时矩形菱形正方形

时矩形菱形正方形第1页/共38页矩形的性质及判定考点一

定义有一个角是①_____的平行四边形叫矩形(1)矩形的四个角都是②______；(2)矩形的对角线③_______；(3)矩形既是④______对称图形又是轴对称图形，有⑤______条对称轴直角直角相等中心2性质中考考点清单第2页/共38页判定(1)有一个角是⑥_____的平行四边形是矩形；(2)有⑦______是直角的四边形是矩形；(3)对角线⑧______的平行四边形是矩形面积S＝⑨_______(a、b表示矩形的长和宽）

直角三个角相等ab第3页/共38页定义有一组邻边⑩______的平行四边形叫做菱形(1)菱形的四条边都⑪_______；(2)菱形的对角线⑫_________且每一条对角线都平分⑬_________；(3)菱形既是⑭______对称图形，又是⑮______对称图形，有⑯_____条性质相等相等互相垂直一组对角中心轴2菱形的性质及判定（高频）考点二第4页/共38页判定(1)有一组邻边⑰______的平行四边形是菱形；(2)四条边都⑱_______的四边形是菱形；(3)对角线⑲________的平行四边形是菱形面积S＝⑳_______(l1、l2表示菱形两条对角线的长)互相垂直相等相等l1l2第5页/共38页性质(1)正方形的对边平行，四边都________；(2)正方形的四个角都是________；(3)对角线互相_____________，每条对角线平分一组对角

判定(1)有一组_______相等，并且有一个角是____的平行四边形是正方形；(2)有一组邻边相等的_______是正方形；(3)有一个角是直角的是_______正方形；(4)_______相等且互相垂直的平行四边形是正方形面积S＝_______(a表示边长)；S＝_______(l表示对角线长)2122

23相等直角垂直平分且相等24252627282930邻边直角矩形棱形对角线正方形的性质及判定（高频）考点三第6页/共38页平行四边形、矩形、棱形、正方形之间的关系考点四

菱形矩形正方形平行四边形有一个角是直角一组邻边相等一组邻边相等有一个角是直角有一组邻边相等，有一个角是90°第7页/共38页类型一矩形的性质及判定

如图，O是矩形ABCD的对角线的交点，E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD上的点，且AE＝BF＝CG＝DH.例1(1)求证：四边形EFGH是矩形；(2)若E、F、G、H分别是OA、OB、OC、OD的中点，且DG⊥AC，OF＝2cm，求矩形ABCD的面积．例1题图常考类型剖析第8页/共38页(1)【思路分析】四边形ABCD是矩形⇒OA=OB=OC=ODAE=BF=CG=DH⇒四边形EFGH是矩形；证明：∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD.∵AE＝BF＝CG＝DH，∴OE＝OF＝OG＝OH，∴四边形EFGH是矩形．⇒OE＝OF＝OG＝OH第9页/共38页(2)【思路分析】根据已知条件求出矩形的边长DC，继而求出边长AD，再根据矩形的面积公式即可求解．解：在△DOC中，∵OG＝GC且DG⊥OC，∴DO＝DC，∵OC＝OD，∴△ODC是等边三角形，∴∠DCA＝60°，DC＝2OG＝2OF＝4，在Rt△ADC中，AD＝tan60°·CD＝4，∴S矩形ABCD＝AD·CD＝16.第10页/共38页【方法指导】1.矩形判定的一般思路：首先判定是否为平行四边形，然后找角或者对角线的关系，若角度容易求，则可找其一角为90°，便可判定是矩形；若对角线容易求，则证明其对角线相等即可判定其为矩形．第11页/共38页2．应用矩形性质计算的一般思路：根据矩形的四个角都是直角，一条对角线将矩形分成两个直角三角形，用勾股定理或三角函数求线段的长是常用的解题思路，又根据矩形对角线相等且互相平分，故可借助对角线的关系得到全等三角形．矩形的两条对角线把矩形分成四个等腰三角形，在矩形性质的相关计算和证明中要注意这个结论的运用，建立能够得到线段或角度的等量关系．

