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文档简介

函数与导数解答题之极值点偏移问题1.(2013湖南文21)已知函数(Ⅰ)求的单调区间;(Ⅱ)证明:当时,.2.(2010天津理21)已知函数.(Ⅰ)求函数的单调区间和极值;(Ⅱ)已知函数的图象与函数的图象关于直线对称,证明当时,(Ⅲ)如果且证明【解析】(Ⅰ)解:f’令f’(x)=0,解得x=1当x变化时,f’(x),f(x)的变化情况如下表X()1()f’(x)+0-f(x)极大值所以f(x)在()内是增函数,在()内是减函数。函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=(Ⅱ)证明:由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)令F(x)=f(x)-g(x),即于是当x>1时,2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数F(x)在[1,+∞)是增函数。又F(1)=F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).Ⅲ)证明:(1)若(2)若根据(1)(2)得由(Ⅱ)可知,>,则=,所以>,从而>.因为,所以,又由(Ⅰ)可知函数f(x)在区间(-∞,1)内事增函数,所以>,即>2.3.已知函数.(1)讨论的单调性;(2)若函数的两个零点为,证明:.试题分析:(1)首先求出函数的导函数,然后利用导数研究函数的单调性与最值,进而得出所求的结果;(2)首先由函数的两个零点为并结合(1)可得0<x1<a<x2,然后构造函数g(x)=f(x)-f(2a-x),并利用其导函数求出其函数的单调性,进而得出所证的结果.试题解析:(Ⅰ)f?(x)=eq\f(1,x)-eq\f(a,x2)=eq\f(x-a,x2),(x>0),所以当a≤0时,f?(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增. (Ⅱ)若函数y=f(x)的两个零点为x1,x2(x1<x2),由(Ⅰ)可得0<x1<a<x2.令g(x)=f(x)-f(2a-x),(0<x<a)则g?(x)=f?(x)+f?(2a-x)=(x-a)[eq\f(1,x2)-eq\f(1,(2a-x)2)]<0,所以g(x)在(0,a)上单调递减,g(x)>g(a)=0,即f(x)>f(2a-x).令x=x1<a,则f(x1)>f(2a-x1),所以f(x2)=f(x1)>f(2a-x1),由(Ⅰ)可得f(x)在(a,+∞)上单调递增,所以x2>2a-x1,故x1+x2>2a. 4.(2016福州五校下学期第一次联考)已知函数),其图象与轴交于不同的两点,,且.求实数的取值范围;(2)证明:5.已知函数)在其定义域内有两个不同的极值点.(Ⅰ)求的取值范围;(Ⅱ)设两个极值点分别为,证明:.解:(Ⅰ)依题,函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0,所以方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有两个不同根.即,方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0有两个不同根……………1分令SKIPIF1<0,从而转化为函数SKIPIF1<0有两个不同零点,而SKIPIF1<0(SKIPIF1<0)………………2分若SKIPIF1<0,可见SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0单调增,此时SKIPIF1<0不可能有两个不同零点.………………3分若SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,在SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上单调增,在SKIPIF1<0上单调减,从而SKIPIF1<0SKIPIF1<0………………4分又因为在SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,在在SKIPIF1<0时,SKIPIF1<0,于是只须:SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.………………5分综上所述,SKIPIF1<0………………6分(Ⅱ)由(Ⅰ)可知SKIPIF1<0分别是方程SKIPIF1<0的两个根,即SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,设,作差得,SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0.………………7分原不等式等价于………………8分令,则,………………9分设,,∴函数在上单调递增,………………10分∴,即不等式成立,………………11分

