。。的切线，切点为C,/APC的平分线交AC于点D,则/CDP等于

A、30°B、60°C、45°D、50°A\~O-----十二^尸

［答案］c

【考点】角平分线的定义，切线的性质，直角三角形两锐角的关系，三角形外角定理。

【分析】连接0C,

V0C=0A,,PD平分/APC,.\ZCPD=ZDPA,ZCAP=ZAC0»

；PC为。。的切线，，OC_LPC。

VZCPD+ZDPA+ZCAP+ZAC0=90°,/.ZDPA+ZCAP=45°,即/CDP=45°。故选C。

4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD中，DC〃AB,BC=1,口（

AB=AC=AD=2.则BD的长为\

A.V14B.715C.372D.273AB

【答案】Bo

【考点】圆周角定理，圆的轴对称性，等腰梯形的判定和性质，勾股定理。

【分析】以A为圆心，AB长为半径作圆，延长BA交。A于F,连接DF。/小三

根据直径所对圆周角是直角的性质，得NFDB=90°：Fl;•……B

根据圆的轴对称性和DC〃AB,得四边形FBCD是等腰梯形。''、、J

.,.DF=CB=1,BF=2+2=4。/.BD=VBF2-DF2=A/42-12=V15»故选B。

5.（内蒙古呼伦贝尔3分）。01的半径是2cm,。2的半径是5c机，圆心距是4cm,则两圆的位置关系为

A.相交B.外切C.外离D.内切

【答案】A。

【考点】两圆的位置关系。

【分析】根据两圆的位置关系的判定：外切（两圆圆心距离等于两圆半径之和），内切（两圆圆心距离等

于两圆半径之差），相离（两圆圆心距离大于两圆半径之和），相交（两圆圆心距离小于两圆半径之和大

于两圆半径之差），内含（两圆圆心距离小于两圆半径之差）。由于5—2<4<5+2,所以两圆相交。故选

Ao

6.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，。。的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点，A

则线段0M长的最小值为.（

A.5B.4C..3D.2k\）

【答案】C.

&

【考点】垂直线段的性质，弦径定理，勾股定理。

【分析】由直线外一点到--条直线的连线中垂直线段最短的性质，知线段0M长的最小值（

为点0到弦AB的垂直线段。如图，过点0作0MLAB于M,连接0A。

根据弦径定理，得AM=BM=4,在Rt^AOM中，由AM=4,0A=5,根据勾股定理得0M=

3,即线段0M长的最小值为3。故选Co

7.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，AB是。0的直径，点C、D在。。上,ZB0D=110°,。

AC//0D,则NA0C的度数\

A.70°B.60°C.50°D.40°\70J

［答案］DoV—

【考点】等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平角定义，平行的性质。

【分析】由AB是。0的直径，点C、D在。0上，知0A=0C,根据等腰三角形等边对等角的性质和三角形内

角和定理，得/A0C=180°—2/0AC。

由AC〃OD,根据两直线平行，内错角相等的性质，得NOAC=/AOD。

由AB是。。的直径，ZB0D=110°,根据平角的定义，得/人0口=180°—/80口=70°。

.,.ZA0C=180°-2X70°=40°。故选D。

8.（内蒙古乌兰察布3分）如图，AB为。0的直径，CD为弦，AB±CD,

如果NB0C=70°,那么NA的度数为

A700B.35°C.30°D.20°

【答案】B。

【考点】弦径定理，圆周角定理。

【分析】如图，连接OD,AC。由NB0C70°,

根据弦径定理，得/D0C=140°；

根据同弧所对圆周角是圆心角一半的性质，得NDAC=

从而再根据弦径定理，得NA的度数为35°。故选B。

17.填空题

1.（天津3分）如图，AD,AC分别是。0的直径和弦.且/CAD=30°.0B1AD,交AC

于点B.若OB=5,则BC的长等于▲。

【答案】5。

【考点】解直角三角形，直径所对圆周角的性质。

CR5OB5

【分析】•・•在RtZXABO中，AO=------------=573,AB==10,

tanZCADCtan30°sinZCADsin30°

.,.AD=2A0=10V3o

连接CD,则NACD=90°o

,在RtAADC中，AC=ADcosZCAD=10A/3cos30°=15,

.,.BC=AC-AB=15-10=5»

2.（河北省3分）如图，点0为优弧ACB所在圆的圆心,

NA0C=108°,点D在AB延长线上，BD=BC,则/D=▲.

【答案】27。。

【考点】圆周角定理，三角形的外角定理，等腰三角形的性质。

【分析】VZA0C=108°,AZABC=54"。；BD=BC,AZD=ZBCD=-ZABC=27°。

2

3.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰3分）如图，直线PA过半圆的圆心0,交半圆于A,B两点，PC切半圆与点C,

已知PC=3,PB=1,则该半圆的半径为▲.

