理论力学刚体运动

理论力学刚体运动第1页，共85页，2023年，2月20日，星期日§6.1刚体运动概述一、刚体模型介绍刚体模型的适用范围：刚性物体的低速运动。作用在A端的力传递到Z端，是靠弹力（波）传递完成的。当形变很小，讨论的运动过程的速度远小于波传播速度时，可以忽略形变，且不考虑弹性波的传播过程，把物体看成刚体。作用力的传递过程：刚体模型等价于弹性波传播速度无穷大。定义：刚体是整体及其部分的形状和大小保持不变的物体。(刚体可以看成任意两质点距离保持不变的质点系。)第2页，共85页，2023年，2月20日，星期日二、自由度确定一个力学体系在空间的几何位置、位形所需独立变量的个数称为该体系的自由度。

定义：一个质点在空间有3个自由度。N个质点组成的质点系有3N个自由度。一个约束条件就少一个自由度。m1m2Ozxy例轻杆连接的2质点体系自由度5第3页，共85页，2023年，2月20日，星期日Ozxym1m2m3例轻杆两两连接的3质点体系自由度6第4页，共85页，2023年，2月20日，星期日Ozxym1m2m3m4例轻杆两两连接的4质点体系自由度6第5页，共85页，2023年，2月20日，星期日平动：自由度3定轴转动：自由度1平面平行运动＝质点平面运动＋刚体定轴转动：自由度3

定点转动：自由度3一般运动＝平动＋定点转动：自由度62、刚体的运动形式及自由度

三、刚体的运动形式及自由度

1、自由刚体的自由度是6，非自由刚体的自由度数<6。（刚体是任意两质点距离保持不变的质点系。）第6页，共85页，2023年，2月20日，星期日四、刚体质心刚体是质量连续分布的质点系。直角坐标系中简易判断密度均匀的刚体的质心位置：1）如果具有对称中心，质心就在对称中心。2）如果没有对称中心，但刚体分区对称，个部分的质心就在其对称中心，这些质心形成分立的质点组，刚体的质心就是这个质点组的质心。第7页，共85页，2023年，2月20日，星期日薄板、细线质心的简易求法：Pappus定理I：假如在一个平面上取任一闭合区域，并使它在空间运动形成一个立体，在运动时，令各点的运动方向始终垂直于该区域的平面，这样形成的立体的体积就等于它的横截面积乘以质心在运动过程中所经过的距离。Pappus定理II：假如在一个平面上取一段曲线，并使它在空间运动形成一个曲面，在运动时，令各点的运动方向始终垂直于该曲线平面，这样形成的曲面就等于曲线长度乘以质心在运动过程中所经过的距离。第8页，共85页，2023年，2月20日，星期日五、刚体的运动特征质心运动方程：1）刚体的质心固结在刚体上，随刚体一起运动，

刚体的平动运动可以用质心的运动表征。3）刚体的内力做功为零。4）刚体的动能定理：角动量定理：2)刚体的转动满足质点系角动量定理内力做功决定于相对位移，刚体各质点的相对位移为零。第9页，共85页，2023年，2月20日，星期日§6.2作用在刚体上的力系一、力系1、定义：同时作用在一个刚体的一组力称为力系。2、分类：共点力系（汇交力系）：所有力的作用线交于一点的力系。平行力系：所有力互相平行或反平行。①共面力系：所有的力位于同一平面内。②异面力系：力的作用线不在一个平面内。第10页，共85页，2023年，2月20日，星期日2、力系的等效条件：二、力系等效如果在两个力系作用下，刚体的运动相同，则这两个力系互为等效力系。1、等效力系的定义3、零力系：①所有的零力系都等效②任何力系加上零力系后与原力系等效③最简单的零力系是一对平衡力组成的力系力系力的矢量和为零，对固定参考点的力矩和为零的力系。说明：第11页，共85页，2023年，2月20日，星期日4、力偶：力偶的力矩和与参考点无关，只和作用点的相对位置有关。力偶矩相等的力偶等效。等值反向不共线的一对力。力偶矩第12页，共85页，2023年，2月20日，星期日三、力的平移定理：1、作用在刚体上的力的特性：作用在刚体上的力是滑移矢量，可以沿着力的作用线移动（滑移），但不能任意平移。①力的效果决定于力的三要素：大小、方向、作用点②作用在刚体上的力沿着力的作用线滑移时，

