电路分析第六章

电路分析第六章第1页，共64页，2023年，2月20日，星期一对图b，应用KVL可得：C_+(c)(6-1)(6-2)将(6-2)式代入(6-1)式可得：对图C，应用KCL可得：(6-3)(6-4)+_C_+(b)第2页，共64页，2023年，2月20日，星期一+_L_+L(6-5)(6-6)第3页，共64页，2023年，2月20日，星期一图6-2时的RC串联电路+_C_+ab+__++_C_+ab零状态响应(a)零输入响应(b)图6-3电容电压的零状态相应(a)、零输入相应(b)C_+ab+_+_第4页，共64页，2023年，2月20日，星期一图6-5

t=0时RC电路与直流电压源接通(6-7)初始条件(6-8)由KVL得图6-6电容电压的起始和最后情况第5页，共64页，2023年，2月20日，星期一由初始条件t=0时uC=0得因此两端取反对数(6-7)改写为(6-9)即两端积分得(6-10)(6-11)(6-12)(6-13)第6页，共64页，2023年，2月20日，星期一图6-8 充电时电容电压波形图0(6-14)(6-16)0图6-9 充电时电流波形图第7页，共64页，2023年，2月20日，星期一图6-10电压源与RL电路相接(6-18)这一响应是由零值开始按指数规律上升趋于稳态值的过程。_+Lt=0类似RC电路的求解步骤可得第8页，共64页，2023年，2月20日，星期一

物理过程是动态元件的储能从无到有的过程，电容电压和电感电流都是从零值开始按指数规律上升达到它的稳态值，时间常数等于RC或L/R。当达到稳态值后电容相当于开路，电感相当于短路。求出uC(t)和iL(t)后应用置换定理就可求出其它各个电压和电流。第9页，共64页，2023年，2月20日，星期一

外施激励增加m倍，则零状态响应也增加m倍。这种外施激励和零状态响应之间的正比例关系称为零状态响应的比例性。多个独立的电源作用于电路，可应用叠加定理求出零状态响应。第10页，共64页，2023年，2月20日，星期一例6-3图6-12(a)所示电路在t=0时开关S闭合，求iL(t)、i(t)，t≥0。解先求iL(t)

，为此可用戴维南定理将原电路简化图6-12(b)所示电路，其中：图6-12例6-3故得(a)ab18VSt=010H(b)ab10H求时，图6-12(b)中电感相当于短路。第11页，共64页，2023年，2月20日，星期一电感电流由0开始按指数规律上升到3A，故得解得利用图6-12(a)，设想开关S闭合，电感用电流源iL(t)置换，运用网孔法求解i(t)。网孔电流按支路电流iL(t)和i(t)设定，可得网孔方程：(a)ab18V第12页，共64页，2023年，2月20日，星期一例6-4电路如图6-13(a)所示，两电压源均在t=0时开始作用于电路，已知电容初始电压u(0)为零，试求电压源电流、i(t)，t≥0。图6-13例6-4(b)(a)(c)解：据图(c)由KCL可得即第13页，共64页，2023年，2月20日，星期一两端均乘以e4t得即有两边积分得两端均乘以e－4t得由分部积分法可得第14页，共64页，2023年，2月20日，星期一k为积分常数，由初始条件u(0)=0，得在图6-13(a)中将电容用电压为u(t)的电压源置换，可得第15页，共64页，2023年，2月20日，星期一定义：(6-20)01称01(6-21)为延时单位阶跃函数，记为ε(t－t0)，见图6-16(b)。为单位阶跃函数，记为ε(t)，见图6-16(a)。1010图6-16

(a)单位阶跃函数(b)延时单位阶跃函数第16页，共64页，2023年，2月20日，星期一+_动态网络+_动态网络图6-17用单位阶跃函数表示直流电压在t=0时作用于网络第17页，共64页，2023年，2月20日，星期一0A01第18页，共64页，2023年，2月20日，星期一0图6-18分段常量信号举例0+1-1第19页，共64页，2023年，2月20日，星期一单位阶跃响应定义：

