五年数学习题辅导

练习也“精彩”

小学数学五年级上册“找质数”一课后有这样•道练习:

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“请大家在左边表中圈出所有的质数，看一看除了2和3以外，这些质数

都分布在哪列？"我像往常一样布置了任务，不一会儿，杨瑞洲第一个举起了小

手，他喜出望外地说发现了一个重要规律：“除了第一行外，所有的质数都分布

在1和5这两列中。”虽然他激动得满脸通红，可从其他学生的脸上并没见到

这兴奋表情。大家似乎有些不屑：“我们也发现了啊。”杨瑞洲赶忙又问：“那你

们知道为什么这些质数都在1和5这两列上吗？"大家你看看我、我看看你，

都茫然了。杨瑞洲是班上公认的“数学小天才”，曾经在国际数学比赛上获过奖。

不过看着他有些“卖弄”的神情，班里的其他同学可不买账，大家想“刁难”他一下,

都嚷着让他说明白。

面对这一场意外的“争论”，我忽然想起曾经在网上看过的吴正宪老师“相遇”

一课的视频，她让学生在课堂上成为一个个小老师，去解答其他同学的问题，不

仅气氛活跃，而且学生理解得也透彻。我突发奇想，决定也尝试一下，便退到一

边，让这位“小杨老师”来解决问题。

只见他煞有介事地清了清嗓子，说道：大家看到除了2、3、5以外的质数

都在1和5这两列上，那是因为质数有个特殊的地方，它的因数只有1和它

本身。”

听到这儿，郝子维可坐不住了：你说的和刚才的发现有什么关系啊？！”

“当然有关系了，因为质数的因数只有1和它本身，所以质数就不可能有因

数2和3。”

我发现，许多学生紧皱眉头，显然没有听明白。我顺势举起手来问：“杨老

师(学生大笑)，我没听明白，你说的质数没有因数2和3又与这个题有什

么关系呢？"听到我一问，其他学生也纷纷举手提问。

这时，班上的另一个“种子选手”邢建开站起来说：“杨瑞洲说得没错，书上

也写了因为6=2x3,所以6有因数2和3。”

杨瑞洲恍然大悟，赶紧接着说道：“一个大于6的数除以6,余数是0、2、

4的话，那这个数一定有因数2,也就是2的倍数；而如果余数是3,那这个

数肯定是3的倍数了。”

原来，一个除2、3以外的质数，肯定不是2或3的倍数，所以除以6余

数不可能是0、2、3、4,那就一定余1或5,也就是在1和5这两列。在

争论声中，下课铃声响起了。

课后我思考了很久，同一个练习，为何有的学生提不出问题？这其中“精彩”