对刚体的作用效果不变。力不是自由矢量自由矢量：矢量和起始参考点无关，如位移、速度、加速度；反之称为非自由矢量，如位矢、力。第13页，共85页，2023年，2月20日，星期日作用在刚体上某点的一个力等效于作用于刚体上另一点的一个与它相等的力及一个附加力偶。附加力偶的力偶矩等于原力对新作用点的力矩。2、力的平移定理：OPF1F2F3F1=F2=F3F1与力系（F1、F2、F3）等效，F1、F3构成力偶。F2、F3构成零力系第14页，共85页，2023年，2月20日，星期日四、力系的简化（等效力系）①共点力系（汇交力系）:②平行力系：共点力系等效于一个作用于交点的单力，单力就是力系中所有力的矢量和。等效于一个单力或一个力偶。f-fF1′F2′F2F1ABDCF＝F1+F2f-fF1′F2′F2F1ABDF＝F2-F1CF1、共面力系：可分为共点力系和平行力系力的滑移特性第15页，共85页，2023年，2月20日，星期日2、异面力系：等效于一个单力与一个力偶AF1BF2Oyxz-F3F3F第16页，共85页，2023年，2月20日，星期日§6.3刚体的平衡平动：运动过程中刚体任一直线的方向保持不变。刚体运动平动：转动：定轴转动、一般转动直线平动、曲线平动转动：刚体上一直线相对参考系的角度发生变化。刚体的一般运动(n=6)可视为随刚体上某一基点A的平动和绕该点的定点转动的合成.OOO第17页，共85页，2023年，2月20日，星期日刚体运动分解为基点的平动和绕该点的定点转动的合成,选择不同的基点，平动速度就不同,而转动角速度就与基点的选择无关。即刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同,这即是刚体角速度的绝对性。证明：如图,选c为基点，则p点的速度刚体角速度(矢量)的绝对性若选为基点，则p点绕点有一角速度，则第18页，共85页，2023年，2月20日，星期日由此得到故刚体上的角速度矢量的大小和方向都相同，与基点无关。第19页，共85页，2023年，2月20日，星期日二、刚体的平衡方程2、平衡条件：1、刚体的运动方程质心运动方程：角动量定理：(对任一定点成立)一、刚体的平衡状态处于平衡（通常指静止）状态的刚体的动量和角动量均不随时间改变（通常等于零）的状态。第20页，共85页，2023年，2月20日，星期日例质量为m，长为a的匀质杆AB由系于两端长是a

的线悬于O点，在B

端挂质量为m的重物。求平衡时杆与水平方向的夹角θ及每根线中的张力TA和TB。maOθaaAB解：考虑杆的刚体平衡，B为参考点yxO第21页，共85页，2023年，2月20日，星期日定理：刚体受三力作用而平衡，若其中两力作用线汇交于一点，则另一力的作用线必汇交于同一点，且三力的作用线共面。OO[证]2、根据力的平行四边形法则，将合成合力∴三力必汇交且共面。1、根据力的滑移特性，将沿作用线移至汇交点O

3、根据二力平衡条件，

这两力必共线，故也过O点。第22页，共85页，2023年，2月20日，星期日例：半径为R的半球形碗内搁一均匀的筷子AB。筷子长2l,设,且为光滑接触。求筷子平衡时的倾角a。第23页，共85页，2023年，2月20日，星期日§6.4刚体的定轴转动刚体作定轴转动时，其上的任意一点都绕转轴做圆周运动,用一个变量θ=θ(t)即可描述其运动。x=rcosθ，y=rsinθYXθ设轨迹圆半径r：第24页，共85页，2023年，2月20日，星期日

