线性代数练习册答案

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第一章行列式

二、三阶行列式及n阶行列式的定义部分知识概要

内容概要：

1.二阶行列式的定义：

a11a21a12a22?a11a22?a12a21.

2.三阶行列式的定义：

a11D=a21a31a12a22a32a13a23a33

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31.

a11a12a22...an2a1na2n...ann3.n阶行列式Dn?a21...an1??p1p2...pn(?1)?(p1p2...pn)a1pa2p...anp

12n（1）n阶行列式是n!项的代数和；（2）每一项为哪一项取自不同行不同列的n个元素的乘积；（3）当p1p2pn是偶排列时,a1pa2p...anp（p1p2pn是1,2,?,n的一个排列）

12na1pa2p...anp带正号,当p1p2pn是奇排列时,a1pa2p...anp带负号.

12n12n常用解题方法及本卷须知：

1.求排列的逆序数：（按自然数的从小到大次序为标准次序）

1,2,?,n的一个排列j1j2jn的逆序数记为??j1j2jn??m1?m2???mn?1.

其中mi(i?1,2,?,n?1)是i前面比i大的数的个数.2.确定行列式Dn?aij中的项及符号：

n（1）Dn?aij中的项aijain112j2...ainjn是取自不同行不同列的n个数的乘积，因此，行下

j标i1,i2,?,in和列下标j1,j2,?,jn都没有重复数字；（2）将aijai1122...ainjn中的因子交换顺

?(p1p2...pn)序使行下标是自然顺序，即aijai112j2...ainjn?a1pa2p...anp，该项符号为(?1)12n.

1

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二、三阶行列式及n阶行列式的定义部分习题

1.计算以下二阶行列式（1）

23；（2）

cos??sin?；

12（3）a11?b11a12?b12a；21?b21a22?b22

2.计算以下三阶行列式

103（1）?121；(2)23?1

acb（3）bac；cba

sin?cos?4）

a11a12b11a21a?22b21a11a12a130a22a23；0a32a33b12b.

222

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3.按自然数从小到大为标准次序，求以下各排列的逆序数：（1）3214；（2）614235.（3）12n3?2n?2?5?2n?4???2n?1?2

4.确定i,j，使6元排列2i316j为奇排列.

5.写出4阶行列式中含有a13a21的项.

6.按定义计算以下行列式：

0001a000（1）

00200c00300；（2）

0000d.

40000b00

x1237.求f(x)?0?3x124312x3的展开式中x和x的系数.

x122x

3

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行列式的性质与展开部分知识概要

内容概要：

行列式的性质

1.行列式D与其转置行列式DT相等(即DT?D).

ri?rjci?cj2.交换行列式的两行(或列),行列式改变符号（即D??D或D3.行列式中某行(或列)的公因子可以提到行列式符号外面做因子.

1ri?(k?0)k??D）.

（即D?kD1（或D1ci?(k?0)k?kD1）

4.n阶行列式D可以按第i行(或列)拆成两个行列式D1与D2的和，即D?D1?D2.其中

D的第i行(或列)为D1与D2的第i行(或列)的和；D，D1，D2的其余各行(或列)对应元

素则同的完全一样.

5.把行列式某一行(或列)的元素同乘一数后加到另一行(或列)的对应位置元素上,行列式

ri?krjci?kcj的值不变.（即D?D1或D行列式的展开

?D1）

1.n阶行列式D的某行（或列）元素与对应元素的代数余子式乘积之和为D.2.行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）对应元素的代数余子式乘积之和为0.

即ai1Ak1?ai2Ak2???ainAkn???D(i?k)?0(i?k)

?D(j?t)a1jA1t?a2jA2t???anjAnt???

?0(j?t)常用的解题方法及本卷须知：

行列式的计算：

1.（1）利用性质将行列式化为三角形行列式（三角形行列式的值等于对角线元素之积）.（2）利用依行、依列展开转化为低阶行列式的计算（或给出递推公式、或利用数学归纳法）.（3）化简与展开同时进行（先化简，再按零较多的行（或列）展开）.行列式化简时注意

1.尽量避免分数运算；2.展开时注意代数余子式与余子式相差的的符号(?1)

4

i?j.

学院班级学号姓名行列式的性质与展开部分习题1.计算以下行列式：

202319861987198819641965；(2)19661?a1a1a1a21?a2a2a3a31?a3（1）20232023；

3（3）D=-11-3

202360110；10-214）D=-1-1120236112-1.

1005

（

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?????00（5）D?1?????0.

01?????001???

2.证明：

１abc?d（1）D?1bca?d1cda?b?0；

１dab?c

ax?byay?bzaz?bxx（2）ay?bzaz?bxax?by?(a3?b3)yaz?bxax?byay?bzz

yzzx.xy6

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3.计算n阶行列式

abbabbbabb1?a1122?a2??nn(a1a2?an?0).

（1）Dn=b（2）Dn?b；????bbb...a12?n?an

4.利用范德猛行列式计算：

1111D?123414916.

182764

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克拉默法则部分知识概要内容概要：

1.设n个变量，n个方程的线性方程组为

?a11k1?a12k2???a1nkn?b1,??a21x1?a22x2???a2nxn?b2,?

