2022年全国各省市中考数学真题汇编之圆解答题

2022年全国各省市中考数学真题汇编圆(2022·四川省德阳市)如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足是点H，过点C作直线分别与AB，AD的延长线交于点E，F，且∠ECD=2∠BAD．

(1)求证：CF是⊙O的切线；

(2)如果AB=10，CD=6，

①求AE的长；

②求△AEF的面积．(2022·江苏省扬州市)【问题提出】如何用圆规和无刻度的直尺作一条直线或圆弧平分已知扇形的面积？

【初步尝试】如图1，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺过圆心O作一条直线，使扇形的面积被这条直线平分；

【问题联想】如图2，已知线段MN，请你用圆规和无刻度的直尺作一个以MN为斜边的等腰直角三角形MNP；

【问题再解】如图3，已知扇形OAB，请你用圆规和无刻度的直尺作一条以点O为圆心的圆弧，使扇形的面积被这条圆弧平分．

(友情提醒：以上作图均不写作法，但需保留作图痕迹)

(2022·浙江省湖州市)如图，已知在Rt△ABC中，∠C=Rt∠，D是AB边上一点，以BD为直径的半圆O与边AC相切，切点为E，过点O作OF⊥BC，垂足为F．

(1)求证：OF=EC；

(2)若∠A=30°，BD=2，求AD的长．(2022·江西省)课本再现

(1)在⊙O中，∠AOB是AB所对的圆心角，∠C是AB所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与∠C的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明∠C=12∠AOB；

知识应用

(2)如图4，若⊙O的半径为2，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，∠C=60°，求PA(2022·湖南省邵阳市)如图，已知DC是⊙O的直径，点B为CD延长线上一点，AB是⊙O的切线，点A为切点，且AB=AC．

(1)求∠ACB的度数；

(2)若⊙O的半径为3，求圆弧AC的长．(2022·浙江省金华市)如图1，正五边形ABCDE内接于⊙O，阅读以下作图过程，并回答下列问题：

作法如图2．

1.作直径AF．

2.以F为圆心，FO为半径作圆弧，与⊙O交于点M，N．

3.连结AM，MN，NA．

(1)求∠ABC的度数．

(2)△AMN是正三角形吗？请说明理由．

(3)从点A开始，以DN长为半径，在⊙O上依次截取点，再依次连结这些分点，得到正n边形，求n的值．(2022·湖北省十堰市)如图，△ABC中，AB=AC，D为AC上一点，以CD为直径的⊙O与AB相切于点E，交BC于点F，FG⊥AB，垂足为G．

(1)求证：FG是⊙O的切线；

(2)若BG=1，BF=3，求CF的长．(2022·福建省)如图，△ABC内接于⊙O，AD//BC交⊙O于点D，DF//AB交BC于点E，交⊙O于点F，连接AF，CF．

(1)求证：AC=AF；

(2)若⊙O的半径为3，∠CAF=30°，求AC的长(结果保留π)．(2022·安徽省)已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为BA的延长线上一点，连接CD．

(1)如图1，若CO⊥AB，∠D=30°，OA=1，求AD的长；

(2)如图2，若DC与⊙O相切，E为OA上一点，且∠ACD=∠ACE.求证：CE⊥AB．

(2022·浙江省绍兴市)如图，半径为6的⊙O与Rt△ABC的边AB相切于点A，交边BC于点C，D，∠B=90°，连结OD，AD．

(1)若∠ACB=20°，求AD的长(结果保留π)．

(2)求证：AD平分∠BDO．(2022·湖北省宜昌市)石拱桥是我国古代人民勤劳和智慧的结晶(如图1)，隋代建造的赵州桥距今约有1400年历史，是我国古代石拱桥的代表．如图2是根据某石拱桥的实物图画出的几何图形，桥的主桥拱是圆弧形，表示为AB.桥的跨度(弧所对的弦长)AB=26m，设AB所在圆的圆心为O，半径OC⊥AB，垂足为D.拱高(弧的中点到弦的距离)CD=5m.连接OB．

(1)直接判断AD与BD的数量关系；

(2)求这座石拱桥主桥拱的半径(精确到1m)．(2022·黑龙江省齐齐哈尔市)如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，AC与⊙O交于点D，BC与⊙O交于点E，过点C作CF//AB，且CF=CD，连接BF．

(1)求证：BF是⊙O的切线；

(2)若∠BAC=45°，AD=4，求图中阴影部分的面积．(2022·广东省)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为⊙O的直径，∠ADB=∠CDB．

(1)试判断△ABC的形状，并给出证明；

(2)若AB=2，AD=1，求CD的长度．(2022·湖北省武汉市)如图，以AB为直径的⊙O经过△ABC的顶点C，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，AE的延长线交⊙O于点D，连接BD．

(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；

(2)若AB=10，BE=210，求BC的长．(2022·江苏省宿迁市)如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=AC，以AB为直径的⊙O与边BC交于点D．

(1)判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若AB=4，求图中阴影部分的面积．(2022·天津市)已知AB为⊙O的直径，AB=6，C为⊙O上一点，连接CA，CB．