故所证不等式成立.………………12分6.已知函数,.(1)若函数在上单调递增,求实数的取值范围;(2)若直线是函数图象的切线,求的最小值;(3)当时,若与的图象有两个交点,,求证:.【答案】(1);(2);(3)证明见解析.【解析】试题分析:(1)借助函数单调性与导数值是非负数建立不等式求解;(2)将参数用切点的横坐标表示,再借助导数求最小值;(3)先分析转化再构造函数,运用导数的有关知识进行推证.试题解析:(1),.在上单调递增,,恒成立即,恒成立令,,,时,,.(2)设切点为,则,又,,,令,则当时,,所以在上单调递增;当时,,所以在上单调递减.当时,取得最小值,为,即的最小值为.(3)证明:由题意得①+②得:③①-②得:,即④④代入③得:,即,不妨令,记,令,则,在上单调递增,则,,故,.又,即,令,则时,,在上单调递增,又,考点:导数及在研究函数的单调性最值中的应用.7.(2017届武昌区元月调考理科数学)已知函数讨论的单调性;设,证明:当时,;设是的两个零点,证明:.8.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.(1)求的取值范围;(2)记两个极值点分别为,且.已知,若不等式恒成立,求的范围.试题解析:(1)依题,函数的定义域为,所以方程在有两个不同根,即,方程在有两个不同根.转化为,函数与函数的图像在上有两个不同交点.又,即时,时,,所以在上单调增,在上单调减.从而,又有且只有一个零点是1,且在时,,在时,,所以的草图如下,可见,要想函数与函数的图像在上有两个不同交点,只须(2)因为等价于.由(1)可知分别是方程的两个根,即,所以原式等价于,因为,所以原式等价于又由作差得,,即.所以原式等价于,因为,原式恒成立,即恒成立.令,,则不等式在上恒成立.令,又,当时,可见时,,所以在上单调增,又,在恒成立,符合题意.当时,可见时,时,,所以在时单调增,在时单调减,又,所以在上不能恒小于0,不符合题意,舍去.综上所述,若不等式恒成立,只须,又,所以.9.已知函数,是函数的两个零点,且,(1)讨论函数的单调性;(2)求的取值范围;(3)设是函数的导函数,求证试题分析:(1)讨论单调性,先导数,然后解得方程在上的解,通过的正负确定的单调区间;(2)由(1)知是的极大值点,因此只要,就能保证有两个零点,注意到,因此可由求得的取值范围,再求得范围;(3)首先由,用表示出,再求得并整理得,此时会发现只要证,此式证明可用换元法,设,再利用函数的性质证明.试题解析:(1)令,则,当时,,单调递增;当时,,单调递减(2)由于函数存在两个零点,由(1)可知,且由于在为增函数,且,所以的取值范围是方法二:函数有两个零点,即方程有两个实数根,即有两个实数根,设,则,设,且单调递增,时,,,单调递减时,,,单调递增(3)由于是函数的两个零点,且所以,两式相减得:,要证明,只需证,即只需证设,构造函数在单调递增,,考点:导数与函数的单调性,导数的综合应用.10.(2014襄阳市三月考试)已知函数.(1)当时,求函数在的最大值;(2)令,若在区间(0,3)上不是单调函数,求的取值范围;(3)当时,函数的图象与x轴交于两点,,且,又是的导函数.若正常数满足条件,证明:.解:当a=2时,

函数y=f(x)在[,1]是增函数,在[1,2]是减函数 3分

所以=-1 4分(2)解:∵,∴ 5分

∵g(x)因为在区间(0,3)上不是单调函数,∴在(0,3)上有实数解,且无重根

由得:2x2-ax-a=0,有,x∈(0,3) 6分

又当a=-8时,有重根x=-2;a=0时,有重根x=0 7分

综上,a的取值范围是. 8分(3)解:当a=2时,,

∵h(x)=有两个实根x1、x2,

∴,两式相减得:

∴ 9分

于是

10分

要证:,只需证:

只需证:(*)11分

令(0<t<1),(*)化为

令,则

,即12分

∴13分

∵u(t)在(0,1)上单调递增,u(t)<u(1)=0

∴,即

∴14分11.已知函数.(Ⅰ)讨论函数的单调区间;(Ⅱ)当时,设的两个极值点,恰为的零点,求的最小值试题分析:(Ⅰ)求解,分三种情况分类讨论求解函数的单调区间;(Ⅱ)求出和的导数,运用韦达定理和函数的零点的定义,化简整理,构造新函数,运用导数判断函数的的单调性,即可求解最小值.试题解析:(Ⅰ),.当时,由解得,即当时,,单调递增;由解得,即当时,,单调递减.当时,=,即在(0,+∞)上单调递增;当时,,故,即在(0,+∞)上单调递增.∴当时,的单调递增区间为(0,),单调递减区间为(,+∞);当时,的单调递增区间为(0,+∞).(Ⅱ),则,∴的两根,即为方程的两根.∵,∴,,.又∵,为的零点,∴,,两式相减得,得b=,而,∴y==]==,令(),由得,因为,两边同时除以,得,∵,故,解得t≤或t≥2,∴0<t≤.设G(t)=,∴=,则y=G(t)在上是减函数,∴G(t)min=G()=,即的最小值为.考点:函数的导数在函数中的综合应用;函数的零点的应用.12.已知函数.(1)若,恒有成立,求实数的取值范围;(2)若,求在区间上的最小值;(3)若函数有两个极值点,求证:.(1)由x>0,恒有成立,即对任意x>0成立,………1分记H(x)=,H/(x)=,………………2分当H(x)单增;当H(x)单减;H(x)最大值为,所以……………5分(2)函数有两个相异的极值点,即有两个不同的实数根.①当时,单调递增,不可能有两个不同的实根;……………6分②当时,设,当时,,单调递增;当时,,单调递减;∴,∴,……………8分不妨设,∵,∴先证,即证,即证,令,即证,设,…………9分则,函数在单调递减,∴,∴,又,∴,∴……………12分考点:导数的几何意义,导数与函数的单调性、最值,导数的综合应用.13.已知函数(1)记,求证:函数在区间内有且仅有一个零点;(2)用表示中的最小值,设函数,若关于的方程(其中为常数)在区间有两个不相等的实根,记在内的零点为,试证明:14.已知函数,且(Ⅰ)求曲线在点处的切线方程;(2)设有两个零点,且成等差数列,记是的导函数,求证:(2017届武汉二月调考文科21)已知函数恰有两个极值点(Ⅰ)求实数的取值范围;(Ⅱ)求证:16.已知函数.(Ⅰ)讨论函数的极值点的个数;(Ⅱ)若有两个极值点,证明:.解:(Ⅰ)由得,…1分(ⅰ)时,,所以取得极小值,是的一个极小值点.…2分(ⅱ)时,,令,得显

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