???????????????ax?ax???ax?b.n22nnnn?n11假使该线性方程组的系数行列式D=aijD1DD2DDnDn0，则方程组有唯一解：

x1?,x2?,?,xn?.

其中Dj(j?1,2,?,n)是D中第j列换成常数项b1,b2,?,bn其余各列不变得到的行列式，

a11a1j?1a2j?1...anj?1b1b2...bna1j?1a2j?1...anj?1a1na2n...ann即：Dj=

a21...an1,j?1,2,,n.．

?a11x1?a12x2???a1nxn?0,??a21x1?a22x2???a2nxn?0,2.设齐次线性方程组为?

?????????????ax?ax???ax?0.n22nnn?n11（1）假使系数行列式D?0，则该齐次线性方程组只有零解；（2）假使该齐次线性方程组有非零解，那么它的系数行列式D?0．

常用解题方法及本卷须知：

1.用克拉默法则解线性方程组；

2.利用系数行列式是否为零来判断齐次线性方程组只有零解或有非零解.注意：

克拉默法则只适合方程个数与未知量个数一致，且系数行列式不为零的线性方程组的求解.

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克拉默法则部分习题

1.用克拉默法则解线性方程组

ì??bx1-ax2=-2ab（1）??í?-2cx2+3bx3=bc(abc0)；

????cx1+ax3=0

?x1?3x2?2x3?x4?1?（2）?2x1?5x2?3x3?2x4?3??3x.

?1?4x2?8x3?2x4?4??6x1?x2?6x3?4x4?2

2.当?为何值时，齐次线性方程组

??x1?3x2?4x3?0???x1??x2?0

???x2?x3?0(1)仅有零解；(2)有非零解．

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第一章自测题与答案第一章自测题

一.判断题（每题3分，共15分）

000a3200a2300a14000??a14a23a32a41.()

1.

00a412.在四阶行列式D4?aij中，a23的余子式M23与代数余子式A23互为相反数.()

a11a12a22a32a12a22a324a13a33a13a33130?26611b11b31b12b22b32b13b33a11?b11a31?b31a12?b12a22?b22a32?b32a13?b13a23?b23?0.（）a33?b333.a21a31a11a23?1,b21b23??1,则a21?b21a13a1142122r2?r1a23a22a214a33a32?1.（）a31170?26181148124.a21a31a23?1,则a125.D??26?2?12?06?2.（）

二.填空题（每题4分，共16分）

a11a12a22a32a12a22a32a13a33a13a23?2，则a21a33a21a312a224a122a32a232a13?.a331.已知a21a31a11a23??1，则2a112.已知a21a31a12a22a11a314xa13a23a12a323xx20-a22a11a21a13a23+a23a11a21a12a22=.

a21a12a32a13a33-a22a11a31a13a33+a23=.212x11?11x3.由行列式确定的多项式f（x）?131中x，x的系数分别为.4310

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1234.231=.312三.计算以下行列式（各10分，共40分）

2164（a?1）2a2（a?1）21D??1062（b?1）2b2（b?1）21.11011；2.；

（c?1）2c2（c?1）21?2?212（d?1）2d2（d?1）21

ab??a1??a2?an3.Daba2???an2n?ba；4.Da1n?????.

??a1a2?an??ba

四．（10分）设D?aijn为n阶行列式，B??aijn,G?kaijn（k为非零数）,

1.探讨B,D的关系；2.探讨G,D的关系.

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11?10五.（10分）D?211?2,求1321A21?A22?A23?A24.

?1211

?a1x1?x2?x3?0,六.（7分）设齐次线性方程组为??x1?bx2?x3?0,

??x1?2bx2?x3?0.用克拉默法则解探讨a,b应取何值时，方程组(1)仅有零解；(2)有非零解．

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第一章自测题答案

一．1.错；2.对；3.错；4.错；5.对.二．1.4；2.0,?2；3.8,?6；4.?18.三.1.23；2.0；

3.D2n?a2?b2D2?n?1??a2?b2????n；

4.各列加到第一列上，然后提取公因式

1Dn?(??a1?a2???an)1?1a2a2???a2n????anan?an??c2?a2c1?cn?anc1??n?1(??a1?a2???an).

四．1.B??aijn=(?1)aijnn=(?1)D；2.G?kaij11132?11210111??7.

n?knaijn?kD.

n五.A21?A22?A23?A24?11?1a1b2b11??b(a?1).1六.系数行列式D?11（1）a?1,b?0；（2）a?1或b?0.

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其次章矩阵及其运算

矩阵的运算部分知识概要

内容概要：

1.矩阵的线性运算（1）加法：两同型矩阵A=(aij)m′n与B=(bij)m′n的和矩阵为A+B=(aij+bij)m′n.

（2）数乘法：数k与矩阵A=2.矩阵乘法运算

(aij)m′n的数量乘积矩阵kA=(kaij)m′n.