第12页/共38页【解析】根据题意得：∠DAE＝∠D′AE，∠D＝∠D′＝90°.∵∠BAD′＝30°，∴∠EAD′＝30°.∴∠AED′＝90°－30°＝60°.1.如图，将矩形ABCD沿AE折叠，若∠BAD′＝30°，则∠AED′等于(

)A.30°B.45°C.60°D.75°第1题图C课堂随练第13页/共38页2.(’14衡阳)如图，在矩形ABCD中，∠BOC＝120°，AB＝5，则BD的长为________．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB，又∵∠BOC＝120°，∴AOB＝60°，∴△AOB是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝5，∴BD＝2OB＝10.

第2题图10第14页/共38页3.(’15北京)在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，DF＝BE,连接AF，BF.(1)求证：四边形BFDE是矩形；(2)若CF＝3，BF＝4，DF＝5，求证：AF平分∠DAB.第3题图第15页/共38页(1)【思路分析】要证明四边形BFDE是矩形，首先证明BFDE是平行四边形，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形得证．解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴DC∥AB，即DF∥BE，又DF＝BE，∴四边形BFDE为平行四边形．又∵DE⊥AB，即∠DEB＝90°，∴四边形BFDE为矩形；第16页/共38页解：∵平行四边形BFDE为矩形．∴∠BFC＝90°，∵CF＝3，BF＝4.则由勾股定理，得BC＝＝＝5，∴AD＝BC＝5，∴AD＝DF＝5，∴∠DAF＝∠DFA，∵∠DFA＝∠FAB，∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.(2)【思路分析】首先利用矩形的性质和勾股定理求出BC的长，易得AD＝DF，再根据等边对等角的性质和平行线的性质进行转换，得到∠DAF＝∠BAF，即可得证．第3题解图第17页/共38页类型二棱形的性质及判定例2(’14北京)如图，在▱ABCD中，AE平分∠BAD，交BC于点E，BF平分∠ABC，交AD于点F，AE与BF交于点P，连接EF，PD.(1)求证：四边形ABEF是菱形；(2)若AB＝4，AD＝6，∠ABC＝60°，求tan∠ADP的值．例2题图第18页/共38页(1)【思路分析】利用平行四边形性质得∠DAE＝∠AEB，然后利用角平分线性质等量代换得△ABE是等腰三角形，由AFBE判定出四边形ABEF为平行四边形，进而利用邻边相等的平行四边形为菱形证明即可；证明：在▱ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB.∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∴∠AEB＝∠BAE，∴AB＝BE，第19页/共38页同理：∵∠AFB＝∠FBE，∠ABF＝∠FBE，∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF＝BE，∵AF∥BE且AF＝BE，∴四边形ABEF是平行四边形，又∵AB＝AF，∴四边形ABEF是菱形；第20页/共38页(2)【思路分析】过点P作PH⊥AD于点H，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求得AH，PH，再利用三角函数的关系即可得tan∠ADP的值．例2题解图解：如解图，过点P作PH⊥AD于点H，∵∠ABC＝60°，∴△ABE和△AEF是等边三角形，∴AP＝AE＝AB＝2，∴AH＝1，PH＝，∴DH＝AD－AH＝6－1＝5，∴tan∠ADP＝＝.H第21页/共38页【方法指导】1.菱形判定的一般思路：若一个四边形是菱形，则必是平行四边形，故在判定一个四边形是菱形时，首先判断其是平行四边形，然后根据平行四边形的邻边相等判定是菱形，这是判定菱形的最基本思路，同时也可以考虑其他判定方法，例如若能判定对角线垂直即可应用对角线来判定．第22页/共38页2．菱形性质应用的一般思路：菱形是平行四边形，故会应用对边平行、对角相等等性质；菱形四边相等，所以在做题时，会利用等量代换转换为其他边的长；它的对角线相互垂直，故常借助对角线垂直和勾股定理求线段的长．第23页/共38页1.(人教八下P58T1改编)如图，下列条件之一能使▱ABCD是菱形的为