的不是学生发现了多少规律，而是学生能够在发现规律后还主动去探寻规律背后

的原因，这也是数学学习中更为本质与核心的东西。新授课时要注重挖掘教材、

关注学生，其实练习课也该如此，同样需要“读懂学生、读懂教材、读懂课堂”。

一、学生如花，教学如养花——读学生：承认差异，因材施教，下要保底,

上不封顶

最近新买了几棵富贵竹，像以前一样插到花瓶里倒上水就等着它生根，可没

想到就两天时间叶子都枯黄了，只好四处“求医问药”。后来听说要在水里放上几

个生锈铁钉才行，果不其然，没几天就长出了绿叶。其实，学生如花，教学如养

花。花的品种各异，学生的能力和水平也各有不同，根据不同情况适时加入一些

催化剂，花会繁茂，学生也会成长。反思平日的教学，尤其是练习课，我们总是

为了形成技能、为了查缺补漏、为了“保底”更关注那些“学困生”，却忽略了这些

学有余力的孩子。“保底”是必须的，但同时更要兼顾这些学有余力学生的思维拓

展和提高。像这样的练习课，我们可以尝试结合习题本身，再开发一些挑战性的

问题，使一部分学生的思维能够向更深处、更广处发展。

别忘记，我们每天面对的是一群有差异的孩子；别忘记，我们可以做他们成

长路上的“催化剂”。

二、深读教材，师必要贤于弟子——读教材：深入挖掘，大处着眼，才能

在课堂中游刃有余

读懂教材，不仅仅要读懂知识的地位和教材的编排特点，还要研究知识的核

心和本质。这节课的练习就是找质数，但我们是否认真思考过神奇的质数背后蕴

含了多少思想和规律：非零自然数按照因数的个数可以分类为质数、合数与1,

认识质数的过程实际上也是通过分类再次认识自然数的过程；几百年来人们都不

曾证明出的哥德巴赫猜想更是彰显了质数的魅力…这些，教师都要做到心中有

数。开普勒说过，“数学就是研究千变万化中不变的关系”，我想这也是编者设

计这个习题的意图所在。教学中，教师首先要问问自己这个规律的出现是为什么，

在显性知识的背后隐含了怎样的思想方法，这样才能对所教知识有更深的认识，

才能有意识地进行拓展。

我认为，“师必要贤于弟子”，要给学生一杯水，我们就得准备一桶水。所以，

深读教材，在关注学生情感、价值观的同时，更重要的是帮助学生了解数学知识

的本质和核心，关注学生的思维发展。

三、遨游课堂，虽意外但精彩——读课堂：放开学生的手，才能放飞思维

的翅膀

海阔凭鱼跃，天高任鸟飞。课堂上要敢于放手，敢于把难点抛给学生，像这

节练习课，学生就是在争论声中、在自主思考的过程中更加明晰了质数的概念，

同时教师与学生之间的角色转变也使得学生成为学习的真正主人——虽“意外”，

但“精彩”。把课堂交给学生，让他们在知识的天空中自由翱翔，让有差异的学生

都能得到最佳发展，我们将会看到越来越多的“小杨老师”的出色表现。

我庆幸，在练习课中出现了这样的小意外；我庆幸，在意外出现时我没有扼

杀学生探索知识的欲望；我庆幸，在意外之后我更深刻地体悟到正确看待学生差

异、深入研究知识本质、给学生提供充分的发展空间是何等的重要。期盼着课堂

上出现更多的小意外。

［赵艳辉老师点评］

对这个小意外的处理，说明杨老师很关注学生。有时学生的发现能力是不可

估量的。五年级学生的思维是很深刻的，善于发现数学规律。学生的这个小意外，

使这节练习课有了深度。让学生表达自己的想法，这一点非常可贵，因为尊重学

生，给时间让学生说出自己的发现，比做一道题更有价值。

杨瑞洲同学的重大发现，其他学生也发现了，这是练习题中的一个问题，看

表格比较容易发现，这个发现也只不过是练习题一个结论性的答案。意外的惊喜

是学生又提出了一个‘为什么”——说明这个学生对数学比较敏感，思维比较深

刻，我们就是要培养这样的学生。

由一位学生抛出一个“为什么”，激发了学生的头脑风暴，这是喜上加喜。不

过，我没有看明白，这个问题杨瑞洲同学在班级讲没讲清楚，还是其他学生讲清

楚了，还是在教师的引导下得到了答案。文章中，杨老师是跳出课堂来解释这个

问题的。如果能简单地把接下来的情况再叙述一下更好，即问题抛出后，生生、

师生是怎样互动的。课堂这一教学过程，也决定你后面要反思什么。

［杨祎老师回复］

再次看到赵艳辉校长的点评，令我豁然开朗、受益匪浅。记得课上杨瑞洲提出问题后确

实要自己解决这个问题，不过在这中间他也遇到了困难，是大家一起思考和讨论才解决了这

个问题。

课后我也思考了很长时间，我想这其中“精彩”的不是学生发现了多少规律，而是他们发

现规律后还能主动去讨论探寻规律背后的原因，这也是数学中更为本质与核心的东西。像杨

瑞洲这样学有余力的学生，每个班级都会有，如何能让他们在练习课中也得到更进一步的发

展呢？我之前一直在思索对于教材的挖掘是不是深刻，却忽视了关注不同层次学生的重要

性。不论新授课还是练习课，同样都需要读懂学生、读懂教材、读懂课堂。

本文作者杨祎（东北师范大学附属小学）

本文摘自《新世纪小学数学》杂志

《练习一》教学指导

第1题

先让学生找15的因数和倍数，交流找因数和倍数的方法。在此基础上，还可以引导学

生观察15最大的因数是儿，15最小的倍数是儿。

第2题

可以让学生先列出9的倍数（54以内）：9,18,27,36,45,54。再列出54的

所有因数：1,2,3,6,9,18,27,54。然后，再回答问题。答案：这个数有四种可能:

9、18、27、54,对不同的学生可以有不同的要求，不一定要所有学生把四种全部找出来。

第3题

主要要引导学生交流一下判断的方法。如果学生有困难，可以分层次进行，可以先填奇

数和偶数，再填质数和合数。

第4题

本题是对本单元所学概念的理解巩固与综合运用。第1题结论是5,第2题结论是13

和2,第3题的结论是36或92。在完成本题基础上，教师还可以引导学生运用本单元知

识自己编一些这样的题，促进学生对概念的理解。

第5题

先让学生解决第一个问题，并交流是如何思考的，一般可以从每盒瓶数是不是90的因

数考虑，也可以用除法来解决，6、5、3都是90的因数，能正好装完，8不是90的因数,

不能正好装完。第二个问题是引导学生思考90还有哪些因数，同时还要注意联系生活实际,

如每盒2瓶，9瓶，10瓶等都较合理，每盒90瓶就不太合理。

第6题

本题为思考题，主要是引导学生探索、研究“三个连续自然数组成的数一定是3的倍数”

的规律。教学时，可以提出问题，引导学生根据3的倍数自主探索，交流研究结果，最后

得出结论。

"尔知道吗》

教师可以结合史料详细介绍哥德巴赫猜想和陈景润的研究成果，激发学生研究数学的兴

趣和民族自豪感。帮助学生理解“猜想”时，可以让学生自己再举一些例子，例10=3+7,

18=11+7,42=31+11等。

《找质数》教学指导

K教学目标》

1.在用小正方形拼长方形的活动中，经历探索质数与合数的过程，理解质数和合数的

意义。

2.能正确判断质数与合数。

3.在研究质数的过程中，了解数学史，丰富对数学发展的认识，感受数学文化的魅力。

K教材分析。・教学建议》

根据前面“找因数”编写的思路，教材继续按小正方形拼长方形的方法，引导学生认识质

数与合数。教材将上节课已经尝试过的“用12个小正方形拼长方形”作为示范，引导学生继

续拼长方形，找出1~12各个数的全部因数，并填入表中进行观察和分析。通过这一拼图

的活动，让学生体会小正方形个数、拼成的长方形的种数与小正方形个数的因数三者之间的

关系，引导学生发现有的只能拼成一种长方形，这样的数只有1和它本身两个因数，有的

能拼成两个或两个以上的长方形，这样的数有两个以上的因数。在讨论交流的基础上，再将

这些数分为两类，并揭示质数、合数的概念，指出“1既不是质数，也不是合数”。

教学时，先组织学生开展拼小正方形的活动，边拼边写，写出拼成的长方形数和小正方

形个数的因数。在此基础上，引导学生观察并提出问题：“这些正方形的个数，有的只能拼

成一种长方形，有的可以拼成两种或两种以上的长方形，这是什么原因呢？”随后组织学生

观察、比较、分析，逐步发现特征，并把这几个臼然数分类，揭示质数和合数的意义。为了

增加数据的典型性，教师还可以增加几个数，如18,24等。“1既不是质数，也不是合数”

