数形结合在中学数学解题中的应用

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沭阳县华冲中学223600闫安

本文给出了数形结合在中学数学解题中的应用，具体包括在方程、不等式、函数、解析几何、向量等问题中的应用.通过上述问题的探讨与研究，得出在一定条件下利用数形结合解题能起到事半功倍的效果.

数形结合方程不等式函数解析几何向量

一、前言

恩格斯说“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学〞.[1]数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系在人的意识中的反映，经过思维活动而产生的结果，它是对数学知识与数学理论的本质认识.

在数学思想中，有一类思想是表达基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这类思想可以称之为基本数学思想.数形结合思想就是其中的一类重要形式.下面对数形结合思想在数学解题中的应用谈谈一些自己的看法.数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维相结合.这样可使繁杂的问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题的目的.数形结合有两种基本形式，一是“数〞的问题转化为“形〞的性质去解决，它往往具有直观性，易于理解与接受的优点.数形结合在解题过程中应用十分广泛，如在解方程和不等式问题中，在求函数的值域和最值问题中，在求向量和三角函数问题中都有表达，运用数形结合思想解题，不仅直观易于寻觅解题途径，而且能避免繁杂的计算和推理，简化解题过程，这在选择、填空题解答中更显优越.二是“形〞的问题转化为用“数〞的关系去解决，运用代数、三角等知识进行探讨，它往往把技巧性极强的推理论证转化为可具体操作的代数运算，很好地起到了化难为易的作用.在解析几何中就往往利用数量关系去解决图形问题.下面就数形结合思想在方程、不等式、函数、

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解析几何及向量中的应用做一个系统的分析.二、方程中的数形结合问题

方程在中学数学中占有十分重要的地位，然而在解决大量有关方程方面的问题时往往都需要用运数形结合的思想.而数形结合思想用运的关键是由“形〞到“数〞或者由“数〞到“形〞的相互转化.正确理解和运用数形结合是解决大量问题的关键，下面就这两方面分别来探讨数形结合在方程中的用运.

2.1“数〞中思“形〞?3?

例1假使实数a,b满足方程(a?2)2?b2?2，

b求的最大值.aAy解:不妨设点A(a,b)在圆(a?2)2?b2?2上，圆心为C(2,0),半径等于2（如图）则是点A与原点连线的斜率.当OA与⊙C相切，且切点

A落在第一象限时，kOA有最大值，即

oCxab图1b有最大值.a2由于CA?2，OC?2，所以OA?22?2?2，

b?所以????a?max?tan?AOC?1.

例2方程lgx?x?3?0，10x?x?3?0的解分别是x1,x2，求

x1?x2的值.2分析:要想直接求上述方程的解比较困难，但是方程10x?x?3?0的解，可理解为函数

y?10x与y??x?3的交点（B点）的横坐标，

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方程lgx?x?3?0的解为函数y?lgx与y??x?3的交点（A点）的横坐标，由于

B点关于直线y?x对函数y?10x与y?lgx的图象关于直线y?x对称，所以A、

称，又由于直线y?x与y??x?3的交点为C点，所以A、B点关于C点对称，且

x?xx1?x233的值即为C点的横坐标.由于C点横坐标是，所以12?22222.2“形〞中觅“数〞

例3求方程lgx?sinx?0的解的个数.分析:要求此方程解的个数即求函数与

y?sinx的图象的交点的个数.

由于sinx?1,则有lgx?1，所以0?x?10.在平面直角坐标系中作出两个函数的图象，

（如图3所示）通过形中觅数，可直观的看出两曲线有3个交点.

在研究方程的最值问题和解的个数问题中，运用数形结合的方法不仅能使抽象的问题直观化，而且大大的降低了计算量，起到了事半功倍的效果.三、不等式中的数形结合问题

不等式是高考考点重要内容之一，也是学生学习的难点之一.近两年的高考不仅强调对不等式的基础知识的考察而且更重视数学能力的考察和数学思想方法的应用，打破了传统的“背题型记套路〞的模式，由此在学习或复习不等式知识的过程中要加强对学生的数学思想方法的培养和应用，其中数形结合思想的应用犹为重要.下面我们通过例子来说明数形结合在不等式中的具体应用.

