全等三角形的相关模型总结

全等的相关GGE（1）.例题应用1，在ABC中，C900，AD平分距离

DAB

图 图①2（DEABAB②12，模型巩

，PNPQ，

PQ,PA平分BAC ：如图3，在四边形ABCD中，BC>AB，AD=CD，BD平分BAC.AC练习二：已知如图4，四边形ABCD中BD1800BCCD.求证：AC平分CB

交CD于点5中的△ADEAB向右平移到ADE'E'BC边上，其他条件不变，如6BE'CF又怎样的数量关系？请证明你的结论.图 图7，∠A90，AD∥BC，PABPD∠ADC．求证：CP∠DCB．D2D2 3P E，F．求证：BE=CF．练：如图9所示，在△ABC中，BC边的垂直平分线DF交△BAC的外角平分线AD于点 E F10，D、E、F分别是△ABC的三边上的点，CE=BF，且△DCE的面积与△DBF的面积相等，求证：AD平分∠BAC。AFE FE角平分线+垂线，等腰三角形比呈辅助线：延长ED交射线OB于 1所示，在△ABC中，∠ABC=3∠C，AD是∠BAC的平分线，BE⊥ADF。BE1ABEACF2，在ABC中

BAC的角平分线AD交BC于D且

AD作CMAD交AD的延长线于AB=ADC点作平行线来构造等腰三角形.CCE∥ABAM

B为AC的中点CMFB于M

FB于N.EF2BM

FB1②模型巩练、如图3，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于D，CEBD，BDE。求证：BD=2CE 变形：如图4，在△ODC中，D AD AD EEDCAA 7（a

作ADBDDE1(ABBCAC∥ 图 图 图c

.7（b8ABC中，C90，ABCD．自C作CGABEAB于GDDFABFCFDEEDED12 练、如图9所示，在ABC中，ACAB，M为BC的中点，AD是BAC的平分线，若CFADFMF1ACAB2练变形一：如图10所示，AD是ABC中BAC的外角平分线，CDAD于D，E是BC的DE

DE1ABAC2

练变形二：如图11所示，在ABC中，AD平分BAC，ADAB，CMAD于M，求ABAC2AM13ABCABC3C12BEAEACAB2BE．21E21E B图 图练习八、在△ABC中，AB3AC，BACBCDBBEAD，EADDEADCD ADABCBEADADEEFACABF．AFFB．FDFDC 角分线，分两边，对称全等要记OABOB=OA，从而使OAC①、在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，APBACBCP，BQ平分∠ABCAC于Q，求证：AB+BP=BQ+AQ思路分析题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：作平行线解题思路AB+BP=BQ+AQ。形势较为复杂，我们可以通过转化的O作BC△ADO≌△AQOOD=OQ，AD=AQ，BD=OD证明：如图（1），过OOD∥BCAB又又又又∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ解题后的思考ABAD=AQOD①如图（2），过OOD∥BCACD，则△ADO≌△ABO④如图（5），过PPD∥BQACD，则△ABP≌△ADP②、ABCAD是BACPADAPBPCABACPBPCABACABAEACPE．AD是BAC的外角平分线，故CAPEAP在ACP和AEPACAECAPEAPAP公用，因此ACP≌AEP，PCPE在BPEPBPEBE，BEBAAEABAC，故PBPCABAC．ABCABACAD是BACPAD上任意一点．ABACPBPC．PPE PPE ABAEACEP，根据SAS证得AEPACPPEPCAE又BEPBEPBPEBEABACABACPB（2练、.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，CD＝AB＋BD，∠B的平分线交AC于点E，求证：点EBC的垂直平分线上。EAE D求证 D 练习三、如图，已知△ABC中，BC＝AC，∠C＝90°，∠ABCD，DCD 练习四、已知：在△ABC中，B的平分线和外角ACM的平分线相交于D, BC,交ACE交AB于FEFBFABCAB2ACAD平分BACEAD中点，连结CEBD变式：ABCB2CBD平分ABCADBQ于1求证：BD 2练、已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,BC=DC,CF平分∠BCD,DF∥AB,BF的延长线交DC于E.（1） (2)EF EF ABCDAB+BC=CD+DA，∠ABC的外角平分线与∠CDA的外角平分线P.求证：∠APB=∠CPDABCD（两组对边分别平行的四边形）中，E，FAD，AB边上BE、DF交于G点，BE=DF，求证：GC是∠BGD的平分线。AEAEFG DDE∥ABBCE，求证：CT=BE.AMD MDABC中，AD平分BAC，EFBDAD上．DECD，EFAC．求EFABy，EF交AB于点G，若BGCF，求证：AD为BAC的角平分线 GA GAM