(Ⅰ)如图①，若C为AB的中点，求∠CAB的大小和AC的长；

(Ⅱ)如图②，若AC=2，OD为⊙O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作⊙O的切线，与AC的延长线相交于点F，求FD的长．

(2022·湖南省衡阳市)如图，AB为⊙O的直径，过圆上一点D作⊙O的切线CD交BA的延长线于点C，过点O作OE//AD交CD于点E，连接BE．

(1)直线BE与⊙O相切吗？并说明理由；

(2)若CA=2，CD=4，求DE的长．(2022·江苏省泰州市)如图①，矩形ABCD与以EF为直径的半圆O在直线l的上方，线段AB与点E、F都在直线l上，且AB=7，EF=10，BC>5.点B以1个单位/秒的速度从点E处出发，沿射线EF方向运动，矩形ABCD随之运动，运动时间为t秒．

(1)如图②，当t=2.5时，求半圆O在矩形ABCD内的弧的长度；

(2)在点B运动的过程中，当AD、BC都与半圆O相交时，设这两个交点为G、H.连接OG、OH，若∠GOH为直角，求此时t的值．

参考答案1.(1)证明：连接OC，如图，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，

∴BC=BD，

∴∠CAB=∠DAB．

∵∠COB=2∠CAB，

∴∠COB=2∠BAD．

∵∠ECD=2∠BAD，

∴∠ECD=∠COB．

∵AB⊥CD，

∴∠COB+∠OCH=90°，

∴∠OCH+∠ECD=90°，

∴∠OCE=90°．

∴OC⊥CF．

∵OC是⊙O的半径，

∴CF是⊙O的切线；

(2)解：①∵AB=10，

∴OA=OB=OC=5，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，

∴CH=DH=12CD=3．

∴OH=OC2−CH2=4，

∵OC⊥CF，CH⊥OE，

∴△OCH∽△OEC，

∴OCOE=OHOC，

∴5OE=45，

∴OE=254．

∴AE=OA+OE=5+254=454；

②过点F作FG⊥AB，交AB的延长线于点G，如图，

∵∠OCF=∠FGE=90°，∠CEO=∠GEF，

∴△OCE∽△FGE．

∴OCOE=FGFE=45，2.解：【初步尝试】如图1，直线OP即为所求；

【问题联想】如图2，三角形MNP即为所求；

【问题再解】如图3中，CD即为所求．

3.(1)证明：连接OE，

∵AC是⊙O的切线，

∴OE⊥AC，

∴∠OEC=90°，

∵OF⊥BC，

∴∠OFC=90°，

∴∠OFC=∠C=∠OEC=90°，

∴四边形OECF是矩形，

∴OF=EC；

(2)解：∵BD=2，

∴OE=1，

∵∠A=30°，OE⊥AC，

∴AO=2OE=2，

∴AD=AO−OD=2−1=1．

4.解：(1)①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，

∵OA=OC=OB，

∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，

∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，

∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，

∴∠ACB=12∠AOB；

如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，

∵OA=OC=OB，

∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，

∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，

∴∠AOB=∠AOD−∠BOD=2∠ACO−2∠BCO=2∠ACB，

∴∠ACB=12∠AOB；

(2)如图4，连接OA，OB，OP，

∵∠C=60°，

∴∠AOB=2∠C=120°，

∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，

∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=12∠APB=12(180°−120°)=30°，

5.解：(1)连接OA，

∵AB是⊙O的切线，点A为切点，

∴∠BAO=90°，

又∵AB=AC，OA=OC，

∴∠B=∠ACB=∠OAC，

设∠ACB=x°，则在△ABC中，

x°+x°+x°+90°=180°，

解得：x=30，

∴∠ACB的度数为30°；

(2)∵∠ACB=∠OAC=30°，

∴∠AOC=120°，

∴lAC=6.解：(1)∵五边形ABCDE是正五边形，

∴∠ABC=(5−2)×18025=108°，

即∠ABC=108°；

(2)△AMN是正三角形，

理由：连接ON，NF，

由题意可得：FN=ON=OF，

∴△FON是等边三角形，

∴∠NFA=60°，

∴NMA=60°，

同理可得：∠ANM=60°，

∴∠MAN=60°，

∴△MAN是正三角形；

(3)∵∠AMN=60°，

∴∠AON=120°，

∵∠AOD=360°5×2=144°，

∴∠NOD=∠AOD−∠AON=144°−120°=24°，

∵360°÷24°=157.(1)证明：如图，连接OF，

∵AB=AC，

∴∠B=∠C，

∵OF=OC，

∴∠C=∠OFC，

∴∠OFC=∠B，

∴OF//AB，

∵FG⊥AB，

∴FG⊥OF，

又∵OF是半径，

∴GF是⊙O的切线；

(2)解：如图，连接OE，过点O作OH⊥CF于H，

∵BG=1，BF=3，∠BGF=90°，

∴FG=BF2−BG2=9−1=22，

∵⊙O与AB相切于点E，

∴OE⊥AB，

又∵AB⊥GF，OF⊥GF，

∴四边形GFOE是矩形，

∴OE=GF=22，

∴OF=OC=22，

又∵OH⊥CF，

∴CH=FH，

∵cosC=cosB=CH8.证明：(1)∵AD//BC，DF//AB，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D，