【答案】4。/\

【考点】切线的性质，勾股定理。PBOA

【分析】连接0C,则由直线PC是圆的切线，得OCJ_PC。设圆的半径为x,/-----、

则在RtZXOPC中，PC=3,0C=x,0P=l+x,根据地勾股定理，得0尸=0不+才、、\

PC?,即（1+x）Jx'+32,解得x=4。即该半圆的半径为4。PBOA

【学过切割线定理的可由PC、PA-PB求得PA=9,再由AB=PA—PB求出直径，从而求得半径】

4.（内蒙古呼伦贝尔3分）已知扇形的面积为12%,半径是6,则它的圆心角是▲

【答案】120°。

【考点】扇形面积公式。

【分析】设圆心角为n,根据扇形面积公式，得W-7—=,解得n=120"。

3610°

18.解答题

1.（天津8分）已知AB与。。相切于点C,OA=OB.（）A、0B与。0分别交于点D、E.

（I）如图①，若。。的直径为8,AB=10,求0A的长（结果保留根号）；

菱形.求变的值.

（H）如图②，连接CD、CE,若四边形ODCE为

OA

4CBACB

图①图②

【答案】解：（I）如图①，连接0C,则0C=4。

：AB与。0相切于点C,...OCL

，得。

...在△OAB中，由OA=OB,AB=1CAC'S

在aRtOAB中，OA=JOC2+AC?="2+52=q。ACB

图①

（H）如图②，连接0C,则OC=OD。

ACB

图②

四边形ODCE为菱形，.*.OD=DC„

.♦.△ODC为等边三角形。AZA0C=60\

.,.ZA=30°„AOC=-OA,—即9=L

2OA2OA2

【考点】线段垂直平分线的判定和性质，勾股定理，等边三角形的判定和性质，30°角直角三角形的性质。

【分析】（D要求0A的长，就要把它放到一个直角三角形内，故作辅助线0C,由AB与。。相切于点C可

知0C是AB的垂直平分线，从而应用勾股定理可求0A的长。

（H）由四边形ODCE为菱形可得aODC为等边三角形，从而得30°角的直角三角形OAC,根据30°角所

对的边是斜边的一半的性质得到所求。

2.（河北省10分）如图1至图4中，两平行线AB、CD间的距离均为6,点M为AB上一定点.

思考

如图1,圆心为0的半圆形纸片在AB,CD之间（包括AB,CD）,其直径MN在AB上，MN=8,点P为半

圆上一点，设/M0P=a.

当a=▲度时,点P到CD的距离最小，最小值为▲.

探究一

在图1的基础上，以点M为旋转中心，在AB,CD之间顺时针旋转该半圆形纸片，直到不能再转动为

止，如图2,得到最大旋转角NBM0=▲度,此时点N到CD的距离是▲.

探究二

将如图1中的扇形纸片NOP按下面对a的要求剪掉，使扇形纸片MOP绕点M在AB,CD之间顺时针旋

转.

（1）如图3,当a=60。时，求在旋转过程中，点P到CD的最小距离，并请指出旋转角NBM0的最大

值；

（2）如图4,在扇形纸片MOP旋转过程中，要保证点P能落在直线CD上，请确定a的取值范围.

333

（参考数据：sin49°=—,cos41°=—,tan37°=—.）

C

图图2

【答案】解：思考：90,2。

探究一:30,2。

探究二（1）当PMJ_AB时，点P到AB的最大距离是MP=0M=4,

从而点P到CD的最小距离为6-4=2。

当扇形M0P在AB,CD之间旋转到不能再转时，弧MP与AB

相切,

此时旋转角最大，NBM0的最大值为90°。

（2）如图4,由探究一可知，

点P是弧MP与CD的切线时，a大到最大，即0PLCD,

此时延长P0交AB于点H,

a最大值为/0MH+N0HM=30°+90°=120°,

如图5,当点P在CD上且与AB距离最小时，MP±CD,a达到最小,

连接MP,作H0LMP于点H,由垂径定理,得出MH=3。

,

在RtZ\MOH中，M0=4,.\sinZM0H=^-=-o..ZM0H=49°。

OM4

■:a=2ZM0H,Aa最小为98°。

Aa的取值范围为：98°WaW120°。

【考点】直线与圆的位置关系，点到直线的距离，平行线之间的距离，切线的性质，旋转的性质，解直角

三角形。

【分析】思考：根据两平行线之间垂线段最短，直接得出答案，当a=90度时，点P到CD的距离最小,

；MN=8,；.0P=4,.•.点P到CD的距离最小值为：6-4=2。

探究一：；以点M为旋转中心，在AB,CD之间顺时针旋转该

半圆形纸片，直到不能再转动为止，如图2,

VMN=8,M0=4,NQ=4,最大旋转角NBM0=30度，点N到CD

的距离是2。

探究二：（1）由已知得出M与P的距离为4,PM_LAB时，点

MP到AB的最大距离是4,从而点P到CD的最小距离为6-4=2,即可得出NBMO的最大值。

（2）分别求出a最大值为求0MH+N0HM=3为+90°以及最小值a=2ZMOH,即可得出a的取值范围。

3.（内蒙古呼和浩特8分）如图所示，AC为。。的直径且PA_LAC,BC是。0的一条弦，直线PB交直线AC

(1)求证：直线PB是。。的切线；

(2)求cos/BCA的值.

