线性代数试卷2023

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线性代数试卷整理版

2023-2023-1线性代数期末试卷答案及评分标准(A)

一、单项选择题（每题3分，共15分）

1.在以下矩阵中，不是初等矩阵的是（D）

100（A）100（B）

001102010（C）001100103（D）020020001001

2.以下关系式不正确的是（B）

（A）R(AB)R(A)R(B)（B）R(A)R(AB)

（C）R(AB)R(A)R(B)（D）R(A,B)R(A)R(B)

3.若齐次线性方程组Ax0有非零解，则对应非齐次线性方程组Axb必（C）

（A）无解（B）有无穷多解（C）不确定（D）有唯一解

4.设A为34矩阵，则（D）

（A）行向量组线性无关（B）列向量组线性无关

（C）行向量组线性相关（D）列向量组线性相关

1005.设矩阵A012，其特征值为（A）

021

（A）1,1,3（B）0,1,2（C）0,1,3（D）1,1,1

二、填空题（每题3分，共15分）

2046．设不可逆矩阵A11a，则a=0.126

117.若为A的特征向量，则P为PAP的特征向量.

*18．设A是3阶方阵，A*是A的伴随矩阵，已知|A|1，则|2A2A|

9．已知向量组1(1,1,0),2(1,3,1),3(5,3,t),线性相关，则t__4___.

210.设A是4阶矩阵且满足AA,则R(A2E)=____4__.TTT

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三、判断题,对的打√，错的打（每题2分，共10分）

11.若ABAC,则BC（）

12.假设矩阵A,B都是同阶可逆矩阵，则AB必可逆（）

13.任一方阵必定可以表示为对称阵与反对称阵之和（√）

2214.若矩阵A与B相像，则AA必与BB相像（√）

15.若A为n阶实对称阵，则A必有n个两两正交的特征向量（√）

四、计算题（每题10分，共50分）

16.解：

1yy2y31

x1y1x1y2x1y301x1y1x1y2x1y3

Dx2y11x2y2x2y3=0x2y11x2y2x2y3————————4分x3y1x1x3y30x3y1x1x3y33y23y2

1yy2y13

-x1100

10=-x20

-x3001

1x1y1x2y2x3y3yy2y130100=00100001

1x1y1x2y2x3y3

.————————————————10分

34217.设矩阵A110，矩阵X满足AXA2X，求X.

123

解:由题目知(A2E)XA.

若A2E可逆，则X(A2E)A.—————————————3分

对(A2E,A)施加初等行变换，即1

223423100386(A2E,A)110110~0102961211231212900——————8分

所以A2E可逆，且

386X2962129.—————————————10分

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2x13x2x34x2x4x512318.求线性方程组的通解.

3x18x22x313

4x1x29x36

31421245解：增广矩阵(A,b)施加初等行变换化成行最简型382134196

3141021211212450，——————————6分(A,b)~38213000041960000

x12x31x2x13其对应的齐次线性方程组为1———8分,所以x2x32x2x32xx033

x121所以通解为x2c12,其中c为任意数.——————————10分x103

19.已知向量组1(1,1,1)T,2(1,1,1)T,3(0,0,1)T,4(1,1,0)T，求出它的秩及其一个极大无关组.

101110111~02解:向量组(1,2,3,4)11011,———6分

11100000

所以向量组的秩为2，————————————8分

因任意两个向量都是线性无关，所以一个极大无关组为1,2.——10分

212T20.已知(1,1,1)是矩阵A533的一个特征向量，试判断A是否可以对角

1b2

化？

T解：设(1,1,1)对应的特征值是.从而由A，————2分

得到方程组212所以1,b0，—————————4分

1b2

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212122即A533且|AE|533(1)3

101022

所以矩阵A的特征值1231.8分

(AE)x0的基础解系(1,1,1)T，对应的线性无关的特征向量只有1个，故不当1时，

能对角化.————————————————————10分

五、解答题（每题5分，共10分）

21.已知A是正交矩阵且满足|A|1，试证明|AE|0.

T证明:由于A是正交矩阵，即AAE，——————————2分

|AE||AAAT||A||EAT||A||ETAT|

T|A||（EA）||A||EA||AE|—————————4分

所以|AE|0.——————————————————————5分

22.假若A是三阶非零矩阵，三阶矩阵B(b1,b2,b3)的每个列向量均是齐次线性方程组Ax0的解向量，试证明向量组b1,b2,b3是线性相关的.

证明:由题目知道

b1,b2,b3均为Ax0的