2.角速度3.角加速度定义：角位置θ,(与零点选取有关）1.角位移一、刚体定轴转动的角量描述4.刚体定轴匀变速转动方程角位移不是矢量第25页，共85页，2023年，2月20日，星期日二、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度3、切向加速度和法向加速度2、速度和角速度的关系1、角量与线量的对应关系r的起始点在转轴上！第26页，共85页，2023年，2月20日，星期日三、刚体的转动惯量1、刚体对定轴的角动量2、刚体的转动动能质点动量：质点的动能：第27页，共85页，2023年，2月20日，星期日3、刚体的转动惯量定义：刚体对固定轴的转动惯量等于各质元质量与其至转轴的垂直距离的平方的乘积之和。质量分立的体系：质量连续分布的刚体：线分布：面分布：体分布：第28页，共85页，2023年，2月20日，星期日4)回转半径k：1)转动惯量和质量类似，是刚体转动惯性大小的量度，单位：kg·m2。2)刚体的转动惯量不仅和刚体的总质量有关，还和质量相对轴的质量分布有关。3)质量均匀分布形状规则的刚体，可以用定义公式计算，形状复杂的刚体通常通过实验测量。说明：第29页，共85页，2023年，2月20日，星期日几种典型形状刚体的转动惯量计算1)均匀细棒a)转轴过中心与杆垂直dxxodmzb)转轴过棒一端与棒垂直dxxodmz第30页，共85页，2023年，2月20日，星期日2)均匀细园环转轴过圆心与环面垂直Rozdmm问题：如何计算园环转轴通过园环直径的转动惯量？第31页，共85页，2023年，2月20日，星期日3)均匀圆盘绕中心轴的转动惯量质量为m,半径为R,厚为l,转轴过圆心与环面垂直Rrolmz圆柱的转动惯量？第32页，共85页，2023年，2月20日，星期日4)均匀薄球壳绕直径的转动惯量圆环质元质元面积均匀薄球壳转动惯量zR第33页，共85页，2023年，2月20日，星期日典型形状刚体的转动惯量圆筒圆环I=mR2ωRmO´O圆柱ωR2R1细圆棒ωR圆球球壳ωRω第34页，共85页，2023年，2月20日，星期日例求组合刚体的转动惯量。如图所示，一质量为M、半径为R的圆盘，边缘粘一质量为m的质点，试求对中心轴oz的转动惯量。解：圆环dm的转动惯量为r2dm转动惯量三要素：质量、转轴、质量分布第35页，共85页，2023年，2月20日，星期日4、平行轴定理设C是刚体的质心，刚体绕过质心C的转轴的转动惯量IC、将此轴平移距离d后，刚体绕此新轴的转动惯量ID为：CDdP第36页，共85页，2023年，2月20日，星期日1)均匀细棒a)转轴过中心与杆垂直dxxodmzdxxodmz应用平行轴定理b)转轴过棒一端与棒垂直第37页，共85页，2023年，2月20日，星期日5、正交轴定理适用于薄板刚体或者平面分布的质点组，z轴垂直与刚体平面。如果一块薄板绕位于板上两个相互垂直的轴（设为x、y轴）的转动惯量为Ix和Iy，则薄板绕z轴的转动惯量为：xyzOP第38页，共85页，2023年，2月20日，星期日用λ表示细元环的质量密度

λ=m/2πR;dm=λds例求质量为m、半径为R的细元环绕直径转动的转动惯量。已知圆环绕中心轴：Iz=mR2Ix＝Iy＝Iz/2解1：垂直轴定理Iz=Ix+Iy（质量分布在xy平面内）解2：xyzOdm第39页，共85页，2023年，2月20日，星期日OO′d力F分解为F∥和F⊥。过力的作用点作轴的垂面,交轴于O′点。过O′点作F⊥的垂线d。定义：（r垂直于l）力F对轴l的力矩:

1.力对定轴转动刚体转轴的力矩四、定轴转动定律为力F对转轴的力矩。第40页，共85页，2023年，2月20日，星期日2.刚体对定轴的角动量3.刚体定轴转动定律视刚体为质点系，质点系的角动量定理：内=0对转轴的分量I:刚体对转轴的转动惯量第41页，共85页，2023年，2月20日，星期日说明：(2)力矩、角动量、转动惯量必须对同一转轴而言,转动定律具有瞬时性。定轴转动定律：I不变时成立(3)L是角动量转轴上的分量、M是外力对转轴的力矩之和。(1)定轴转动定律和牛顿第二定律形式类似、地位相当。牛顿第二定律：第42页，共85页，2023年，2月20日，星期日五、刚体定轴转动的角动量定理由质点系角动量定理，相对z轴对任一瞬时有：刚体定轴转动的角动量定理即使物体不是刚体，即对定轴的转动惯量I随时间改变，只要任一瞬时它可看作是绕该定轴以角速度ω转动，即有：对上式积分有第43页，共85页，2023年，2月20日，星期日六、刚体角动量守恒定律2.多物体组成的系统角动量具有可叠加性；

3.角动量守恒定律是一条普适定律。说明：1.角动量保持不变是转动惯量与角速度的积不变.

角动量守恒的两种情况:(1)刚体定轴转动时,如果转动惯量不变,则角速度也不变;(2)如转动惯量改变,则角速度也改变.第44页，共85页，2023年，2月20日，星期日例设电风扇的电机力矩恒定为M，风叶所受空气阻力矩为Mf=－Kω，风叶转动惯量为I。求（1）通电后t时刻的角速度ω；(2)稳定转动时的角速度；（3）稳定转动时断开电源，风叶还能继续转多少角度？解：1)为电扇的稳定角速度2)3)第45页，共85页，2023年，2月20日，星期日如图，圆盘绕过o点定轴转动，圆盘的M、R、及ω0已知。子弹m,以v0射入盘边缘，求此后盘转动的角速度。解：对M和m,用动量守恒律其中：V0=Rω0正解：对M和m用角动量守恒律，对转轴有例：错第46页，共85页，2023年，2月20日，星期日例有一长为l，质量为m1的均匀细棒，静止平放在光滑水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一质量为m2、水平运动的小滑块，从棒的侧面沿垂直于棒的方向与棒的另一端A相碰撞，并被棒反向弹回，碰撞时间极短。已知小滑块与细棒碰撞前后的速率分别为v和u，则碰撞后棒绕轴转动的角速度为多大？解：对于整个系统不考虑轴间的摩擦阻力矩，则系统不受外力矩的作用，碰撞前后角动量守恒。第47页，共85页，2023年，2月20日，星期日例

一轻绳跨过一定滑轮,滑轮视为圆盘,绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体,m1<m2.设滑轮的质量为m,半径为r,所受的摩擦阻力矩为Mr.绳与滑轮之间无相对滑动.求:物体的加速度和绳的张力.m1m2aT2T1T1T2G2G1aam1m2解:隔离法列出运动方程滑轮边缘上的切向加速度和物体的加速度相等第48页，共85页，2023年，2月20日，星期日从以上各式解得m1m2aT2T1T1T2G2G1aam1m2第49页，共85页，2023年，2月20日，星期日例光滑斜面与水平面成θ角，在斜面上放一质量为m的物块，在斜面的延长线上方有一半径为R，转动惯量为I的轮轴，轮轴上绕有细绳，一端与m相连。物块由静止下滑距离为L时细绳拉紧，开始计时，求任一时刻轮轴的角速度。由角动量守恒求初始角速度解：细绳拉紧时滑块的速度TTmg第50页，共85页，2023年，2月20日，星期日七、刚体定轴转动的功能原理1.力矩的功刚体在力F作用下绕定轴转动角位移dθ，力F做功：当功率一定时，转动力矩与角速度成反比。力F使刚体由θ0转到θ时，力矩做功为：力矩做功功率：第51页，共85页，2023年，2月20日，星期日2、定轴转动的动能定理3、刚体的重力势能4、刚体定轴转动的功能原理M为除重力外其余外力的合力矩5、机械能守恒定律只有保守力做功，系统机械能守恒。第52页，共85页，2023年，2月20日，星期日例质量m半径为R的均匀圆盘,可在水平桌面上绕中心轴转动,盘面与桌面间摩擦系数为μ,求盘转过一圈时摩擦力矩的功.解：第53页，共85页，2023年，2月20日，星期日例一均匀细棒绕通过其端点并与棒垂直的水平轴转动，棒长为l，质量为m。开始时棒处于水平位置。令棒由静止下摆，求(1)棒在任意位置时的角加速度；(2)

