42不定积分基本公式和运算法则直接积分法

·复习1原函数的定义。2不定积分的定义.3不定积分的性质。4不定积分的几何意义.·引入在不定积分的定义、性质以及基本公式的基础上,我们进一步来议论不定积分的计算问题，不定积分的计算方法主要有三种：直接积分法、换元积分法和分部积分法。·讲解新课第二节不定积分的基本公式和运算直接积分法一基本积分公式因为求不定积分的运算是求导运算的逆运算，所以有导数的基本公式相应地能够获得积分的基本公式以下：12345678

导数公式(kx)k12(x)x1(x)x21(lnx)xx1x()1(ex)ex(ax)axlna(sinx)cosx

微分公式d(kx)kdxd(1x2)xdx211d(x)x2dxd(lnx)1dxxd(x1xdx)1d(ex)exdxd(ax)axdxlnad(sinx)cosxdx

积分公式kdxkxC（k0）xdx1x2C212dx1Cxx1lnxCdxxxdxx1C(1）1exdxexCaxdxaxClnacosxdxsinxC9

(cosx)sinxd(cosx)sinxdx

sinxdxcosxC1102212(tanx)secxdxd(tanx)secxdxdxtanxC2secxdxcosx11(cotx)csc2x21xdxcsc2xdxcotxCd(cotx)cscxdxsin212(secx)secxtanxd(secx)secxtanxdxsecxtanxdxsecxC13(csc)xcscxcotxd(csc)xcscxcotxdxcscxcotxdxcscxC14(arctanx)12d(arctanx)12dx12dxarctanxCxx1x1115(arcsinx)1d(arcsinx)1dx1dxarcsinxC1x2x211x2以上十五个公式是求不定积分的基础，一定熟记，不单要记右端的结果，还要熟习左端被积函数的的形式。求函数的不定积分的方法叫积分法。例1。求以下不定积分。（1）1dx（2)xxdxx2解：（1）12dx＝x2dxx21C1Cx21x（2）xxdx＝352x2Cx2dx5此例表示，对某些分式或根式函数求不定积分时,可先把它们化为x的形式，而后应用幂函数的积分公式求积分。二不定积分的基本运算法例法例1两个函数代数和的积分，等于各函数积分的代数和，即[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(x)dx法例1关于有限多个函数的和也建立的．2法例2被积函数中不为零的常数因子可提到积分号外，即kf(x)dxkf(x)dx（k0）例2求(2x31ex)dx解(2x31ex)dx=2x3dx+dx—exdx=1x4xexC。2注此中每一项的不定积分固然都应该有一个积分常数，可是这里其实不需要在每一项后边加上一个积分常数，因为随意常数之和还是随意常数，所以这里只把它的和C写在末端，此后仿此。注查验解放的结果能否正确，只把结果求导,看它的导数能否等于被积函数就行了.如上例因为(1x4xexC)=2x31ex，所以结果2是正确的。三直接积分法在求积分的问题中,能够直接按基本积分公式和两个基天性质求出结果（如上例）但有时,被积函数常需要经过适合的恒等变形（包含代数和三角的恒等变形)再利用积分的性质和公式求出结果，这样的积分方法叫直接积分法.例3求以下不定积分。(1）(x1)(x1)dx（2）x21xx21dx解：（1）第一把被积函数(x1)(x1)化为和式,而后再逐项积x3分得(x1)dx(xxx111)(x)dxxxxxdxxdx51x22x2x2x52

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dx1dxx。注:（1）求函数的不定积分时积分常数C不可以扔掉，不然就会出现概念性的错误。（2)等式右端的每个不定积分都有一个积分常数,因为有限个随意常数的代数和还是一个常数，所以只需在结果中写一个积分常数C即可。查验积分计算能否正确，只需对积分结果求导，看它能否等于被积函数。若相等,积分结果是正确的,不然是错误的。（2）x21x212(12)dx2dxx2dxx2x111dx2dxx2arctanxC。x21上例的解题思路是想法化被积函数为和式，而后再逐项积分，是一种重要的解题方法，须掌握。x33x22x42x21x42dx。练习1x2dx，222dx，31xx(x1)答案11x23x2ln|x|4C，2arctanx1C，2xx31x3xarctanxC3例4求以下不定积分。（1）tan2xdx(2）sin2xdx24解:（1）tan2xdx(sec2x1)dxsec2xdxdxtanxxC（2）sin2xdx1cosxdx1x1sinxC2222上例的解题思路也是想法化被积函数为和式，而后再逐项积分,可是它实现化和是利用三角式的恒等变换。练习1cot2xdx2cos2xdx3cos2xdx1(x2cosx-sinx答案1cotxxC2sinx)C23sinx-cosxC例5设f2x2x,求.(sin)cosf(x)解：因为f(sin2x)cos2x1sin2x，所以f(x)1x，故知f(x)是1x的原函数,所以f(x)(1x)dxxx2C．2小结基本积分公式，不定积分的性质,直接积分法。练习求以下不定积分。（1）(12)dx（2）(12)dx，2sinx2xsin2xxcos（3）(t1)2dt，（4）(232)dt,（5)(6xx6)dx，t1t21t（6）x41cotx)dx，（cos2x，1dx，（7）csc(cscx8)sin2xdxx25tt2dt,（10）(tan2xxx2ex(9)(cossin)1)dx,(11）e(3)dx。221x2答案1x2cosx2ln|x|C，2tanx-cotxC,31t22tln|t|C，42arcsint3arctanC，256x1x7C，61x3xC，ln6737cotxcscxC,8cotx2C，9tcostC，10tanx2xC，11(3e)x2arc