（1）m′s矩阵C=(cij)m′s称为矩阵A=(aik)m′n与B=(bkj)n′s的乘积.其中cij?ai1b1j?ai2b2j???ainbnj（i=1,2,L,m;j=1,2,L,s）.

k个6447448k(2）A=AALA为n阶方阵A的k次幂，特别规定A0=E.

mm-1+L+a1A+a0E（ai为数）为方阵A的多项式.(3）f(A)=amA+am-1A3.矩阵的转置以A=(aij)m′n的行为列，列为行构成的n′Tm矩阵A=(aji)n′m为A的转置矩阵.

TTA是n阶方阵，假使A=A，称A为对称矩阵；假使A=-A，称A为反对称矩阵.

4.方阵的行列式

以n阶方阵A的元素构成的行列式aij称为方阵A的行列式.记为A或detA.

n常用解题方法及本卷须知：

利用运算定义和运算律进行运算.

注意（ⅰ）第一个矩阵的列数与其次个矩阵的行数相等时两矩阵乘积才有意义.

（ⅱ）由于乘法没有交换律，在进行两个矩阵乘积时，矩阵因子的顺序不能变.（ⅲ）矩阵的乘法不满足消去律.即AB=AC且A1O，不一定有B=C；

BA=CA且A1O，不一定有B=C.特别地，AB?O,且A?O，不一定有B?O.

（ⅳ）我们在做多个矩阵乘积时经常使用乘法结合律A(BC)=(AB)C.（ⅴ）A,B分别是m创n,ns矩阵，则(AB)=BA.

TTT（ⅵ）只有方阵才定义行列式；矩阵是数表，行列式是数值，这是它们之间的本章区别.

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矩阵的运算部分习题

骣01.已知A=珑珑-320鼢?,B鼢骣30102B-X）,求X.，且X+A=（珑桫4-2-11鼢桫-12122.计算

（1）a=(1,2,1)T,求aTa，aaT,aaTa及(aaT)101.

?a11a12b1??x?（2）?xy1???a12a22b???2???y.?b1b2c?????1??

??10?（3）A???0?1???，求An.?00???

（4）?cos??sin??n??sin?cos???

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骣??311÷1-1÷3.A=?2÷骣÷?1??21÷?÷???÷,B=??2-10÷÷÷÷,求AB,BA及桫123÷÷??桫101÷AB-BA.÷÷骣?÷00÷4.A=?1?2÷骣2?÷?÷?÷?÷??÷,f(x)=x3-2x+5，求f(A)及f(?÷，B=11÷÷桫3÷?÷?0??桫001÷B)÷÷

5.已知三个线性替换为

ì??yìz?1=x1-x2+x3???1=y1-y2í?y2=x1+x2+x3，??ìízw1=z1-z2+z32=2y1-y2+y3，??í????y3=x2+3x??3?z=y+y-y???w2=z??1-2z2-z33123求从x1,x2,x3到w1,w2的线性替换.

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6.假使AB=BA,则称矩阵B与A可交换,求与A可交换的矩阵具有的形式.?a0?0??1A??0a2?0?????????其中当i?j时ai?aj(i,j?1,2,?,n).

?00...a?n?

7.假使A?12?B?E?,证明:A2?A当且仅当B2?E.

8.设A,B都是n阶对称矩阵，证明：AB仍是对称矩阵当且仅当AB=BA.

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9.设n维列向量a满足aTa=12，B=E+2aaT,C=E-aaT,

证明：1）B是对称矩阵；2）BC?E.

10.已知A是3阶方阵,且A??2,计算(1)2A；(2)AA；(3)

?AE

O2A.

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可逆矩阵部分知识概要

内容概要：

1.设A是n阶方阵,假使存在n阶方阵B，使得AB?BA?E，称A为可逆矩阵，称B为A的一个逆矩阵.

2.可逆矩阵的逆矩阵唯一.3.设A??aij?n?n,称由以A的第i(i?1,2?,*n,行元素在A中的代数余子式

Aij(j?1,2,?,n)为第i列元素构成的矩阵A?Aji*??n?n为A的伴随矩阵.

4.设A是n阶方阵，A*是A的伴随矩阵，则AA?AA?AE.5.n阶方阵A是可逆的充分必要条件为A?0.而且A6.可逆矩阵具有如下运算性质：

（ⅰ）A是n阶可逆矩阵，A的逆矩阵A?1也可逆，且?A?1??1*?1?1AA.

*?A；

（ⅱ）A是n阶可逆矩阵，k是非零数，则kA可逆，且?kA??1?k?1A?1；

（ⅲ）A,B都是n阶可逆矩阵,那么AB也可逆,且(AB)?1?B?1A?1；（ⅳ）A是n阶可逆矩阵,AT也可逆，且?AT??1??A?1?T；

（ⅴ）A是m阶可逆矩阵，B,C都是m?n矩阵，且AB?AC,则B?C，

A是n阶可逆矩阵，B,C都是m?n矩阵，且BA?CA,则B?C.

常用解题方法及本卷须知：（设A是n阶方阵）

1.利用求可逆矩阵的逆矩阵：A?1?1AA（适用于具体给定的数字矩阵求逆）

*2.利用定义证明矩阵可逆，或求满足给定方程的矩阵A的逆矩阵：

找到n阶方阵B，使得AB?BA?E，则A可逆，且A?1?B.