θ角为300，900时的角速度。解：由定轴转动定律（1）棒在重力矩作用下转动第54页，共85页，2023年，2月20日，星期日用动能定理求解还可以用机械能守恒第55页，共85页，2023年，2月20日，星期日例如图所示，滑轮转动惯量为0.01kg·m2，半径为7cm，物体质量为5kg，由一绳与倔强系数k=200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。（1）当绳拉直，弹簧无伸长时，使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体速度达到最大值的位置及最大速率。求：第56页，共85页，2023年，2月20日，星期日第57页，共85页，2023年，2月20日，星期日刚体和质点力学规律的对照第58页，共85页，2023年，2月20日，星期日转动定律：Mz是外力对转轴（z轴）力矩，Iz是刚体对转轴的转动惯量。当Mz＝0时，角动量守恒，即：定轴转动刚体的动能：（转动动能）力矩作功：动能定理：当外力为保守力或非保守外力不做功时，刚体的机械能守恒。第59页，共85页，2023年，2月20日，星期日§6.5刚体的平面平行运动刚体作平面平行运动时,刚体中各点都平行于某一平面而运动,即各点始终和某一平面保持一定的距离。一、运动学特征1.基面、基点与基轴.选定基面上的一点作为参考的基点.基点:基面:选定一轨道平面为参考平面，简称为基面，其他轨道平面均平行于基面.通过基点且垂直基面的直线被称为基轴,一般选基轴通过质心。基轴:刚体的平面运动＝基轴的平动+绕基轴的转动（n=3）第60页，共85页，2023年，2月20日，星期日取A为基点，考察B点的运动ABCA´B´C´2.运动学关系式3.转动中心（瞬心）:基面上存在一个特殊点，其瞬时速度为零,该点被称作瞬心.过该点且垂直于运动平面的转轴称为瞬时转轴。在平面平行运动问题中，利用瞬时转轴概念，可将问题简化为单纯的转动问题。第61页，共85页，2023年，2月20日，星期日(1)如图，若已知质心C的速度和角速度,则可知瞬心在与垂直的方向上距离C点为的地方。(2)在任一瞬时，截面上任一点的速度方向均与该点相对于瞬心的位置垂直。故只要过截面上任意两点引两条与速度方向垂直的直线，两直线的交点即为瞬心的位置。瞬心位矢的方程:确定瞬心的方法:瞬心可以在刚体上，也可以在刚体外与刚体保持刚性连结的空间点上（如图二）。第62页，共85页，2023年，2月20日，星期日二、运动方程利用定轴转动定理，在质心坐标系中，讨论通过质心并垂直于空间固定平面的轴的转动，有平面平行运动有三个自由度，利用上述三个方程完全描述运动.利用质心运动定理，求质心的运动第63页，共85页，2023年，2月20日，星期日定轴转动的转动定律同样适用刚体通过质心并垂直于平面的轴的转动。证：要使定轴转动定律适用于通过加速度为的质心的转轴，应在作用于刚体的力矩中加上惯性力矩即可，惯性力对质心的力矩所以=0即刚体相对过质心的动轴的转动定律和定轴转动定律相同，只要考虑外力矩，不需要考虑惯性力的力矩。第64页，共85页，2023年，2月20日，星期日三、功能原理由质点系动能柯尼希定理由质心运动定理合外力由质心角动量定理总外力矩刚体平面平行运动的功能原理为第65页，共85页，2023年，2月20日，星期日讨论：⑵如果作用在刚体上的力仅为保守力，必然导致机械能守恒，即⑴若不取质心为基点，就不能如此分解.第66页，共85页，2023年，2月20日，星期日四、滚动及摩擦力接触面之间无相对滑动的滚动。