3.1数形对照，相互渗透

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例4已知实数x,y满足方程x2?y2?2y?0，欲使不等式x?y?c?0恒成立，求实数c的取值范围.

分析:欲使方程x?y?c?0恒成立，则有

?c?x?y恒成立，

故推出?c?(x?y)min.

于是问题转化为求x2?y2?2y?0上一点，使x?y有最小值问题，由图4可知，当直线l1平行于x?y?0且与圆x2?y2?2y?0相切于下方时，x?y取最小值1?2.

通过例4可以看出数形结合在解决某些不等式问题中的作用是不可小视的.它是解决这类问题的桥梁和工具.3.2由数想形，直观显现

例5已知实数a?0，求：关于x的不等式

a2?x2?2x?a.

解:如图5所示，在同一坐标系中，作曲线

c:y?a2?x2及直线l:y?2x?a联立y?a2?x2和y?2x?a，解得x?0,y?a.

由图5知，曲线C在直线l上方部分的点的横坐标范围，即为原不等式的解集：{x|?a?x?0}.

例6当x?[0,1]时，不等式x2?ax?a?1?0恒成立，求实数a的范围.

解:原不等式可变形为x2?a(x?1)?1令y1?x2,y2?a(x?1)?1.

如图6所示，在同一坐标系中作出曲线Cy1?x24

和直线ly2?a(x?1)?1.由于直线ly2?a(x?1)?1恒经过定点A(1,?1)，由图6可知，要使y1?y2在x?[0,1]时恒成立，直线l应在原点下方，即斜率a应当大于

.则a的取值范围为(?1,??).

由上述例题可以看出，在求解不等式的过程中或解决有关不等式的问题中，往往会遇到一些用常规的解法很难解决的问题，而利用数形结合的思想，就能简化繁琐的数量运算，使繁杂的问题简单化.四、函数中的数形结合问题

4.1利用数形结合的思想来解决函数的单调性问题

函数的单调性是函数的一条重要性质，也是高考中的热点问题之一.在解决有关问题时，我们往往需要先确定函数的单调性及单调区间，而数形结合是确定函数单调性最常用的数学思想，它能使函数的单调区间直观形象地反映在函数的图象中.例7确定函数y?xx?2x的单调区间.

解:函数y?xx?2x变形为，当x?0时y?x2?2x；当x?0时y??x2?2x

画出函数的草图，由图象（图7）可知，函数的单调递增区间为(??,0]，[1,??)，函数的单调递减区间为?0,1?.

4.2利用数形结合思想来解决比较数值大小的问题例8已知定义在实数上的函数

y?f(x)满足以下三个条件：①对任意的实

y数x都有f(x?4)?f(x)；②y?f(x?2)的图象关于y轴对称；③对任意的

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o2图84.56.578x

0?x1?x2?2，都有f(x1)?f(x2).则f(4.5)，f(6.5)，f(7)的大小关系是.

解:由①式知函数y?f(x)的周期为T?4；由②式知，由于函数y?f(x?2)的图象关于y轴对称，所以f(x)的图象关于直线x?2对称；由③式知f(x)在

[0,2]上是增函数.由此，画出示意图便可比较大小.

(如图8)显然有，f(4.5)?f(7)?f(6.5).4.3利用数形结合解决抽象函数问题

抽象函数问题是前几年高考的热点问题之一，是难点.数形结合运用往往是我们解决此类问题的关键.

例9设f(x)，g(x)分别是定义在Ｒ上的奇函数和偶函数，在区间

?a,b?(a?b?0)上，有f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0，

且f(x)?g(x)有最小值－7.则函数y?f(x)?g(x)在区间??b,?a?上（）.

A.是增函数且有最小值－7B.是增函数且有最大值7C.是减函数且有最小值－7D.是减函数且有最大值7

分析:由于f?(x)?g(x)?f(x)?g?(x)??f(x)?g(x)???0，所以y?f(x)?g(x)在区间

-7图9ay7bo-b-ax?a,b?(a?b?0)上是增函数.