①、如图2，在△ABCACB是直角，∠B=600，AD、CEBAC、∠BCA的角平分线，相交于点F，请你判断并写出EFDF间的数量的关系。②、如图3，在△ABC中，∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，请问（1）中的 MEOMEOAFNEFEFAED EDA A图 图1，0，C（1，0）D第二象限内一动点，且∠BAC=2∠BDO，过点DDM⊥ACM，①、求证②、若点EBA的延长线上，求证：AD平分③、当点A运动时（AC-AB）/AM的值是否发生变化？若不变，求其值；若变化明理由二、等腰直角三角形在斜边上任取一点的旋转全操作过程（1）.将△ABD逆时针旋转900，使△ACM≌△ABD，从而推出△ADM为等腰直角三角（2）.过点C作MCBC，AM导出上述结论定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等操作过程：连.F=A（AF=C、例题应用解析方法一过点C作 方法二出△MEC为等腰直角三角形.Rt△ABC中，AB=ACBAC90，OBCM、N分别AC、ABAN=CM.OMN的形状，并证明你的结论②、当M、N分别段AC、AB上移动时，四边形AMON的面积如何变化②在正方形ABCDBE=3EF=5DF=4∠BAE=∠DCF为多少度构造等腰直角三

、利用以上的1和2都可以构造等腰直角三角（略 图3-操作过程：在3-2中，先将△ABDBD所在的直线为对称轴作对称三角形，再将此三角形沿AM，DE重合.例题应用：已知：平面直角坐标系中的三个点A1，0，B2，1，C0,3，求∠OCA+∠OCB的将等腰直角三角形补全为正方形，如下图4- 图4-例题应用思路：构造正方形ACBM，可以构造出等边△APM，从而造 ，又根，可 ，再由 ，故而得 从而证.例题拓展：若△ABC不是等腰直角三角形，即 ,3B图 图、当点A图 图、当点C图 图三、三垂直模型（弦图模型 由△ABE≌△BCD导 由△ABE≌△BCD 由△ABE≌△BCD导 出EC=AB- 例题应用1.已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC，BAC90，DAC中点，AF⊥BDE，交BCFDF.方法一:CMC⊥ACAFM.先证△ABD≌△CAM，再证△CDF≌△CMF即可.AAM⊥BCBD、BCH、M.先证△ABH≌△CAF△CDF≌△ADH即可AAM⊥BCBD、BCH、M.Rt△AMF≌Rt△BMH，得HF∥AC.M、D分别为线段AC、BC的中点，可得MD为△ABC的中位从而推出MD∥AB，又由于BAC90，MD⊥AC，MD⊥HFMD为线段HF的中垂线.所以∠1=∠2.再由∠ADB+∠1=∠CDF+∠2，则∠ADB=∠CDF例1拓展（1：已知：如图所示，在△ABC中，AB=AC， AF⊥BM于E，交BC于F，连接NF.求证 ②思路：同上题的方法一和方法二一样（2②思路：同上题的方法一和方法二一样2.2-1AD∥BC，△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∠EAB=∠CDF90AD=2，BC=5，求四边形AEDF的面积2-解析：如图2-2，过点E、B分别作EN⊥DA，BM⊥DADA延长线于点N、M.过点F、C分别作FP⊥AD，CQ⊥ADADAD延长线于点

1ADEN1AD

1ADENFP四边形

∵△ABE和△CDF是等腰直角三角形，∴∠EAB=∠CDF90，AE=AB∵EN⊥DA，BM⊥DA，FP⊥AD，CQ⊥AD，∴∠NMB=∠ENA=∠FPD=∠DQC=90∴∠ENA=∠MBA ∴NE=AM，PF=DQ ∴NE+PF=DQ+AM=MQ-AD∵AD∥BC，CQ∥BM，∠BMN90∴四边形BMQC是矩形. ∴NE+PF=5-

12322-练习巩固、如图（1）-1，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC90，lAD（1）- （1）-、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC90，AD∥BC，AB=AC，EAB的中点①求证：BE=AD②求证：AC是线段ED的③△BCD是等腰三角形吗？请说明理由四、手拉手模△ABE和△ACF均为等边三（1）.（2）.∠BOE=BAE600（3）.OA平分条件：△ABC和△CDE均为等边三结论（、 （2 （3、△PCQ为等边三角（5 （6（7（8 （7（8）△ABD和△ACE均为等腰直角三角结论（、 ABEFACHD结论（、 （2变形一：ABEFACHD均为正方形，AS⊥BCFD求证：①MFD的中点.SAB方法一 方法二 方法三变形二：ABEFACHD均为正方形，TFD的中点，当以AB、AC为边构造正多边形时，总有

180 FHFHGPHJHJ1KGPI五、双垂直+角平分线模结论拓展：若AP平分∠BAD，其他条件不变，求证六、半角模1且条件 （1、延长其中一个补角的线（延长CDE，ED=BMAE或延长CBFFB=DNAF结论：①MN=BM+DNCCM（2）、对称（翻折

③AM、AN分别平分∠BMN和思路:分别将△ABM和△ADNAMAN为对称轴翻折M、P、N三点共线.（∠B+∠D=1800且例题1、在正方形ABCDM、N分别在边BC、C