*注意A的第i(i?1,2,?,n)列元素是A的第i(i?1,2,?,n)行元素在A的代数余子式；

*A的第i(i?1,2,?,n)行元素是A的第i(i?1,2,?,n)列元素在A的代数余子式.

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可逆矩阵部分习题

1.求以下矩阵的逆矩阵：（1）A??1?2???sin?????13?；（2）A?cos????sin?cos??；?

?1???1??(3)A??2???2????；(4)????(?1?2??n?0).

?3??????n?

?111??123?2.设A???100??34???,B?2?,求矩阵X使得AX?B.?1?11?????143??

?1?3.设A,B满足ABA?2BA?E,其中A????2???,求B.?1??

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4.设A是n阶方阵,且满足A2?5A?E?O,利用定义证明:A?3E可逆，并求

?A?3E??1.

5.设A是n阶方阵,且Ak?O（k为正整数），利用定义证明：E?A可逆，且

?E?A??1?E?A?A2???Ak?1

6.设A是3阶方阵，且A??2,求(1)A?1；（2）A*；（3）A?1?2A*.

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分块矩阵及其运算部分知识概要

内容概要：

用若干条横线和纵线将矩阵分成若干小矩阵，以小矩阵为元素的矩阵表示形式称为分块矩阵.我们将这些小块称为矩阵的子块.1加法对两个m′n矩阵A=加得到的分块矩阵；2数乘法设A=(aij)m′n,B=(bij)m′n进行同样分块，则A+B为对应块相

(aij)m′n是一个m′n矩阵，k是一个数，将kA为由k数乘每个子块矩阵

得到的分块矩阵；

3乘法设A=(aik)m′n,B=(bkj)n′t，将A,B分块为骣A11???A21??A=??...???As1?桫A12A22...As2骣A1p÷B11?÷??÷A2p÷B21?÷?÷÷，B=??...÷...÷?÷?÷?Asp÷Bp1?桫B12B22...Bp2骣B1q÷C1?÷??÷B2q÷C2?1÷?÷，则AB=?÷?...÷...÷?÷?÷?Bpq÷Cs1?桫C12C2...Cs2Cq÷÷÷...2Cq÷÷÷÷.

÷÷÷÷...Csq÷1...其中Aik为mi′nk矩阵，Bkj为nk′tj矩阵，Cij=Ai1B1j+Ai2B2j+L+AipBpj.4转置设A=骣A11???A21??A=??...????As1桫(aij)m′n是一个m′A12A22...As2n矩阵，将A分块为

A21A22...A2tTTTT骣A1t÷A11?÷?T?÷A2t÷A?T12÷÷，则A=??÷?...÷...?÷÷?÷?T?Ast÷A1t桫As1÷÷T÷As2÷÷÷÷....÷÷÷T÷Ast÷T常用解题方法及本卷须知：

1.利用分块矩阵表示矩阵或进行矩阵运算只是为了表达简便.分块矩阵的运算与普通数字元素的运算法则和运算律是类似的；

2.第一个矩阵列的分块方式与其次个矩阵行的分块方式必需一致，即Aik列数必需等于Bkj的行数，这时两分块矩阵的乘积才有意义；

3.由于矩阵乘法没有交换律，作分块矩阵乘法时，一定要注意子块的前后顺序不能换.即上面的AikBkj绝对不能写成BkjAik.

4.分块矩阵的转置不仅要将子块为元素构成的矩阵看成普通矩阵进行转置，还要将每块转置.

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分块矩阵及其运算部分习题

?1?01.将A???0??1010100100??1??0?1?,B???10???1???1020?100420??0?进行适当分块，并计算A+B,AB,AT.1??0?2.A???A1?O为?n?m??n其中A1为m?n(m?n)矩阵，?,B??B1,B2?,都是n阶方阵，

O??零矩阵，B1为n?m(m?n)矩阵，B2为n??n?m?矩阵，求AT,AB及BA.

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3.设n阶矩阵A和s阶矩阵B都可逆，求

?A（1）?O???1?O；（2）?A???1.

?OB??BO?

4.利用分块矩阵求以下矩阵的逆矩阵?1000??（1）A??2100????002，求A?13?；?0012??

?0?2）A??0??1?1025?013??100?，求A?1.?100??24

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其次章自测题与答案

其次章自测题

一判断题（每题3分，共15分）

1.A是n阶方阵，假使A2=A,且A1E,则A=O；（）2.A是n阶方阵,则(A+B)(A-B)=A2-B2；（）3.A,B是n阶方阵,且A可逆，AX?X?6B，则X=-6B(A-E)-1；（）4.A,B都是n阶方阵，则A?B?A?B；（）5.A,B,C都是n阶方阵，满足AB?AC,且A可逆，则B?C.（）二.填空题（每题4分，共20分）

??1???20231.?=（1，1，2）,???2?,则???,??=,(ba)=；

??1???2.已知A????1?则X=.骣1??3.A=?????桫?1?24.设A???0??0?2336??3??B?，??15??2?34??3X?A）??（2B?X）,，且（?5?-202300÷÷÷÷，f(x)=2x2-x+1，则f(A)=；÷÷÷÷0??0?,则A?1?；1??3?2AOO?3B?；2A*00255.A是3阶方阵,B是2阶方阵,且A??2,B?1，则三.矩阵计算（10分）：?1?设A??0?1?0111??1??1，B?0????0?1???112?.