零状态电路对单位阶跃信号ε(t)的响应称为(单位)阶跃响应，用s(t)表示。零状态比例性非时变

根据叠加定理，各阶跃信号分量单独作用于电路的零状态响应之和即为该分段常量信号作用下电路的零状态响应。第20页，共64页，2023年，2月20日，星期一例6-5求图6-20所示零状态RL电路在图中所示脉冲电压作用下电流i(t)。已知L=1H，R=1Ω。图6-20例6-5解脉冲电压u(t)可分解为两个阶跃信号之和，但幅度为A，即Aε(t)作用下的零状态响应解答式中的因子ε(t)表明该式实际上仅适合于t≥0，式中τ=L/R=1s。_+L0A第21页，共64页，2023年，2月20日，星期一根据叠加原理可得和i(t)的波形如图6-21中所示。图6-21

例6-5电流波形图－Aε(t－t0)作用下的零状态响应0第22页，共64页，2023年，2月20日，星期一图6-2时的RC串联电路+_C_+ab+__++_C_+ab零状态响应(a)零输入响应(b)图6-3电容电压的零状态相应(a)、零输入相应(b)C_+ab+_+_第23页，共64页，2023年，2月20日，星期一将(6-31)代入(6-30)得电容放电电流iC(t)为(6-32)图6-3零输入响应(b)C_+ab+_+_(6-30)不妨假设t0=0，uC(t0)=

uC(0)，

u1(t)是零状态电容的电压，它可以看做是独立电压源uC(0)作用下的零状态响应，由§6-2的(6-14)得(6-31)(6-33)时间常数τ=RC第24页，共64页，2023年，2月20日，星期一RC电路电容放电uC随时间变化的曲线0it图6-27RC电路电容放电iC随时间变化的曲线0第25页，共64页，2023年，2月20日，星期一图6-28

(a)RL电路，iL(0)=I0(b)及t≥0时等效电路由图6-28(b)可得(6-34)L(a)RLR(b)i1(t)是零状态电感的电流，它可以看做是独立电流源iL(0)作用下的零状态响应，由§6-2所述得(6-35)再由6-34可得iL(t)的零状态响应为(6-36)第26页，共64页，2023年，2月20日，星期一图6-29RL电路iL和uL随时间变化的曲线00其中τ=L/R为该电路的时间常数。电感电压uL则为(6-36)(6-37)第27页，共64页，2023年，2月20日，星期一

零输入响应是在输入为零时，由非零初始状态产生的，它取决于电路的初始状态和电路的特性。初始状态是电容电压和电感电流的初始值，电路特性对一阶电路来讲是通过时间常数τ来体现的。(6-32)(6-36)LRCR(6-33)(6-37)第28页，共64页，2023年，2月20日，星期一例6-10电路如图6-30所示，已知R1=9Ω、R2=4Ω、R3=8Ω、R4=3Ω、R5=1

Ω。t=0时开关打开，求uab(t)，t≥0。图6-30例6-10图7-11用电压源置换后所得的电阻电路，t≥0c+_abd解故得c+_abd第29页，共64页，2023年，2月20日，星期一图6-2时的RC串联电路+_C_+ab+__++_C_+ab零状态响应(a)零输入响应(b)图6-3电容电压的零状态相应(a)、零输入相应(b)C_+ab+_+_第30页，共64页，2023年，2月20日，星期一三点内容：（1）全响应=零输入响应+零状态响应；（2）零输入响应线性;不论是状态变量还是非状态变量，变换模式都是如此，响应对初始状态的比例性。（3）零状态响应线性：上式只适用于状态变量，y(∞)为直流稳态值。响应对单一输入的比例性和对众多输入的的叠加性。第31页，共64页，2023年，2月20日，星期一例6-13电路如图6-39所示，开关闭合前电路已处于稳态，t=0时开关闭合，求uC(t)、t≥0。若12V电源改为24V电源，求uC(t)、t≥0。图6-39例6-13+_+_解求t≥0时零状态响应:开关闭合时的电路如图6-40(a)所示，运用戴维南定理可得图6-40(b)所示电路。图6-40求零状态响应用图(b)(a)第32页，共64页，2023年，2月20日，星期一故得其中：图6-40求零状态响应用图(b)(a)第33页，共64页，2023年，2月20日，星期一求t≥0时的零输入响应由于t=0-时电路处于直流稳态，电容相当于开路，得电路如图6-41所示。可知+_+__+图6-41