【答案】(1)证明：连接OB、0P

)

—DR=，rC=一9且ND=/D,ABDC^'APDOo

DPDO3

AZDBC=ZDP0«，BC〃OP。

AZBC0=ZP0A,ZCB0=ZB0Po

V0B=0C,AZ0CB=ZCB0oAZB0P=ZP0Ao

XV0B=0A,OP=OP,.,.△BOP^AAOP(SAS)。

；.NPB0=NPA0。又；PA_LAC,AZPB0=90°。

直线PB是。0的切线。

(2)111(1)知/BCO=NPOA。

设PB=a,则BD=2a,

又VPA=PB=a,AD=2叵a»

又•:BC〃OP，A—=2oDC=CA=,x2缶=缶。/.OA=—a。AOP=—a

CO222

cosZBCA=co.sZP0A=2^<,

3

【考点】切线的判定和性质，平行的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质,

锐角三角函数的定义，勾股定理，切线长定理。

DRr）C?

【分析】（1）连接OB、0P,由空=±*=*,且ND=ND,根据三角形相似的判定得到△BDCS^PDO,可

DPDO3

得到BC〃OP,易证得ABOP名△AOP,则/PB0=/PA0=90°。

（2）设PB=a,则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB=a,根据勾股定理得到AD=2j5a,又BC〃OP,

得到DC=2C0,得到DC=CA=1x2"/="z,贝UoA=^a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数

22

的定义即可求出cosNBCA二cosNPOA的值。

4.（内蒙古巴彦淖尔、赤峰12分）如图，等圆。Oi和。相交于A,B两点，经过。0i的圆心01,两圆

的连心线交。01于点M,交AB于点N,连接BM,已知AB=2，5。

M

（1）求证：BM是OOz的切线；

（2）求AM的长。

【答案】解（1）证明：连结6B,

•••MO?是。Oi的直径，，NMB02=90°。

；.BM是。Oz的切线。

O

(2)V0,3=028=0,02,AZ0102B=60。

BN

VAB=2V3,/.BN=V3,.\028=二2。

sinZO]O2B

120JIX24n

AM=BM=--180~=V

【考点】切线的判定和性质，相交两圆的性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，弧长的计算。

【分析】（1）连接0?B,由M0?是。01的直径，得出NMB02=90°从而得出结论：BM是。Oz的切线。

⑵根据0IB=02B=0Q,则N0Q2B=60°,再由已知得出BN与0B从而计算出弧AM的长度。

5.（内蒙古包头12分）如图，已知/ABC=90°,AB=BC.直线1与以BC为直径的圆0相切于点C.点F是

圆0上异于B、C的动点，直线BF与1相交于点E,过点F作AF的垂线交直线BC与点D.

（1）如果BE=15,CE=9,求EF的长;

（2）证明：①△CDFS/\BAF；②CD=CE；

（3）探求动点F在什么位置时，相应的点D位于线段BC的延长线上,

使BC=gCD,请说明你的理由.

【答案】解：（1）♦.•直线1与以BC为直径的圆0相切于点C,

AZBCE=90°,

又..攻为直径，.-.ZBFC=ZCFE=90°。/CFE=NBCE。

CEEF

VZFEC=ZCEB,AACEF^ABECo—=—。

BEEC

9EF27

VBE=15,CE=9,即：一=—，解得：EF=—o

1595

(2)证明：①・・・NFCD+NFBC=90°,ZABF+ZFBC=90°,AZABF=ZFCDO

同理：NAFB=NCFD。AACDF^ABAFo

②•••△CDFs/^BAF,・••里二空。

BFBA

CFCE.CDCE

XVACEF^ABCF,——=—

BFBC**BA-BC

又〈AB=BC,Z.CE=CDo

2

(3)当F在。0的下半圆上，且BF=*BC时，相应的点D位于线段BC的延长线上，且使

3

BC=V3CD«理由如下：

CE=CD,BC=y/3CD=CE。

CE1

在RtZ\BCE中，tanZCBE=——=十，

BC百

.•./CBE=30°,；.CF所对圆心角为60°。

2

；.F在。0的下半圆上，且BF=—BC。

3

【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，切线的性质，锐角三角函数定义，特殊角的

三角函数值。

【分析】(1)由直线1与以BC为直径的圆0相切于点C,即可得NBCE=90°,ZBFC=ZCFE=90°,则可证

得△CEFSABEC,然后根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EF的长。

(2)①由/FCD+NFBC=90°,NABF+/FBC=90°,根据同角的余角相等，即可得/ABF=NFCD,同

理可得/AFB=/CFD,则可证得△CDFsaBAF。

②由△CDFS^BAF与△CEFSABCF,根据相似三角形的对应边成比例，易