的理解也要让学生结合概念来讨论。

学生初步理解质数与合数的概念后，教师可以出几个数，让学生运用概念判断是质数还

是合数。让学生先独立尝试后，重点组织学生交流“怎样来判断■■个数是质数还是合数”，教

师进行必要的指导。一般来说，首先可以用“2、5、3的倍数的特征”判断这个数是否有因

数2、5、3：如果还无法判断，再可以用7、11等比较小的质数去试除，看有没有因数7、

11等。只要找到一个1和本身以外的因数，就能肯定这个数是合数。如果除了1和它本身

找不到其他因数，这个数就是质数。

K探索活动X

第1题

本题是利用古老的“筛法”设定的情境，引导学生用“筛法”寻找100以内的质数。教学

时.，教师应根据教材呈现的过程引导学生有步骤、有目的地操作、观察和交流，找出100

以内的质数。结合操作的过程，教师可以适时地告诉学生：我们今天采用的研究质数和合数

的方法，是两千多年前希腊学者提出的研究质数的方法，被称为“筛法”。现在随着计算机技

术的发展，这种操作方法可以编成程序让计算机进行操作，这样使学生了解数学发展的历史,

感受到数学文化的魅力，丰富学生对数学发展的认识，激起学生探究知识的欲望和兴趣。

第2题

本题主要是引导学生通过操作、观察，探索规律。第（1）、（2）小题，学生会发现

这些质数都分布在1和5这两列中，这时，学生肯定会产生疑问，为什么在这二列呢？教

师可以组织学生观察讨论：因为2、4、6三列除2以外，其他的数都是2的倍数，这些数

除了1和本身以外，至少有“2”这个因数，就不是质数。第3列除3以外都是3的倍数，

这些数除了1和本身以外，至少有“3”这个因数，也就不是质数。第（3）小题，不作全面

要求，可以引导学有余力的学生进一步探索。这个结论是对的，主要理由是：用6除一个

大于6的自然数，余数是0,2,4的数，这个数肯定是2的倍数；余数是3的数，这个数

肯定是3的倍数。学生可以用自一的语言来表达，即使不太完整，教师都应给予肯定和鼓

励。

《找因数》教学指导

K教学目标》

1.在用小正方形拼长方形的活动中，体会找一个数的因数的方法，提高有序思考的能

力。

2.在100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数。

K教材分析与教学建议》

教材设计了“用小正方形拼长方形”的活动，教材首先让学生思考“用12个小正方形拼

成一个长方形，有哪几种拼法？”然后引导学生在方格纸上画一画，写出乘法算式，再与其

他同学交流。在思考有“哪几种拼法”时，学生的思路一般会用乘法思考：哪两个数相乘等于

12?然后一对一对找出“1x12”、“2x16”、“3x4”。这种思路其实就是找一个数的因数的

基本方法，而借助“拼小正方形”的活动，则会更有利于学生对此方法形象的理解。在学生充

分交流的基础上，再指出1,2,3,4,6和12是12所有的因数。

教学时，教师可以先提出问题：“用12个小正方形拼成一个长方形，有哪几种拼法？”

然后组织学生进行“拼”或“画”的活动，并展开充分的交流。交流的重点是学生思考的过程，

体会用“想乘法算式”找一个数的因数的方法。在学生交流的过程中，教师要引导学生关注“有

序思考”的方法，并逐步体会一个数的因数的个数有限的。试一试是找因数的基本练习，可

以让学生独立尝试，反馈时注意学生能否有序思考。

K练一练U

第2题

先让学生自己找一找18的因数和21的因数，并用不同的符号作好记号，然后让学生

说说是找因数的方法。最后，说说哪几个数既是18的因数、又是21的因数。

第3题

利用数形结合，进一步体会找因数的方法。

第5题

可以引导学生用找因数的方法进行思考，48=1x48=2x24=3x16=4x12=6x8,

48有10个因数，就有10种排法，如每行12人，排4行；每行4人，排12行等。37

只有2个因数，只有两种排法。

探索活动(二)：3的倍数的特征》教学指导

K教学目标？

1.经历探索3的倍数的特征的过程，理解3的倍数的特征，能判断一个数是不是3

的倍数。

2.培养学生分析、比较、猜测、验证的能力，提高学生的合情推理能力。

K教材分析与教学建议》

教材首先提出“我们研究了2、5倍数的特征，那么3的倍数有什么特征呢？”的问题，

目的是引导学生思考和探索3的倍数的特征。教学时，可以借助这个问题引导学生提出猜

想。在探索3的倍数特征时，教材利用100以内的数表来研究，先让学生找出3的倍数，

再观察特征，说说有什么发现,学生可能受知识迁移的影响去研究个位上的数与十位上的数，

但都无法发现规律。适当的时候，教师可以作一定的提示：“将3的倍数每个数的各个数字

加起来观察呢？”以帮助学生逐步发现规律。在初步得出结论的基础上，教师应进一步提出：

“这个规律对三位数是否成立？”的问题，促使学生能自己找几个三位数来验证规律。需要注

意的是在日常的练习与学习评价时，一般只要求学生判断100以内的3的倍数。

教学时，可以先引导学生提出猜想，学生可能会猜想：个位上能被3整除的数能被3

整除等，教师可以组织学生第一次讨论、研究。再引导学生从100以内的数表中找出3的

倍数进行研究,在发现个位上的数与十位上的数都无法找到规律时，教师可以作进一步引导。

可以引导学生沿斜线观察3的倍数，如第一组3、12、21,第二组数6、15、24、33、

42、51,引导学生观察发现了什么；也可以让学生用学具在数位表中摆数进行研究，如拿

3枚棋子摆一位数或两位数，可以摆出3、12、21三个数，都是3的倍数，用4枚棋子可

以摆出4,13,31,22,40等，都不是30的倍数；或者也可以在适当的时机，教师直接

提示将3的倍数每个数的各个数字加起来再观察，逐步引导学生发现规律，从而归纳出3

的倍数的特征。

K练一练》

第2题可以让学生准备几张卡片，边摆边想，再交流讨论思考过程。参考答案：(1)