t=0_时电路图又故得图6-42

求零输入响应用图_+根据叠加原理，全响应第34页，共64页，2023年，2月20日，星期一若12V电压源改为24V电压源，只影响零输入响应，此时零状态响应不变，故得00.150.3图6-34图6-39所示电路的全响应uC及其两个分量第35页，共64页，2023年，2月20日，星期一例如图所示，已知电压源us=2e-tV、电流源is=1A，两电源均在t=0时开始作用于电路，又电容电压初始值u(0)=1V，试求u(t)，t≥0。若us改为e-tV，求u(t)，t≥0。例图+_+_+_解由动态电路叠加原理，求零输入响应u'(t)：R0=1/2Ω,τ=(1/2)×1=0.5s，故知u'(t)的零输入响应为零状态响应：先求电流源单独作用的响应,稳态值为1/2V，故知再求电压源单独作用的响应，此时需要求解微分方程。电流源置零，求得对电容而言的戴维南等效电路后，可得微分方程第36页，共64页，2023年，2月20日，星期一齐次方程通解为由得根据初始条件u2"(0)=0，可得K=－2。因此+_戴维南等效电路设特解为Qe-t，代入原方程，用待定系数法可得特解为故得第37页，共64页，2023年，2月20日，星期一零状态响应为全响应为若us改为e-tV，则由零状态比例性可知因而第38页，共64页，2023年，2月20日，星期一用戴维南电路简化的一阶电路含源电阻网络_++_C_++_第39页，共64页，2023年，2月20日，星期一0000(a)零初始值时(a)零稳态值时(b)非零初始值时(b)非零稳态值时图6-45y(t)增长的情况图6-46y(t)衰减的情况第40页，共64页，2023年，2月20日，星期一

已知uC(0)或iL(0)：1.用电压为uC(0)的电压源置换电容或用电流为iL(0)的电流源置换电感，得t=0时的等效电路，求得任一电压、电流的初始值y(0+)。2.用开路代替电容或用短路代表电感，得t=∞时的等效电路，求的任一电压、电流的稳态值y(∞)

。3.求N1的戴维南电路的等效电阻R0，计算时间常数τ=R0C或τ=L/R0.4.若0<τ<∞

，直接写出解答(6-38)(6-39)第41页，共64页，2023年，2月20日，星期一例6-15图6-12(a)所示电路在t=0时开关S闭合，求i(t)、t≥0。解t=0-时,iL(0-)=0，由于电感电流不能跃变，iL(0＋)=0。图6-48图6-12(a)所示电路的t=0+的置换电路图6-12(a)(a)ab18VSt=010H(1)求i(0+)；做t=0+的置换电路，此时电感电流为零，相当于开路，如图6-48，既有18V第42页，共64页，2023年，2月20日，星期一由三要素法可得0246810图6-50

i(t)波形图图6-49图6-12(a)所示电路的t=∞的置换电路18V(2)求i(∞)；做t=∞的置换电路，此时电路达到直流稳态，电感相当于短路，置换电路如图6-49，既有(3)求τ；对电感而言戴维南等效电阻为第43页，共64页，2023年，2月20日，星期一例6-16图6-51所示电路，在t=0时开关由a投向b。试绘出i(t)、iL(t)的波形图并写出解析表达式。假定换路前电路处于稳态。图6-52t=0+的置换电路图6-51例6-16做t=0+的置换电路，此时电感用1.2A电流源置换，如图6-52，由此可得ab3V3H3V解(1)求iL(0+)及i(0+)；换路前电路已处于稳态，电感相当于短路，故得3V第44页，共64页，2023年，2月20日，星期一图6-53t=∞的置换电路(1)求iL(∞)及i(∞)；做t=∞的置换电路，此时电感用短路置换，如图6-53，由此可得(3)求τ；对电感而言戴维南等效电阻为由三要素法得图6-54iL(t)、i(t)波形图3V0第45页，共64页，2023年，2月20日，星期一例6-17电路如图6-55所示，r=2Ω。求i(t)、t≥0。解(1)

