高数下册复习题

多元函数微分学1：证明函数在点处不连续，但存在一阶偏导数.2：设函数问在点处：（1）偏导数是否存在？（2）偏导数是否连续？（3）是否可微？均说明理由..3：设为可微函数，且，证明：4：求二元函数在由直线所围成的闭域上的极值、最大植和最小值.5：求平面和柱面的交线上与平面距离最短点的坐标.6：在椭球面上求距离平面的最近点和最远点.（答案：最近点，最远点）多元函数积分学一．重积分1：计算二次积分2：计算二重积分，其中是由直线以及曲线所围成的平面区域.（答案：）3：设在上连续，且求.（答案：）4：设闭区域：为上的连续函数，且求（答案：）5：计算二重积分，其中由圆所围成的平面区域.（答案：）6：计算其中.（答案：）7：计算二重积分，其中由所围成的平面区域，是上的连续函数.（答案：）8：证明9：设在上连续，证明所围图形面积为.（答案：）3：计算，其中是以点为中心，为半径的圆周（），方向为逆时针方向.（答案：）4：计算曲线积分，其中为正方形边界的正向.（答案：）5：计算，其中积分路径为过三点的圆.（答案：）6：设函数具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线上，曲线积分的值恒为同一常数。证明：对右半平面内的任意分段光滑简单闭曲线，有；求函数的表达式.（答案：）（2005年数学一）三．曲面积分1：设有一高度为（为时间）的雪堆在融化过程中，其侧面满足方程（设长度单位为厘米，时间单位为小时），已知体积减少的速率与侧面积成正比（比例系数），问高度为（厘米）的雪堆全部融化需多少小时？（答案：小时）2：计算曲面积分，其中是由曲面及两平面所围的立体表面的外侧.（答案：）3：计算曲面积分其中是曲面的上侧.（答案：）4：计算曲面积分，其中为下半球面的上侧，为大于零的常数.（答案：）5：设向量，曲面为上半球面被锥面所截得部分（满足），且指向上。求A通过的流量.6：设对于半空间内任意的光滑有向闭曲面，都有其中函数在内具有连续的一阶导数，且.求.（答案：）无穷级数一．常数项级数1：若级数（）收敛，证明（1）收敛；（2）收敛；（3）收敛；（4）收敛2：若级数收敛，则必收敛的级数为（）；（）；（）；（）（答案：（））3：判别下列级数的敛散性：（1）；（2）；（3）（4）4：已知，证明级数收敛，并求这个级数的和.5：若，讨论级数的敛散性.6：设在点的某一邻域内具有二阶连续导数，且，证明级数绝对收敛.7：已知求的值；试证：对任意的常数，级数收敛.8：设满足条件：对于任意的，存在常数，有，对于给定的，定义试证明：（1）级数绝对收敛；（2）极限存在，记为；（3）与无关，且.9：设若发散，收敛，则下列结论正确的是（）收敛，发散；（）收敛，发散；（）收敛；（）收敛。（2005年数学三）（答案：（））10：设为正项级数，下列结论正确的是（）若，则级数收敛；（）若存在非零常数，使得，则级数发散；（）若级数收敛，则；（）若级数发散，则存在非零常数，使得.（答案：（））（2004年数学一）11：设有以下命题：①若收敛，则收敛②若收敛，则收敛③若，则发散④若收敛，则，都收敛则以上命题中正确的是（）①②（）②③（）③④（）①④（答案：（））（2004年数学三）12：设有两个数列，，若，则（）当收敛时，收敛.（）当发散时，发散.（）当收敛时，收敛.（）当发散时，发散.（答案：（））（2009年数学一）二．幂级数1：若在处收敛，则此级数在处（）条件收敛；（）绝对收敛；（）发散（）敛散性不能确定（答案：（））2：求幂级数的收敛域及和函数.（2006年数学三）3：将函数展开为的幂级数，并求此级数的收敛域.一．一阶微分方程1：求微分方程满足初始条件的特解.2：求微分方程之通解.3：求微分方程之通解.4：求满足方程的.5：设在上可导，，且满足等式（1）求导数；（2）证明当时，成立不等式：6：设函数在上连续。若曲线，直线与轴围成的平面图形绕轴旋转一周所成的旋转体体积为试求所满足的微分方程，并求该微分方程满足条件的解.二．高阶微分方程1：求方程的通解.2：求方程的通解.3：设函数二阶可导且，，过曲线上任一点作曲线的切线及轴的垂线，上述两直线与轴所围成的三角形的面积记为，区间上以为曲边的曲边梯形面积记为，并设恒为1，求此曲线的方程.4：设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解，是任意常数，则该非齐次方程的通解是（）；