0??TT2,求（1）AB，BA；（2）（3）.AB?3??

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?A四.(10分)已知A，B都是3阶方阵,且A??9，AB?3E?O,求B及??OO??2B??1.

五.假使AB=BA,则称矩阵B与A可交换,求与矩阵A可交换的矩阵具有的形式.（10分）?1?0?A??0??0020000110??0?；0??1?

六.求矩阵A的伴随矩阵A和逆矩阵A?0?A?1??1?1011??1?0??*?1（10分）.

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?1?3?七.（8分）设A?1XA?6A?XA,其中A??0???0??0140?0??0?，求X.??1??7?

八.（7分）设A是n阶方阵,且满足A2?A?E?O,利用定义证明:A?2E可逆，并求

?A?2E?.

?a11?九.（10分）设实矩阵A??a21?a?31a12a22a32a13??Ta23,且AA?O,证明A?O.

?a33???1*试将结论推广到A是n阶方阵的状况.

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其次章自测题答案

一1.错；2.错；3.错；4.错；5.对.??1?二.1.????1，???2???1??02.X????113?12?1骣?2?-1??2023?20234，(ba)=b(ab)a=?2??????2?-1桫?鼢鼢鼢鼢=鼢鼢鼢鼢骣211桫1-12-1-2÷÷÷4÷；÷÷÷-2÷骣f(1)珑2?珑珑f(A)=；3.珑?珑1?珑珑桫1?100?1f(-2)f(0)；

??1?24.A?1???0??02A*003?5?10??2A0?；5.

O?1??2????4?3O?3B?2A?3B?23A(?3)2B??144；

?2AA??4AA?1???4??31?2?32.

?1?三.AB??0?1?13?23??1??5；BA?2???3??1???1350??1T??TT?1；AB??BA???1????0?1??23?13??5.??1??四.由AB??3E，有AB?AB??3E，即得B?3.?A??OO??2B??1?AO0b200O2B00c1c2?1??A2B??1??12161.

?b1?0五.B???0??00???1?0?.六.A*??1?0??1??c1??1?111?1*?1；A?1?A.?2?1??七.A??1?EX?6E,X?6A???1?E??3?????2???.1???1八.?A?2E??A?3E???7E,A?2E可逆，?A?2E?T??17?A?3E?.

九.AA?O,所以ATA的任意位置元素为零，利用ATA对角线上元素为零，即得

A?O.

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第三章矩阵的初等变换与线性方程组

初等变换与初等矩阵部分知识概要

内容概要：

初等变换

1.对调两行（或列）；2.以数k(k?0)乘矩阵某一行（或列）的所有元素；3.把矩阵的某行（或列）所有元素乘一个数加到另一行（或列）对应位置的元素上.矩阵的等价标准形

1.称具有如下特点m?n矩阵A为行阶梯形矩阵：

（ⅰ）A的前r(r?m)行，每行元素均不全为0，后m?r行元素都为零；(ⅱ)第k(1?k?r)行的第一个非零元素为akj，且满足j1?j2???jr.

k假使行阶梯形矩阵还满足：（ⅲ）第k(1?k?r)行的第一个非零元素akj?1，且

kakjk(k?1,2,?,r)所在的jk列的其它元素都为0，就称A为行最简形矩阵.

2.任何矩阵都可以经过初等行变换化为行阶梯形矩阵，进而可以化为行最简形矩阵.

?Er3.任何一个m?n矩阵A都可以通过初等变换化为??O??m?r??rOr?(n?r)O?m?r???n?r??型矩阵.???初等矩阵

1.由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵.

2.设A一个m?n矩阵，A左乘一个m阶初等矩阵相当于对A作一次相应的初等行变换，

A右乘一个n阶初等矩阵相当于对A作一次相应的初等列变换.

3.A与B等价当且仅当存在可逆矩阵P与可逆矩阵Q，使得A?PBQ.4.n阶方阵A可逆当且仅当A可以写成一些初等矩阵的乘积.5.n阶方阵A可逆当且仅当A可以只用初等行变换化为单位矩阵.

常用解题方法及本卷须知：

1.用初等行变换求可逆矩阵A的逆矩阵的求法：?AE???????E初等行变换初等行变换A?1?.

AB?

?12.用初等行变换求矩阵方程AX?B(A可逆)的求法：?A则X?A?1B即可求得.

B???????E29

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初等变换与初等矩阵部分习题

1.先用初等行变换化以下矩阵为行最简形，再用初等列变换将其化为等价标准形?1?1（1）A???2??2132432651??1?5?；（2）A???1?7??3??6?31102?42???1；?4??