(

)①AC⊥BD；②∠BAD＝90°；③AB＝BC；④AC＝BD.A.①③B.②③C.③④D.①②③第1题图A课堂随练第24页/共38页2.(’15徐州)如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E为AD中点，菱形ABCD的周长是28，则OE的长等于(

)A.3.5B.4C.7D.14第2题图【解析】菱形的对角线互相垂直平分，四条边都相等．其周长是28，则AB＝BC＝CD＝DA＝7，OE即是Rt△AOD的斜边上的中线，则OE＝AD.或者O、E分别是BD、AD的中点，则OE是△ABD的中位线，则OE＝AB＝＝3.5.A第25页/共38页【解析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，可得，由AC⊥BD可以判定▱ABCD是菱形，故①正确；由∠BAD＝90°，可以判定▱ABCD是矩形，故②错误；根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得由AB＝BC可以判定▱ABCD是菱形，故③正确；由AC=BD，可以判定▱ABCD是矩形，故④错误.第26页/共38页3.(’15黄山模拟)如图，菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，∠ABD＝α，则下列结论正确的是(

)A.sinα＝

B.cosα＝C.tanα＝

D.tanα＝第3题图【解析】∵菱形ABCD的对角线AC＝6，BD＝8，∴AC⊥BD，且OA＝3，OB＝4.在Rt△ABO中，根据勾股定理得AB＝5，则sinα＝，cosα＝，tanα＝.D第27页/共38页4.(’15贵阳)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB.(1)证明：四边形ADCE是菱形；(2)若∠B＝60°，BC＝6，求菱形ADCE的高．(计算结果保留根号)(1)证明：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD＝BD，又∵AE∥CD，CE∥AB，∴四边形ADCE为平行四边形．又∵CD＝AD，∴四边形ADCE是菱形．第4题图第28页/共38页(2)解：如解图，过点D作DH⊥AE于点H，∵∠B＝60°，BD＝CD，∴△BCD为等边三角形．∵BC＝6，∴AD＝CD＝BD＝6，∵∠ACB＝90°，∴∠BAC＝30°.∵四边形ADCE是菱形，∴∠DAH＝2∠BAC＝2×30°＝60°，∴∠ADH＝30°.在Rt△ADH中，AD＝6，∴AH＝AD

＝×6＝3，DH＝3.则菱形ADCE的高为3.第4题解图H第29页/共38页类型三正方形的性质及判定例3(’15长春)如图，点E在正方形ABCD的边CD上，若△ABE面积为8，CE＝3，则线段BE的长为________．例3题图【思路点拨】过点E作EM⊥AB于点M，根据正方形性质得出AD＝BC＝CD＝AB，根据△ABE的面积为8求出EM，得出BC的值，根据勾股定理即可求解．5第30页/共38页【解析】如解图，过点E作EM⊥AB于点M，∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝BC＝CD＝AB，∴EM＝AD，BM＝CE，∵△ABE的面积为8，∴×AB×EM＝8，解得EM＝4，即AD＝DC＝BC＝AB＝4，∵CE＝3，由勾股定理得：BE＝＝＝5.例3题解图M第31页/共38页【方法指导】正方形性质的相关计算包括以下两种设问方式：1.求面积；2.求线段长．1．求面积时，一般利用拼接法将所求面积的图形拼接成正方形，然后利用正方形的面积公式即可求出面积；2．求线段长时，可从以下两个方面考虑：①直接利用特殊图形的性质(或等腰三角形的性质)，结合勾股定理、三角形全等的性质等，求出对应的线段长；②通过寻找相似三角形，先利用三角形相似的性质求出相应的比值，再根据比值关系求出对应线段的长．第32页/共38页1.已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD＝8cm，则OE的长是(

)A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm第1题图【解析】∵