30,45,54；(2)30,54；(3)30,45；(4)30。

R实践活动X

设计的目的是让学生运用研究“3”的倍数方法去研究9的倍数。教学时，按书上的几个

问题分层次展开研究。参考答案：(1)这个数各位数字之和是9的倍数；(2)9、18、

27.....31等这些9的倍数的排列特征是：排在一条斜线上；(3)这些数在90、99这一

条斜线上。教学时，一定让学生经历涂、画等过程，使学生获得真实的体验。

《探索活动(二)：3的倍数的特征》教学指导

K教学目标》

1.经历探索3的倍数的特征的过程，理解3的倍数的特征，能判断一个数是不是3

的倍数。

2.培养学生分析、比较、猜测、验证的能力，提高学生的合情推理能力。

K教材分析与教学建议』

教材首先提出“我们研究了2、5倍数的特征，那么3的倍数有什么特征呢？”的问题，

目的是引导学生思考和探索3的倍数的特征。教学时，可以借助这个问题引导学生提出猜

想。在探索3的倍数特征时，教材利用100以内的数表来研究，先让学生找出3的倍数，

再观察特征,说说有什么发现,学生可能受知识迁移的影响去研究个位上的数与十位上的数,

但都无法发现规律。适当的时候，教师可以作一定的提示：“将3的倍数每个数的各个数字

加起来观察呢？”以帮助学生逐步发现规律。在初步得出结论的基础上，教师应进一步提出：

“这个规律对三位数是否成立？”的问题，促使学生能自己找几个三位数来验证规律。需要注

意的是在日常的练习与学习评价时，一般只要求学生判断100以内的3的倍数。

教学时，可以先引导学生提出猜想，学生可能会猜想：个位上能被3整除的数能被3

整除等，教师可以组织学生第一次讨论、研究。再引导学生从100以内的数表中找出3的

倍数进行研究，在发现个位上的数与十位上的数都无法找到规律时，教师可以作进一步引导。

可以引导学生沿斜线观察3的倍数，如第•组3、12、21,第二组数6、15、24、33、

42、51,引导学生观察发现了什么；也可以让学生用学具在数位表中摆数进行研究，如拿

3枚棋子摆•位数或两位数，可以摆出3、12、21三个数，都是3的倍数，用4枚棋子可

以摆出4,13,31,22,40等，都不是30的倍数；或者也可以在适当的时机，教师直接

提示将3的倍数每个数的各个数字加起来再观察，逐步引导学生发现规律，从而归纳出3

的倍数的特征。

K练一练?

第2题可以让学生准备几张卡片，边摆边想，再交流讨论思考过程。参考答案：(1)

30,45,54；(2)30,54；(3)30,45；(4)30。

(实践活动X

设计的目的是让学生运用研究“3”的倍数方法去研究9的倍数。教学时，按书上的几个

问题分层次展开研究。参考答案：(1)这个数各位数字之和是9的倍数；(2)9、18、

27.....B1等这些9的倍数的排列特征是：排在一条斜线上；(3)这些数在90、99这一

条斜线上。教学时，一定让学生经历涂、画等过程，使学生获得真实的体验。

探索活动(一)：2、5的倍数的特征》教学指导

K教学目标』

1.经历探索2、5倍数特征的过程，理解2、5倍数的特征，能判断一个数是不是2

或5的倍数。

2.知道奇数、偶数的含义，能判断一个数是奇数或偶数。

3.在观察、猜测、讨论过程中，提高探究问题的能力。

R教材分析与教学建议》

教材把课题确定为“探索活动（-）”，主要目的是要让学生经历探索知识的过程。教材

设计了让学生从100以内的数表中找出5和2的倍数并观察特征的活动。教材先安排学生

研究5的倍数的特征，再研究2的倍数的特征。然后，结合认识2的倍数的特征，揭示偶

数和奇数的含义。对于5和2的倍数的特征，应引导学生在观察、交流的基础上自己归纳。

教学时，先让学生在100以内的数表中找出5的倍数，用自己的方式做上记号（可以

用。、△、等符号），并观察、思考5的倍数有什么特征。在此基础上组织学生交流，对

学生的语言不要作统一的规定，学生只要清楚地表达了自己的想法，教师都应给予鼓励。最

后，引导学生归纳5的倍数的特征：个位上是0或5的数是5的倍数，并尝试用5的倍数

特征来判断一个数是不是5的倍数。在研究5的倍数特征的基础上，可以引导学生应用同

样的研究方法独立或合作研究2的倍数特征。在学生理解2的倍数的特征后再揭示偶数、

奇数的含义，并进行“你说我答”的判断练习。

K练一练U

第2题

引导学生先独立思考，然后组织学生交流自己的思考方法。在引导学生判断时，应根据

2、5的倍数的特征说明判断。如“因为85不是2的倍数，所以不能正好装完；”又如“因为

85是5的倍数，所以能正好能装完。”