?1(3)A????1??1

1?1?11??；?11???2?4）A??1??4?3?1?11?2?626?912?14???24?.79??30

（

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?110??010??1??120?2.A???011???,P?1?100??,P??21??,P?3?010???101?????001?????2?????001??求:(1)P202320231AP3；(2)P2AP1.

3.用初等行变换求以下矩阵的逆矩阵.骣?1-10??1014?÷?（1）A=???1?011÷÷÷1?1???÷?0?桫013÷；（2）A?÷÷??0111??0013??

?010??1?1?4.设A????111????，B?20??，且AX?B?X，求X??10?1?????5?3??

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学院班级学号姓名矩阵的秩部分知识概要

内容概要：

1.设A是一个m?n矩阵，假使A中存在r阶子式不为零，而所有r?1阶子式（假使有的话）全为零，我们称r为矩阵A的秩，记为R(A)或秩?A?.2.矩阵的秩具有如下性质：（ⅰ）R(A)=0当且仅当A=O；（ⅱ）R(A)?R(AT)；

（ⅲ）R(kA)?R(A)，其中k为非零数；

（ⅳ）n阶方阵A的秩R(A)?n的充分必要条件A?0；（ⅴ）n阶方阵A可逆的充分必要条件为R(A)?n.3.行阶梯形矩阵A的非零行的行数等于A的秩.4.初等变换不改变矩阵的秩.

5.矩阵P，Q可逆，则R?PAQ??R?A?.

6.设A是秩为r的m?n矩阵，则存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q,使得

?ErPAQ???OO??.O?常用解题方法与本卷须知：

1.求矩阵A的秩：利用矩阵的初等变换将矩阵A化为阶梯形矩阵，阶梯数即为矩阵A的秩.2.假使A是n阶方阵，A?0时R(A)?n.

求元素含有参数的方阵A的秩时，先求出A?0时的参数取值，此时R(A)?n；对于使A?0的参数再特别探讨.

注意：1.A的一个k阶子式是一个行列式；

2.A的秩为r，则A的高于r阶的子式（假使有的话）都为零；

3.矩阵的秩就是矩阵非零子式的最高阶数.

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矩阵的秩部分习题

1.求以下矩阵的秩.?1?1（1）A???2??3101232581??1?4?；（2）A??3?5??1??6?0?121?314??0.??2??

??2.已知A???1??1

11??1??，探讨?为何值时（1）R(A)?1;(2)R(A)?2;(3)R(A)?3.1???33

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?1?3.A??2??1??21111?2a???2，探讨a取何值时，可使(1)R(A)?2;(2)R(A)?3.?2?a?

?A14.设Ai是mi?ni(i?1,2)矩阵，证明：R?????R(A1)?R(A2).A2?

5.设A是m?n矩阵，证明：R(A)?1当且仅当存在m维列向量矩阵?和n维行向量矩阵?T,使得A???T.（提醒：使用A的等价标准形）

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线性方程组的解部分知识概要

内容概要：

1.线性方程组Ax?b（x是n维列向量）的系数矩阵为A,增广矩阵为A?(A则：（ⅰ）线性方程组无解的充分必要条件为R(A)?R(A)；（ⅱ）线性方程组有唯一解的充分必要条件为R(A)?R(A)?n；（ⅲ）线性方程组有无穷多解的充分必要条件为R(A)?R(A)?n.2.齐次线性方程组Ax?0（x是n维列向量）永远有零解.（ⅰ）Ax?0只有零解的充分必要条件为R(A)?R(A)?n；（ⅱ）Ax?0有非零解的充分必要条件为R(A)?R(A)?n.

3.矩阵方程AX?B（X是n?s矩阵）的系数矩阵为A,增广矩阵为A?(A则关于方程AX?B的解有与1中一致的结论.

B),b)，

常用解题方法与本卷须知：

1.求解线性方程组Ax?b（x是n维列向量）的步骤：（ⅰ）对A?(Ab)进行初等行变换，把A化为行阶梯形矩阵B??B1b1?（b1是列向

)?R(B)量）.利用Ax?b与B1x?b1同解有：假使R(B,则Ax?b无解；假使1Ax?b有解.R(B)?R(B，则)12.若R(B1)?R(B)，继续初等行变换，将B??B1b1?化为行最简形矩阵C??C1?1?.

3.假使R(B1)?R(B)?n，Ax?b解唯一，C的最终一列对应的元素为方程组的解；假使R(B1)?R(B)?n，解无穷多，将C的每个台阶的头对应的未知量用其余未知量（其余的未知量即为自由未知量）表示出来，并令自由未知量取任意常数c1,c2,?,cn?r，即得含有n?r个自由参数的通解.

注意：1.解线性方程组时，对增广矩阵的初等行变换实际上是方程之间的初等变换，因此不能利用对增广矩阵进行初等列变换来解方程组.2.R(A)?R(A)?n时，C必需是A?(A为方程组的解.

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b)的行最简形，C的最终一列对应的元素才

学院班级学号姓名线性方程组的解部分习题1.用初等行变换求解以下线性方程组

?2x1?x2?3x3?1,?2x1?x2?3x3?1,??（1）?4x1?2x2?5x3?4,；（2）?4x1?2x2?5x3?4,；

??2x1?x2?4x3?0.