∵∠AFC=∠B，∠ACF=∠D，

∴∠AFC=∠ACF，

∴AC=AF．

(2)连接AO，CO，

由(1)得∠AFC=∠ACF，

∵∠AFC=180°−30°2=75°，

∴∠AOC=2∠AFC=150°，

∴AC9.解：(1)∵OA=1=OC，CO⊥AB，∠D=30°，

∴OD=3⋅OC=3，

∴AD=OD−OA=3−1；

(2)∵DC与⊙O相切，

∴OC⊥CD，

即∠ACD+∠OCA=90°，

∵OA=OC，

∴∠OCA=∠OAC，

∵∠ACD=∠ACE，

∴∠OAC+∠ACE=90°，

∴∠AEC=90°10.(1)解：连结OA，如图：

∵∠ACB=20°，

∴∠AOD=40°，

∴AD=40×π×6180=4π3；

(2)证明：∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∵AB切⊙O于点A，

∴OA⊥AB，

∵∠B=90°，

∴OA//BC，

∴∠OAD=∠ADB，

∴∠ADB=∠ODA，11.解：(1)∵OC⊥AB，

∴AD=BD；

(2)设主桥拱半径为R，由题意可知AB=26，CD=5，

∴BD=12AB=13，

OD=OC−CD=R−5，

∵∠OBD=90°，

∴OD2+BD2=OB2，

12.(1)证明：如图1，连接BD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=∠BDC=90°，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵AB//CF，

∴∠ABC=∠FCB，

∴∠ACB=∠FCB，

在△DCB和△FCB中，

CD=CF∠DCB=∠FCBCB=CB，

∴△DCB≌△FCB(SAS)，

∴∠F=∠CDB=90°，

∵AB//CF，

∴∠ABF+∠F=180°，

∴∠ABF=90°，即AB⊥BF，

∵AB为直径，

∴BF是⊙O的切线；

(2)解：如图2，连接BD、OE交于点M，连接AE，

∵AB是直径，

∴AE⊥BC，AD⊥BD，

∵∠BAC=45°，AD=4，

∴△ABD是等腰直角三角形，

∴BD=AD=4，AB=AD2+BD2=42+42=42，

∴OA=OB=22，

∴OE是△ADB的中位线，

∴OE//AD，

∴∠BOE=∠BAC=45°，OE⊥BD，13.解：(1)△ABC是等腰直角三角形，证明过程如下：

∵AC为⊙O的直径，

∴∠ADC=∠ABC=90°，

∵∠ADB=∠CDB，

∴AB=BC，

∴AB=BC，

又∵∠ABC=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形．

(2)在Rt△ABC中，AB=BC=2，

∴AC=2，

在Rt△ADC中，AD=1，AC=2，

∴CD=3．

即14.解：(1)△BDE为等腰直角三角形．理由如下：

∵AE平分∠BAC，BE平分∠ABC，

∴∠BAE=∠CAD=∠CBD，∠ABE=∠EBC．

∵∠BED=∠BAE+∠ABE，∠DBE=∠DBC+∠CBE，

∴∠BED=∠DBE．

∴BD=ED．

∵AB为直径，

∴∠ADB=90°

∴△BDE是等腰直角三角形．

另解：计算∠AEB=135°也可以得证．

(2)解：连接OC、CD、OD，OD交BC于点F．

∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD．

∴BD=DC．

∵OB=OC．

∴OD垂直平分BC．

∵△BDE是等腰直角三角形，BE=210，

∴BD=25．

∵AB=10，

∴OB=OD=5．

设OF=t，则DF=5−t．

在Rt△BOF和Rt△BDF中，52−t2=(25)2−(5−t)2，

解得t=3，

∴BF=4．

∴BC=8．

另解：分别延长AC，BD相交于点G.15.解：(1)直线AC与⊙O相切，理由如下：

∵∠ABC=45°，AB=AC，

∴∠ABC=∠C=45°，

∴∠BAC=180°−2×45°=90°，

∴BA⊥AC，

∵AB是⊙O的直径，

∴直线AC与⊙O相切；

(2)连接OD，AD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵∠ABD=45°，

∴△ABD是等腰直角三角形，∠AOD=90°，

∵AO=OB，AB=4，

∴S△ABD=12⋅AB⋅OD=12×4×2=4，

∴图中阴影部分的面积=16.解：(Ⅰ)∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵C为AB的中点，

∴AC=BC，

∴∠CAB=∠CBA=45°，

∴AC=AB⋅cos∠CAB=32；

(Ⅱ)∵DF是⊙O的切线，

∴OD⊥DF，

∵OD⊥BC，∠FCB=90°，

∴四边形FCED为矩形，

∴FD=EC，

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=2，AB=6，