R数学游戏X

这是围绕“2、5的倍数的特征”设计的数学游戏，通过游戏加深学生对2、5的倍数特

征的理解，提高学生分析、判断、推理的能力。教学时，可以为学生准备好数字卡片，卡片

可以放在袋子内，也可以放在信封内（或者直接将数字卡片反放在桌子上进行游戏）。游戏

可以分层次进行：第一轮游戏可以先让学生任意摸一张数字卡片，与“5”组成的两位数后，

再判断组成的数是不是2的倍数。在此基础上，开展第二轮游戏，要求学生在摸之前先说

说“摸出几和5组成的两位数是2的倍数”，然后按照这一顺序：摸数、组数和判断。第三

轮游戏，先讨论“摸出几和5组成的两位数是5的倍数”，再进行游戏，逐步让学生体会摸

出任何数与5组成的两位数，都是5的倍数。当然，在学生比较熟练的基础上，也可以调

换卡片，如把已知的卡片“5”换成“6”，这样可以继续开展游戏。

《数的世界》教学指导

K教学目标』

1.结合具体情境，认识自然数和整数，联系乘法认识倍数和因数。

2.探索找一个数的倍数的方法，能在100的自然数中，找出10以内某个自然数

的所的倍数。

K教材分析与教学建议1

教材创设了一个“水果店”的情境，呈现了生活中的数有自然数，负数，也有小数，在比

较中认识臼然数和整数，使数的认识进一步系统化。然后，教材并没有像原来那样从整除的

概念入手，从整除出发认识倍数和因数，而是利用整数乘法认识倍数和因数。教材是在解决

问题的过程中引导学生列出算式5、4=20元，以这个整数乘法算式为例说明倍数和因数的

含义，即20是4的倍数，20也是5的倍数，4是20的因数，5也是20的因数，引导学

生认识倍数与因数，体会倍数与因数的含义。最后，安排了“找一找”的内容，判断一个数是

不是7的倍数和找7的倍数，指导学生利用原有的乘除法知识，探索找一个数的倍数的方

法。

教学时，教师首先可以利用教材中的情境图，让学生说说从图中可以找到哪些数，除了

教材中已经呈现的自然数、负数、小数，还可以学生结合“半个西瓜”说分数，然后引导学生

把这些数分一分，再揭示自然数、整数等概念。还可以让学生在课后寻找用自然数、整数、

小数、分数、负数表示的信息，记录下来并与同学交流，使学生体会生活中的各种数。然后，

教师在利用"5x4=20”说明倍数和因数的含义，再举一些例子，让学生根据算式说说倍数

与因数，也可以让学生自己举一些例子来说一说，在说的过程中体会倍数和因数的相互依存

关系。在利用乘法算式说明倍数和因数含义的基础上，教师还可以出示一个除法算式，如

“18+6=3”，启发学生思考，根据整数除法算式能不能确定两个数之间倍数和因数的关系。

教学中要向学生说明：在研究倍数和因数时，范围限制为不是零的自然数。

“找一找”的教学可以分成两个层次进行，先进行判断这些数是不是7的倍数的教学，

教师可以先让学生用自己的方法判断，再组织学生进行交流，使学生逐步体会可以通过想乘

法算式或想除法算式的方法来判断。再进行找7的倍数的教学，引导学生体会一般可以用

想乘法算式的方法来找一个数的倍数，要注意引导学生有序思考，并逐步让学生领会一个数

的倍数的个数是无限的。

K练一练?

第1题

本题主要是进一步加深学生对倍数与因数的关系的理解，可以让学生同桌间互相写算

式，再说一说。算式可以是乘法算式，也可以是除法算式。

第2题

先让学生自己找一找4的倍数和6的倍数，并用不同的符号作好记号。然后组织学生

交流，并让学生说说找倍数的方法。最后，说说哪几个数既是4的倍数、又是6的倍数。

第3题

先让学生独立写•写，再组织学生交流各自的方法，并在交流比较过程中体会怎样做到

不重复、也不遗漏。像这样找一个数的倍数，一般用乘法想比较方便。

《倍数与因数》教学指导

K单元教学目标X

1.经历探索数的有关特征的活动，认识自然数和整数，认识倍数和因数，

能在1~100的自然数中找出10以内某个自然数的所有倍数，能找出100以内

某个自然数的所有因数。知道质数、合数，能判断一个数是质数或合数。

2.经历2,3,5的倍数特征的探索过程，知道2,3,5的倍数的特征，

能判断一个数是不是2,3或5的倍数。知道奇数和偶数，能判断一个数是奇数

或偶数。

3.能根据解决问题的需要，收集有用的信息，进行归纳、类比与猜测，发

展初步的合情推理能力。

4.积极参与探索活动，在探索数的特征的过程中，体会观察、分析归纳或

猜想验证等探索方法，在数学活动中体验数学问题的探索性和挑战性。

K单元学习内容的前后联系H

后续学习的相关内容:

五年级上册

・公因数、约分

・公倍数、通分

K单元教材分析］

本单元是在学生学过整数的认识，整数的四则计算，小数、分数、负数的认识等知识的

基础上展开学习的。本单元的学习内容主要包括认识自然数和整数，倍数与因数，找倍数；

2,5,3倍数的特征；找因数；质数与合数，奇数与偶数等知识，使知识进一步系统化。

这些知识的学习是以后学习公倍数与公因数、约分、通分、分数四则计算等知识的重要基础。

本单元的知识属于“数论”的初步知识，概念比较多，有些概念比较抽象，概念的前后联

系又很紧密，部分学生学习时会有一定的困难。教材明确规定在研究倍数与因数时，限制在

不是零的自然数范围内研究，避免由此而带来的一些小学生尚不必研究的问题。

教材编写时主要体现了以下特点：

1.利用乘法引导学生认识倍数和因数

教材在揭示倍数和因数的概念时，没有象原来的教材那样，先揭示整除的概念，再利用

整除认识倍数和因数。而是让学生根据现实情境列出乘法算式，利用乘法认识倍数和因数。

在找个数的倍数时，也是让学生运用乘除法的知识，探索找一个数的倍数的方法。

2.分散编排，减少术语，适当降低学习的难度

本册教材充分考虑到学生的认知特点和数学课程标准的要求，对学习的内容进行重新研

究与整合，以体现数学学习内容之间的联系。“倍数利因数”知识内容多，概念多，安排在一

个单元里学习学生接受比较困难，所以教材采用分段学习的安排。本单元先学习倍数、因数、

2、3和5的倍数的特征以及找质数、合数等知识。在第三单元中，将结合分数的约分、通

分前，再学习公因数和公倍数等知识。这样安排将有利F学生感受数学知识之间的联系，体

会前后知识学习的必要性。

同时，根据课程标准具体内容目标的要求，本册教材在处理具体的内容安排上，适当地

降低了知识的难度。如找倍数和找因数都在100以内。又如与原来教材的内容相比，减少

了一些数学术语，以减少学习过程中的死记硬背现象，减轻学生的记忆负担。如教材没有呈

现整除、互质数、质因数、分解质因数等概念。

3.注重引导学生在数学活动中探索数的特征

教材非常强调学生的数学学习活动，倡导多样化的学习方式，组织学生在活动中探索、

发现数的特征。如在探索2、5和3的倍数的特征时，都是先让学生在100以内数的表格

中圈出2、5或3的倍数，再通过分析归纳或猜想验证等方法发现它们的倍数的特征；又如

在学习“找因数”、“找质数”时，都是先组织学生开展拼小正方形的活动，逐步发现规律，这

与原有教材相比应该说是一个明显的变化。

R课时安排建议1

内容建议课时数

数的世界

探索活动（一）：2,5的倍数特征

探索活动（二）：3的倍数特征

找因数

找质数

专题活动：数的奇偶性

本单元建议教学课时数：9课时。

K教学评价建议』

本单元知识技能评价主要围绕以下儿个方面：在1~100的自然数中，能找出10以内

某个臼然数的所有倍数；能根据2、3、5的倍数的特征，判断一个数是否是2、3或5的

倍数；在1〜100的自然数中，能找出某个自然数的所有因数；会正确判断一个数是奇数或

偶数；会正确判断一个数是质数或合数。

评价倍数与因数的知识，可以直接写出一个数的倍数或因数，如100以内8的倍数有

（）,56的因数有（）。也可以判断一些数是否某个数的因数或倍数，如在

20,6,12,3,48,1,4,18,24这些数中，48的因数有（），6的倍数有（）。

还可以用集合的方式填数。

评价2、3、5的倍数的特征、奇数或偶数等知识，可以直接判断，如把下列各数填入

适当的圈里。

25,64,70,671,248,165,77,88,9

奇数：

偶数：

也可以让学生按要求写一些数，如按要求写数（各写出三个）：①2的倍数：（）；

②5的倍数：（）；③3的倍数：（

在评价质数与合数的知识时，数据不要太大，质数的判断一般是数据较小的常用数为主。

另外，评价的目的是为了全面了解学生的学习状况，激励学生的学习热情，促进学生的

全面发展。为此，除了恰当地评价学生的基础知识和基本技能，还要通过观察、成长记录、

谈话、作'也、活动等方式对学生的发展状况进行恰当的评价。在本单元探索活动比较多，可

以通过观察等手段，评价学生能否积极参与探索活动，通过观察、思考发现某类数的共同特

征，并用自己的语言主动与同学进行交流，观察学生能否有条理地表达自己的意见，能否运

用相关概念进行简单的分析、判断和推理。

整理与复习（一）》教学指导

K你学到了什么X

随着学生年龄的增长，及时整理已学的内容将成为学生良好学习习惯的重要

方面。在本册教材中安排的“你学到了什么"，主要是通过学生从两个方面思考、

整理已学的内容，前一个思考是对知识的简单整理，并会与同学交流；后一个思

考主要是回忆学过的解决解决问题的策略并举例以说明。这两个方面的思考，也

将是学生后续学习中需要经常对自己所学知识能进行反思的方面。

学生初步开始独立地整理知识时，可能会有些困难。为此，教师可以在课堂

与学生共同讨论知识的整理过程。首先，可以请学生将所学的知识进行罗列（可

能罗列中不能按逻辑顺序写下来），这种罗列能详细一些更好。其次，能对罗列

的知识进行归类，把同一类的知识放在一起，并用适当的语言进行概括。再次，

分析概括知识内容之间的前后联系。最后，将整理的内容誉写在教材的空白处。

解决问题的策略回忆最好与学生所学的知识结合起来，如在学习平行四边形

的面积时，学习了将新知识转化为旧知识的方法。然后，再请学生能用具体的图

形来加以说明。

K练一练》

第1,2题

在指导学生解答时，需要学生善于运用举例的方法，即根据题目中的要求，

罗列符合条件的数，然后再逐步进行筛选。

第3题

学生在解答本题后，教师应组织学生讨论这四个图形变化之间的关系，特别

是三角形、梯形与平行四边形的关系。如果有条件的学校，可以运用活动教具的

演示，先出示平行四边形，然后逐步减少上底的长度，直至上底为零。通过这种

演示，可以让学生较深刻地体会到这三种图形的关系。

第4题

估计图形的面积是帮助学生建立图形大小空间观念的基础，为此，在先测量

图形底与高，后计算面积的题目中，都应该组织学生先估一估面积，然后安排测

量与计算的活动。

第5题

根据已知的面积与其中…条底（或者高）求三角形的另一条高（或者底），

是一种逆向思维运用三角形面积计算的方法，可能有些学生会产生一定的困难。

为此，解决类似的问题，本教材均采用列方程的思路，通过建立等量关系的方法,

求出问题。

第6,7题

本题可以先让学生独立地做一做、想一想，然后再组织讨论。在讨论中的重

点应是梯形上、下底和的变化情况。虽然本题上底与下底发生了变化，但其上、

下底的和仍然没变，所以梯形的面积也就没有变。在讨论的过程中，还应指导学

生运用验证的方法，即当发现“面积不变”时，会用其它的数据来检验这一发现是

偶然的巧合，还是存在一定的规律。

在学生发现规律中，也可以安排一些上底与下底变化不对应的题目，如上底

增加2厘米，下底减少3厘米，梯形的面积是多少？通过这些题目的补充，让

学生进一步理解梯形面积在什么情况下是不变的，什么情况下是变化的道理。

第8题

一般在解答本题时的基本思路是人行道的面积除以每块地砖的面积，但本题

由于宽的长度是4米，因此产生了地砖不能完整地进行排列的情况。为此，在

与学生讨论中，可以呈现部分直观图，通过图的分析，让学生理解地砖的实际使

用量。

第9题

寻找“万能钥匙”的基本策略是运用筛选法，即根据提供的四个方面条件，逐

一进行筛选，直至最后寻找到符合条件的“万能钥匙”。根据本题提供的条件，先