?2x?x?3x?1,（3）?123?4x1?2x2?5x3?4,；??2x1?x2?3x3??1.

??6x1?3x2?8x3?5.?x1?3x2?2x3?x4?1,?4）?2x1?5x2?3x3?2x?4?3,3x2x.

??1?4x2?8x3?4?4,??6x1?x2?6x3?4x4?2.36

（学院班级学号姓名

2.用初等行变换求解以下齐次线性方程组

x2?x3?x5?x6?0,?x1?2x2?3x3?4x4?0,????0,?2x1?3x2?4x3?5x4?0,??x1?3x2?x3?x4?3x5（1）?；（2）?

3x?4x?5x?6x?0,x?2x?x?6x?3x?0,2343456?1?1?4x?5x?6x?7x?0.??x?5x?3x?x?x?2x?0.23423456?1?1

3.探讨a取何值时，下面线性方程组：（1）有惟一解；（2）没有解；（3）有无穷多个解？并在有解时求解.

?(a?1)x1?x2?x3?0,??x1?(a?1)x2?x3?3,

?x?x?(a?1)x?a.23?1

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第三章自测题与答案

第三章自测题

一.判断题（每题3分，共15分）

1.方程个数小于未知量个数的齐次线性方程组必有非零解.（）2.在秩为r的矩阵中，所有r?1阶子式都不为零.（）3.设A是m?n矩阵，P是m阶方阵，Q是n阶方阵，R?PAQ??R?A?.（）4.A是m?n矩阵，且m?n，则非齐次线性方程组Ax?b有无穷多解.（）5.A是m?n矩阵，线性方程组AX?b满足R(A)?R(A(Ab)?n，用初等行变换将

b)化为行阶梯形矩阵C，则C的最终一列对应的元素为方程组的解.（）

二.填空题（每题4分，共20分）：骣1??01.A=?????0桫?0?2.A??2?4?-110013212-3÷÷÷4÷的行最简形矩阵为；÷÷÷6÷1??0,则A?1?；?0???13.设A是n阶方阵，A?3,A*是A的伴随矩阵，则2A?1?4.矩阵的乘积?0?0?0010??1?0??2023?A*?;

?1?0??2023??2520??1???10???1????10100??0?1??2023?；

?A5.A,B,C分别为m?n,s?t,s?n矩阵，R?A??r1,R(B)?r2，R??O?AR??CO???r3，B?O???r4,则r3与r1,r2的关系为，r4与r1,r2的关系为.B?三.求以下矩阵的秩（第一题5分，其次题10分，共15分）?3?1.A??1?0?2111124??1??1；2.A??1????k?1???22k?23k???3.?3??

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四.用初等行变换求解以下线性方程组（每题10分，共20分）?x1?x2?2x?x1?2x?3?2x4?1,2?x3?x4?0,1.?2xx?2?x3?54??1,?2x1?2x2?x3?x4?2x1?3x2.?0,?；?3?x4?3,?x1?x2?2x4?0,.

??x1?x2?4x4??1.??x1?x2?x3?6x4?0.

五.(10分)探讨a,b取何值时,下面线性方程组有解,并在有解的状况下求其通解.ì??x1+x2+x3+x4=0,???íx2+2x3+2x4=1,???-xx.2+(a-3)x3-24=b,????3x1+2x2+x3+ax4=-1.

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?2?0六．（10分）设A???1??1020?300200??0?，且ABA?1?BA?1?6E，求B.0??2?

七.（10分）设A是秩为1的3阶方阵，证明:存在不全为零的数a1,a2,a3和不全为零的数?a1b1?b1,b2,b3，使得A?a2b1??ab?31a1b2a2b2a3b2a1b3??a2b3；并求A100

?a3b3??

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第三章自测题答案

一.1.对；2.错；3.对；4.错；5.错

骣1??0二.1.?????0桫010001-8÷÷÷1÷；2.则A?1÷÷÷3÷??0???0?1??32?20?1??2?1*?1?13.(?1)n（利用A?AA?3A,1?；

30???则2A?1?A*??A?1?1?）；4.?1??2023??2250??1??1（利用0???0??1??0010??1左乘A相当交换A的2，?0???1?3两行；0???1?0100??0右乘A相当于A的第3列乘?1加到第一列）；?1??5.r3?r1?r2，r4?r1?r2.?1?三.1.R?A??2；（2）r(A)??2?3??x1?x2?四.1.?x3??x4k?1k??2k?1且k??2x1??1????x2?3??k??（k为任意数）.

??4?x3????x4?1??

