最优捕鱼问题培训课件

最优捕鱼问题§1微分方程简介

<>2最优捕鱼问题<>3最优捕鱼问题<>4最优捕鱼问题<>5最优捕鱼问题<>6最优捕鱼问题<>7最优捕鱼问题<>8最优捕鱼问题<>9最优捕鱼问题<>10最优捕鱼问题<>11最优捕鱼问题<>12最优捕鱼问题<>13最优捕鱼问题§2传染病模型问题

描述传染病的传播过程

分析受感染人数的变化规律

预报传染病高潮到来的时刻

预防传染病蔓延的手段

按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型<>14最优捕鱼问题

已感染人数(病人)i(t)

每个病人每天有效接触(足以使人致病)人数为模型1假设若有效接触的是病人，则不能使病人数增加必须区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)建模?<>15最优捕鱼问题模型2区分已感染者(病人)和未感染者(健康人)假设1）总人数N不变，病人和健康人的比例分别为2）每个病人每天有效接触人数为,且使接触的健康人致病建模~日接触率SI模型<>16最优捕鱼问题模型21/2tmii010ttm~传染病高潮到来时刻(日接触率)tmLogistic模型病人可以治愈！?t=tm,di/dt最大<>17最优捕鱼问题模型3传染病无免疫性——病人治愈成为健康人，健康人可再次被感染增加假设SIS模型3）病人每天治愈的比例为~日治愈率建模~日接触率1/~感染期~一个感染期内每个病人的有效接触人数，称为接触数。<>18最优捕鱼问题模型3i0i0接触数=1~阈值感染期内有效接触感染的健康者人数不超过病人数1-1/i0模型2(SI模型)如何看作模型3(SIS模型)的特例idi/dt01>10ti>11-1/i0t1di/dt<0<>19最优捕鱼问题模型4传染病有免疫性——病人治愈后即移出感染系统，称移出者SIR模型假设1）总人数N不变，病人、健康人和移出者的比例分别为2）病人的日接触率

,日治愈率,

接触数=/建模需建立的两个方程<>20最优捕鱼问题模型4SIR模型无法求出的解析解在相平面上研究解的性质<>21最优捕鱼问题<>si101D模型4SIR模型相轨线及其分析传染病蔓延传染病不蔓延s(t)单调减相轨线的方向P1s0imP1:s0>1/i(t)先升后降至0P2:s0<1/

i(t)单调降至01/~阈值P3P4P2S023最优捕鱼问题<>模型4SIR模型预防传染病蔓延的手段(日接触率)卫生水平(日治愈率)医疗水平传染病不蔓延的条件——s0<1/的估计

降低s0提高r0

提高阈值1/

降低(=/),群体免疫24最优捕鱼问题<>模型4SIR模型被传染人数的估计记被传染人数比例x<<s0i0P1i00,s01小,s01提高阈值1/降低被传染人数比例xs0-1/=25最优捕鱼问题<>战争分类：正规战争，游击战争，混合战争只考虑双方兵力多少和战斗力强弱兵力因战斗及非战斗减员而减少，因增援而增加战斗力与射击次数及命中率有关建模思路和方法为用数学模型讨论社会领域的实际问题提供了可借鉴的示例第一次世界大战Lanchester提出预测战役结局的模型§3战争模型

26最优捕鱼问题<>一般模型

每方战斗减员率取决于双方的兵力和战斗力

每方非战斗减员率与本方兵力成正比

甲乙双方的增援率为u(t),v(t)f,g

取决于战争类型x(t)~甲方兵力，y(t)~乙方兵力模型假设模型27最优捕鱼问题<>正规战争模型

甲方战斗减员率只取决于乙方的兵力和战斗力双方均以正规部队作战

忽略非战斗减员

假设没有增援f(x,y)=ay,a~乙方每个士兵的杀伤率a=rypy,ry~射击率，

py~命中率28最优捕鱼问题<>0正规战争模型为判断战争的结局，不求x(t),y(t)而在相平面上讨论x与y的关系平方律模型乙方胜29最优捕鱼问题<>游击战争模型双方都用游击部队作战

甲方战斗减员率还随着甲方兵力的增加而增加

忽略非战斗减员

假设没有增援f(x,y)=cxy,c~乙方每个士兵的杀伤率c=rypyry~射击率py~命中率py=sry/sxsx~甲方活动面积sry~乙方射击有效面积30最优捕鱼问题0游击战争模型线性律模型<>31最优捕鱼问题<>0混合战争模型甲方为游击部队，乙方为正规部队乙方必须10倍于甲方的兵力设x0=100,rx/ry=1/2,px=0.1,sx=1(km2),sry=1(m2)32最优捕鱼问题<>

再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等）

再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。问题及分析

在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。

如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。背景§4最优捕鱼问题

33最优捕鱼问题<>产量模型假设

无捕捞时鱼的自然增长服从Logistic规律

单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比建模

捕捞情况下渔场鱼量满足

不需要求解x(t),只需知道x(t)稳定的条件r~固有增长率,N~最大鱼量h(x)=Ex,E~捕捞强度x(t)~渔场鱼量34最优捕鱼问题<>一阶微分方程的平衡点及其稳定性一阶非线性（自治）方程F(x)=0的根x0~微分方程的平衡点设x(t)是方程的解，若从x0某邻域的任一初值出发，都有称x0是方程(1)的稳定平衡点不求x(t),判断x0稳定性的方法——直接法(1)的近似线性方程35最优捕鱼问题<>产量模型平衡点稳定性判断x0稳定,可得到稳定产量x1稳定,

渔场干枯E~捕捞强度r~固有增长率36最优捕鱼问题<>产量模型在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大图解法P的横坐标x0~平衡点P的纵坐标h~产量产量最大f与h交点P控制渔场鱼量为最大鱼量的一半y=rxhPx0hmx0*=N/2P*y=E*xy0y=h(x)=ExxNy=f(x)37最优捕鱼问题<>效益模型假设

鱼销售价格p

单位捕捞强度费用c

单位时间利润在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大.稳定平衡点求E使R(E)最大渔场鱼量收入T=ph(x)=