确定两位数，然后根据“是5的倍数”与“是一个奇数”这两个条件，可以初步知道

这个数可能是：95,85,75,65,55,45,35,25,15。最后，根据“所有

因数的和为48”这一条件，可以排除“95、85、75、65、55”这五个数的可能,

接着对“45、35、25、15”四个数按从大到小的顺序，求上述数的所有因数，直

至寻找到符合条件的数。本题的答案是：35o

练习二》教学指导

第3题

有条件的班级，可以在学生观察前先组织学生动手剪一剪，以积累学生体验图形变化的

经验。然后组织学生交流图形是怎样从平行四边形变化到三角形的。接着可以分别给这些图

形的底与高标上字母，并写出面积计算的方法，从中让学生来比较它们之间的关系。

第4题

计算草地的面积，常用的方法是大面积减去小面积，即整个平行四边形的面积减去•中间

长方形的面积。所以说，这一道题可以先让学生独立的练习，在学生练习的基础上，师生共

同讨论解决问题的思路。可能在讨论中，学生会提出图形的平移问题，即将两块被分割的草

坪经平移后，合为一块完整的平行四边形，因此，其计算方法是：(20-1)*8。这一思

路比前者的思路要简洁得多，也是学生今后解决相关图形问题重要的思维方法，应引导学生

理解与掌握。

K探索』

为让学生较充分地开展探索，教师事先可以为学生提供一张较大的方格图纸，然后根据

题目的条件，逐一画出周长是16厘米的图形，随后再比较每个图形面积的大小，并确定最

终符合题意的图形。因为直接画面积尽可能小的图形，对学生来说是不现实的，他们只有通

过列举的方法，才能探索出他们需要的图形。

《练习二》教学指导

第3题

有条件的班级，可以在学生观察前先组织学生动手剪一剪，以积累学生体验图形变化的

经验。然后组织学生交流图形是怎样从平行四边形变化到三角形的。接着可以分别给这些图

形的底与高标上字母，并写出面积计算的方法，从中让学生来比较它们之间的关系。

第4题

计算草地的面积，常用的方法是大面积减去小面积，即整个平行四边形的面积减去中间

长方形的面积。所以说，这一道题可以先让学生独立的练习，在学生练习的基础上，师生共

同讨论解决问题的思路。可能在讨论中，学生会提出图形的平移问题，即将两块被分割的草

坪经平移后，合为一块完整的平行四边形，因此，其计算方法是：(20-1)x8»这一思

路比前者的思路要简洁得多，也是学生今后解决相关图形问题重要的思维方法，应引导学生

理解与掌握。

K探索』

为让学生较充分地开展探索，教师事先可以为学生提供一张较大的方格图纸，然后根据

题目的条件，逐一画出周长是16厘米的图形，随后再比较每个图形面积的大小，并确定最

终符合题意的图形。因为直接画面积尽可能小的图形，对学生来说是不现实的，他们只有通

过列举的方法，才能探索出他们需要的图形。

《探索活动（三）一一梯形面积》教学指导

（教学FI标』

1.在实际情境中，认识计算梯形面积的必要性。

2.在自主探索的活动，经历推导梯形面积公式的过程。

3.能运用梯形面积公式的计算方法，解决相应的实际问题。

R教材分析与教学建议』

与前两个探索活动相似，本专题的探索活动内容安排的形式也是三个部分。第一部分是

呈现实际情境中学习梯形面积计算方法的必要性；第二部分是学生探索梯形面积可能出现的

几种情况；第三部分是在探索的基础上，归纳梯形面积计算的公式。

教材之所以把这三个探索活动编写为同样的呈现方式，其目的是让学生在探索的过程

中，不仅是探索解决问题的结果，更为重要的是把这种探索的思维方法渗透给学生。所以说,

探索（一）的活动是在教师的引导，让学生初步体验探索的过程，那么探索（二）、（三）

则是希望学生在探索的过程中，不仅巩固这种思维的方法，而且能逐步形成这种思考问题的

习惯。因此，在开展本活动中，教学的重点仍应在放在学生形成思考问题的习惯上。

在课堂上，当学生探索解决梯形面积的问题时，可以让学生开展独立地自主探索，而且

课前可以让学生准备的一些梯形纸片的材料、大小也不要求全班统一，这样在后续的归纳中

可以让学生进一步体会梯形面积公式的本质特点。

对于探索的具体方法，教材中呈现了三种，估计学生在独立地探索中，一般会运用第一

种方法，而第二、三种的方法可能只有部分学生。对此，在教学中应根据学生的实际情况确

定，不要求所有的学生都去掌握三种方法。如果全班只有一种方法，那么也应充分地鼓励学

生，然后请学生阅读教材，作为一种知识的了解即可。

K练一练W

第4题

学生在解决“这堆圆木有几根？”时，可以先放手让学生尝试，有些学生可能是一层层计

算解决；有些是把这堆圆木的横截面转化成一个长方形后来解决：也有些可能是运用梯形面

积公式的方法解决。只有在学生独立思考的基础上，然后再组织学生认识梯形面积公式的方

便性。

探索活动（二）一一三角形的面积》教学指导

K教学目标』

1.在实际情境中，认识计算三角形面积的必要性。

2.在自主探索中，经历推导三角形面积计算公式的过程。

3.能运用三角形面积的公式，计算相关的图形与解决实际问题。

K教材分析与教学建议》

教材编写呈现的内容是先提出解决一张三角形彩纸面积的问题，这是学生新面临的问

题。这样安排是为了让学生感到学习三角形面积计算的必要性，也为引起他们探索问题的兴

趣提供一个平台。接着教材提示性地呈现了两种主要的探索方法：一种是通过数格子的方法

来解决实际的问题；另一种是图形转化的方法。这两种方法仅仅是学生在探索中出现的可能

性较大的方法，在学生的实际探索中，可能还会有其它的不同方法。最后安排归纳三角形面

积的计算公式。

本课时的教学设计可以与前面平行四边形的程序相同，即提出问题一一寻找解决问题的

方法一一归纳基本的计算方法，并把这一解决问题过程作为学生思维训练的一个过程，逐步

让学生熟悉、形成这一解决问题的思维方法。所以说，教学的设计可以作如下几个方面的思

考：

一是呈现解决实际问题的题材。在复习平行四边形面积计算的知识后，逐步呈现出教材

中安排计算一张三角形彩纸面积的问题（也可以根据各地的情况，呈现其它的题材），并询

问学生如何解决这一问题。

二是自主探索解决问题的方法。由于学生已经有了平行四边形面积计算公式的推导过程

经验，因此，学生在探索解决问题的方法时可以作为独立思考的活动。同样，为确保学生探

索的顺序进行，课前也可以让学生准备一些三角形的纸片、方格纸等材料。对于学生探索的

解决问题的方法，除了数格子的方法外，就是将三角形转为平行四边形或者长方形。对此，

应充分发挥学生的积极性，不要把探索的方法仅仅局限在教材中呈现的几种方法内。同时，

也不要过分地强调学生必须把书本中呈现的方法都有要一一探索出来。因为学生在探索的过

程中，有他们自己的想法，应尊重学生的选择，而不应全班都是统一的模式。

三是归纳三角形面积计算的方法。在学生探索的基础上，教师可以组织学生对探索的方

法进行比较，比较的要点主要是：不同探索方法的共同特点；三角形底、高、面积与平行四

边形的底、高、面积的关系；三角形面积计算公式与平行四边形面积计算公式的异同等。

在学生的探索活动中，需要注意的是学生利用平行四边形的图形来探索三角形面积的计

算方法，即将平行四边形沿着对角线剪，也可以得到两个相同三角形，从而证明三角形面积

是平行四边形面积的一半。这也是学生探索中的一种较为简洁的方法，如果学生出现这样的

情况，应给予鼓励。

K练一练』

第2题

在学生计算后，可以组织学生讨论发现什么？由于学生有了前面平行四边形“等积变形”