??0????1????????1?3?????k??（k为任意数）；2.???1???1???????01???????x1?x2五.a?1,b??1时，方程组无穷多解??x3??x4???1??1??1????????1?2?2?????k???k??（k,k为任意

1212??0??1??0????????001???????b?1???1??a?1??x1???2?b?1?????x21??；a?1,b??1时，方程组无解.数）；a?1时，方程组有唯一解????a?1?x3???b?1????x?4???a?1??0??41

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六．AB?B?6A，B?6?A?E??1?2?0A?6???1???1020300200??12??00???0???6??2???6012023001200??0?.0??12??1?七.证明：A的秩为1，存在3阶可逆矩阵P，Q,使得PAQ?0??0?0000??1????0?0?1,0,0?，?????0???0??a1??1??a1??????1???1P0?a2，?1,0,0?Q??b1,b2,b3?，它们均为非零向量，且A?a2?b1,b2,b3?，

???????0??a??a????3??3??a1?则A??a2?a?3?a1??a2??a?3??a1b1??b1,b2,b3??a2b1?????ab??31???b1???a,a,ab????123?2???b???3??????????99a1b2a2b2a3b2a1b3??a2b3；

?a3b3???a1b1?ab?21?ab?31a1b2a2b2a3b2a1b3??a2b3

?a3b3??A100?a1,a2,a3??k99其中k?a1b1?a2b2?a3b3.

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第四章向量组的线性相关性

向量组及其线性关系部分知识概要

内容概要：

1.?1,?2,?,?s，?是一组n维向量，存在数k1,k2,?,ks使得??k1?1?k2?2??ks?s，则称?可由?1,?2,?,?s线性表示；设?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?s是两组m维向量，假使两个向量组能够相互线性表示，称这两个向量组等价.

2.设?1,?2,?,?s为一组n维向量，假使齐次线性方程组x1?1?x2?2???xs?s?0有非零解，称向量组?1,?2,?,?s是线性相关；假使x1?1?x2?2???xs?s?0有只有零解，称向量组?1,?2,?,?s是线性无关.

4.等价定义：设?1,?2,?,?s(s?2)是一组n维向量，假使其中至少存在一个向量可以由其余的向量线性表示,称?1,?2,?,?s线性相关；假使任何一个向量都不能由其余向量线性表示,称?1,?2,?,?s线性无关.单独一个零向量称为线性相关的；单独一个非零向量称为线性无关的.

5.向量组?1,?2,?,?t线性相关，则扩展组?1,?2,?,?t,?t?1,?,?s线性相关；向量组?1,?2,?,?t,?t?1,?,?s线性无关，则部分组?1,?2,?,?t也线性无关.

常用解题方法与本卷须知：

1.判断?是否可由?1,?2,?,?s线性表示：令A???1,?2,?,?s?,?可由?1,?2,?,?s线性表示当且仅当x1?1?x2?2??xs?s??有解，当且仅当R(A)?R(A?)；

2.令A???1,?2,?,?r?，B???1,?2,?,?s?,?1,?2,?,?r与?1,?2,?,?s等价当且仅当R(A)?R(AB)?R(B).

3.探讨向量组?1,?2,?,?s线性相关：设x1?1?x2?2???xs?s?0，解齐次线性方程组

x1?1?x2?2???xs?s?0（*）.（ⅰ）假使（*）只有零解，?1,?2,?,?s线性无关；（ⅱ）

假使（*）有非零解，?1,?2,?,?s线性相关.

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向量组及其线性关系部分习题

1.设?1?(1,0,?1,2)T,?2?(2,0,1,1)T,?3?(2,?1,0,1)T，求向量?，使得?1??2???2???3.

2.设?1?(1,2,1,2)T,?2?(1,0,3,1)T,?3?(2,?1,0,1)T,??(2,1,?2,2)T,问：?是否能由?1,?2,?3线性表示？如能表示，判断表示的方法是否唯一？

TT,2?(1,1?k,1)?,3?3.设??(0,k,k2)T可由?1?(1?k,1,1)?(1,1,?1kT)唯一的线性

表示，求k满足的条件.

4设?1,?2,?,?s是一组n维向量，?1??1??2????s,?2??1??2????s?1,

?,?s?1??1??2,?s??1，证明向量组?1,?2,?,?s与向量组?1,?2,?,?s等价.

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5.设?TT1??1,0,0,3?,?2??2,1,?1,2?,?3?(3,2,a?3,1)T,?T4?(3,2,?2,a),

??(1,1,b?1,?1)T，探讨：

（1）a,b为何值时，?不能由a1,a2,a3线性表示？（2）a,b为何值时，?能由a1,a2,a3唯一的线性表示？

（3）a,b为何值时，?能由a1,a2,a3线性表示，但表示方法不唯一？

6.判断以下向量组是线性相关还是线性无关？

（1）?T1?(1,1,1,1),?2??1,?1,1,1?T,?T3?(1,1,?1,1),?4?(1,1,1,?1)T；

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（2）?1?(1,1,0,0)T,?2??1,2,3,4?,?3?(?1,0,1,2)T,?4?(1,3,4,6)T.

7.?1,?2,?,?s是一组n维向量，?1??1,?2??1??2,?,?s?1??1??2????s?1,?s??1??2????s，证明：假使?1,?2,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s也线性无关.

T

*8.设?1,?2,?3线性无关，且?1??1?t?2,?2??2?t?3,?3??3?t?1，探讨t为何值时?1,?2,?3线性无关，t为何值时?1,?2,?3线性相关.

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向量组的秩与极