滚动有滑动滚动：无滑动滚动：（纯滚动）接触面之间有相对滑动的滚动。1.纯滚动（无滑摩擦）的运动学判据θ纯滚动运动学判据第67页，共85页，2023年，2月20日，星期日2.纯滚动接触点的速度为零，如纯滚动有摩擦力则为静摩擦力以质心C为基点，任一点E的速度为:最高点D的速度为接触点A的速度为第68页，共85页，2023年，2月20日，星期日以接触点A为基点：任一点P的速度为例如：对于纯滚动，若取接触点A为基点，在某瞬时刚体的平面平行运动，可视为A点的单纯转动。3.纯滚动中的瞬心和瞬轴第69页，共85页，2023年，2月20日，星期日4.纯滚动过程中静摩擦力做功为零如图，静摩擦力做功为根据运动学判据，有R第70页，共85页，2023年，2月20日，星期日5.滚动中的摩擦力若忽略滚动物体和承滚面的形变，在有滑动滚动中，摩擦力为滑动摩擦力；在纯滚中，摩擦力为静摩擦力。静摩擦力的方向不易判断，必须视具体情况而定。确定静摩擦力方向的方法：假定两刚性表面不存在摩擦，判定其中一个刚体相对滑动将滑向何方，作用在此刚体的静摩擦力方向必与其反向.第71页，共85页，2023年，2月20日，星期日①车轮在刚性水平地面上纯滚动.静摩擦力为零②汽车主、被动轮所受静摩擦力的方向主动轮有向前的静摩擦力，作为推动汽车前进的动力(a)；被动轮受向后的摩擦力(b)。③车轮在斜面上的纯滚动车轮向上，静摩擦力必向上；车轮向下，静摩擦力仍向上.（a）（b）实例：第72页，共85页，2023年，2月20日，星期日例

一质量为m,半径为R的均质圆柱,在水平外力F作用下,在粗糙的水平面上作纯滚动,力的作用线与圆柱中心轴线的垂直距离为l.求:质心的加速度和圆柱所受的静摩擦力.圆柱对质心的转动定律：纯滚动条件圆柱对质心的转动惯量为解:设静摩擦力f的方向如图所示,则由质心运动方程FmR第73页，共85页，2023年，2月20日，星期日联立以上四式,得由此可见无摩擦力静摩擦力向后静摩擦力向前FmR第74页，共85页，2023年，2月20日，星期日解:取圆柱体,弯形和圆形滑道以及地球为一个系统,在圆柱体下滑过程中机械能守恒所以例有一半径为r

的匀质圆柱体,从其质心距地面高为h的滑道上由静止滚下,进入半径为R的圆环形滑道,设圆柱体在两段滑道上均做纯滚动。求此圆柱体能在圆环形滑道内完成圆周运动,h至少有多大的值?vCP2rCh而第75页，共85页，2023年，2月20日，星期日可得圆柱体在圆环滑道上完成圆周运动的条件圆柱体在圆形滑道顶点时的质心运动方程为圆柱体能完成完整的圆周运动的条件应当是第76页，共85页，2023年，2月20日，星期日例

何时开始纯滚动？有一缓慢改变倾角的固定斜面，如图所示。一质量为m

，半径为R的匀质圆柱体从高h处由静止沿光滑斜面滑下，紧接着沿粗糙水平面运动。已知水平面与圆柱体间的摩擦系数,求：

1）圆柱体沿水平面运动多长时间后开始作纯滚动。

2）圆柱体达到纯滚动前经历的水平距离。第77页，共85页，2023