的认识，所以，三角形的“等积变形”认识会相对容易一些。但教师在组织讨论时，应引导学

生能自觉思考“为什么它们面积会相等？”的问题，而不要采取•问一答式的“发现”。

第3题

学生在测量三角形的对应底与高时，首先应指导学生确定测量对象的对应性，即测量的

对象应是一组对应的底与高，而不是盲目地测量。从理论上分析，学生在测量时可以有三种

测量的选择（可能每一种测量中会出现误差），这只要向学生说明白即可。其次在测量前应

作三角形的高，即确定一条底边后，可以先作这条底边的对应高，然后再测量底、高的长度。

由于测量时可能会有些误差，所以，应允许学生存在一些测量误差，不要过早地否认他们测

量的不准确，以伤害学生学习的积极性。

《探索活动（一）一一平行四边形的面积》教学指导

K教学目标》

1.在通过操作活动中，经历推导平行四边形面积的计算公式的过程。

2.能运用平行四边形面积的计算公式，计算相关图形的面积并解决一些实际问题。

R教材分析与教学建议』

教材首先呈现的是公园准备在一块平行四边形的空地上铺草坪，如何计算这块空地的面

积？这是学生在学习了反方形、正方形的面积后，提出了如何计算平行四边形面积的问题。

教材这样安排的目的是让学生面对一个新的问题，思考如何去解决新问题。随后，教材安排

了两种提示性的方法：一种是通过数格子的方法，数出这个平行四边形的面积；一种是通过

剪与拼的活动，将平行四边形转化为长方形，然后计算出这个平行四边形的面积。最后，教

材安排了观察平行四边形与长方形有关系，从中推导出计算平行四边形面积的方法。

根据教材编写的安排，在开展教学活动中建议按如下几个方面思考：

一是通过具体的情境，提出计算平行四边形面积的问题。在三年级时学生已经学习了长

方形、正方形面积的计算方法，所以说，在复习这些知识中，逐步将问题转到平行四边形的

面积，从而使学生感到学习新知识的必要性，也容易形成他们认知上的冲突。在具体设计教

学中，虽然教材已经呈现了公园中一块空地铺草坪的问题，这是一个全国大部分地区都适用

的问题，但在个别的农村地区，可能学生对于铺草坪并不熟悉，所以也可以结合当地的实际

情况提出计算平行四边形面积的问题，这样可以使学生感到更为亲切一些。

二是在探索过程中，寻找解决问题的方法。在课前，教师可以布置学生准备一些平行四

边形纸片、方格纸以及剪刀等材料与工具，以便学生在课堂上探索之用。当问题提出后，教

师可以请学生将事先准备的材料与工具拿出来，并提示学生：“如果用纸片当作草坪，那么

如何计算这张纸片的面积呢？”随后可以直接安排学生进行探索。在他们开展探索时，可以

是学生独立的探索，也可以以小组为单位合作式地探索。对学生用什么方法探索，教师不要

作过多的指导，任其学生充分地发挥。

对于探索后的交流与指导，教师可以先安排数格子的方法，在学生介绍数格子的方法中

说明数格子的基本要求，以便让学生知道当出现不满1格时，都当作半格数的规范。学生

在介绍剪拼的方法时，要追问学生，是沿着哪一•条线剪的？因为学生在沿的过程中可能会出

现各种各样的剪法，但无论怎样剪，如果要拼成长方形，那么需要沿着高剪，这是学生必须

理解的。同时，也应追问学生，为什么要把平行四边形转化成长方形？让他们明白转化的目

的。

三是在多种探索方法中，归纳计算平行四边形面积的基本方法。学生在剪拼中，必然会

呈现多种的剪法，为此，根据学生的多种剪法，教师可以组织学生讨论这些剪法中的共同特

点，并比较长方形与平行四边形之间的关系，从中推导出计算平行四边形面积的公式。

R练一练!

第2题

通过计算每个平行四边形的面积，让学生发现当平行四边形的底与高相同时;其面积也

是相同的。在有条件的学校，可以制作一个活动的教具，通过教具的移动，逐步将平行四边

形进行变形，从而使学生能形象地认识“等积变形”。当然，在学生发现这一特点后，教师可

以提供逆命题供学生进行讨论，即“当两个平行四边形的面积相等，它们的底与高是否也相

等？”

《地毯上的图形面积》教学指导

K教学目标》

1.能直接在方格图上，数出相关图形的面积。

2.能利用分割的方法，将较复杂的图形转化为简单的图形，并用较简单的方法数面积。

3.在解决问题的过程中，体会策略方法的多样性。

R教材分析与教学建议》

在客观世界中，各种各样图形的呈现方式是多样的，有些标准的图形可以采用图形的一

般公式进行计算，而有些不规则图形面积的计算则需要采用特殊的方法进行计算。本课时安

排的“地毯上的图形面积”就是一种特殊的不规则图形，所以计算它的面积的方法也将用特殊

的方法。

教材中提出的“地毯上蓝色图形的面积是多少？”，是一道解决现实生活中问题的实例，

解决这个问题的方法是多样的。可以根据提供的方格图，逐一数数，然后得出所求问题的面

积；可以通过将图形“化整为零”的方法，缩小数数的范围，从而简便地数出面积；可以采用

“大面积减小面积”的方法，求得所需要的图形的面积。当然，教材编写的目的是在于后面的

两个方面，这也是教学中的重点。