求i(0+)：作t=0，等效电路如图6-57所示，由KVL得解得

(2)求i(∞)：作t=∞等效电路如图6-57所示，可知图6-55例6-17图6-56

t=0+等效电路图6-57

t=∞等效电路第46页，共64页，2023年，2月20日，星期一

(3)求τ：对电容而言的戴维南等效电阻R0，施加电压源u1如图6-58所示，由KVL可得(4)由于i(∞)>i(0),可知电流i系按指数率上升，波形如图6-59所示。可得20.80.10.20.30.4图6-58外施电压源法求戴维南等效电阻+__+图6-59

i(t)波形图第47页，共64页，2023年，2月20日，星期一表6-2

C和L在的等效电路条件元件零初始状态，非零初始状态，直流稳态，或短路_+开路开路短路第48页，共64页，2023年，2月20日，星期一习题如图所示电路开关在t=0时闭合，设在t=0-时电路处于稳态，在t=100ms时开关又打开，求uab(t)并绘出波形图。ab习题图ab图(1)ab图(2)111.4120150187.50.1so波形图第49页，共64页，2023年，2月20日，星期一

当描述动态电路的变量或为不随时间改变的常量，或为随时间而变的周期量时，我们称此电路进入了稳态。电路不是处于稳态即为处于瞬态。瞬态往往明显的具有从稳态或工作状态进入到另一种稳态或工作状态的特征，又常称为过渡状态。第50页，共64页，2023年，2月20日，星期一初始值y(0+)、稳态值y(∞)、常数τ=R0C或τ=L/R0，由三要素可直接写出解答(6-38)全响应＝稳态响应＋瞬态响应全响应＝零输入响应＋零状态响应零输入响应和瞬态响应都具有Ke-t/τ在零输入响应时K为初始值y(0+)。即在瞬态响应时K为初始值y(0+)和稳态值y(∞)之差。即第51页，共64页，2023年，2月20日，星期一例6-19接续例6-16，试求i(t)、iL(t)的稳态响应和瞬态响应。解由例6-16求出稳态值为初始值为时间常数为瞬态响应为全响应为第52页，共64页，2023年，2月20日，星期一图6-63正弦电压波形(6-41)(6-40)Um为振幅即最大值，ωt是随时间变化的角度，ω是角频率，表示每秒变化的弧度数。

随时间按正弦规律变化的电压和电流称为正弦电压和正弦电流，它们都属于正弦波。o第53页，共64页，2023年，2月20日，星期一时间的起点选在正弦波正的最大值瞬时之后角Ψ处,即当ωt=－Ψ时，才有u=Um,此时正弦电压应表示为(6-42)Ψ称为初相角，简称初相。反映初始值大小、即图6-64初相角正弦电压(电流)的三特征：振幅、频率（或角频率或周期）、初相。(6-43)(6-44)0第54页，共64页，2023年，2月20日，星期一图6-65正弦电压作用于RC电路，t=0时开关闭合_+C_+设输入到RC电路的正弦电压为(6-45)

波形如图(b)所示，Ψ为初相角，取决于开关闭合瞬间us的数值与方向。电路的微分方程为

(6-46)

设电容的初始电压为uC(0)=0，微分方程的解由稳态解uCp和瞬态解uCh组成。稳态解即微分方程特解，由外施电源确定为同频率的正弦函数，即(6-47)(a)(b)第55页，共64页，2023年，2月20日，星期一故得即以及(6-50a)(6-50b)(6-51a)即(6-51b)其中UCm和Ψu为待定常数，将其代入(6-46)