又由于f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,所以y?f(x)?g(x)是奇函数.

因此它的图象关于原点对称，作出示意图，(如图9)易知函数

y?f(x)?g(x)在区间??b,?a?上是增函数且有最大值7，因此选B.

五、解析几何中的数形结合问题?2?

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解析几何的核心是以代数的方法来研究几何问题,所强调的是数对形的作用,解析几何虽然只强调从一个侧面入手进行研究,但并没有否定另一个侧面的辅助作用,解析几何中的数形结合思想正是对解析几何方法的补充,强调的是“形〞对“数〞的反作用,下面我们将用几个例题加以说明.5.1与斜率有关的问题

例10已知有向线段PQ的起点P与终点Q坐标分别为P(?1,1)，Q(2,2).若直线lx?my?m?0与有向线段PQ相交，求实数m的取值范围.

解:直线l的方程x?my?m?0可化为点斜式：y?1??(x?0)（当m?0,方程为x?0），易知直线l过定点M(0,?1)，且斜率为?1.my1m由于l与有向线段PQ相交，由数形结合可得：当直线l过M且过Q向P移动时，直线l的斜率先变大后减小.由于kMQ2?(?1)31?(?1)??，kMP???22?02?1?0P(-1,1)oxM(0,-1)Q(2,2)设l的斜率为k1，由图10知k1?kMQ,k1?kMP，得：

131?,???2.m2m21所以m??,m?.

32?图10含有一个变量的直线方程可化为点斜式或化为经过两直线交点的直线系方程.此题是化为点斜式方程后，可看出该直线方程横过定点M(0,?1)且斜率为

?1.此类题目一般结合图形可判断出斜率的取值范围.myB5.2与距离有关的问题

例11求y?(cos??cos??3)2?(sin??sin??2)2的最大（小）值.

分析:此题可看成求两动点p(cos?,sin?)与

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O2ADOO1xC图11Q(cos??3,sin??2)之间距离的最值问题.解两动点P和Q的轨迹方程分

别为：x2?y2?1和(x?3)2?(y?2)2?1，因此转化为求两曲线（即圆O1与O2）上两点之间距离的最值问题.（如图11所示）

PQmax?CB?2?13；PQmin?AD?13?2

5.3与截距有关的问题

例12若直线y?x?k与曲线x?1?y2恰有一个公共点，求k的取值范围.

1y解:曲线x?1?y2是单位圆x2?y2?1的右半圆

01x-1(x?0)，k是直线y?x?k在y轴上的截距.

由数形结合知，直线与曲线相切时，k??2，（如图12所示）可得，k??2，或?1?k?15.4与定义有关的问题

图12例13求抛物线y2?4x上到焦点F的距离与到点A(3,2)的距离之和为最小的点P的坐标，并求这个最小值.

分析:要求PA?PF的最小值，可利用抛物线的其次定义，把PF转化为点P到准线的距离（如图13），即求A点到准线的最短距离.由于该抛物线的准线方程为x??1，所以A点到准

线的最短距离为4，且P点坐标为P(x,2)，代入方程得P(1,2).若点A在抛物线外，则点P即为AF与抛物线交点（内分AF）.化曲线为直线是求距离之和最有效的方法，在椭圆，双曲线中也有类似问题.

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六、向量中的数形结合问题

用解析几何的方法来解决向量有关问题是数形结合思想的一个重要表达，这种方法简单明白，同时也起到了事半功倍的效果，面通过具体事例加以说明.

例14（如图14所示），在任意四边形ABCD中，E为AD的中点，F为BC的中点，则2EF?(AB?DC)

ED证明:由于F是BC的中点,所以BF?CF?0所以AB?DC?AB?DC?(BF?CF)

?(AB?BF)?(DC?CF)?AF?DF

BAF图14C由于E是AD的中点,所以AE?DE?0又由于在?AFE中,AF?AE?EF在?DFE中，DF?DE?EF

所以AB?DC?AF?DF?(AE?EF)?(DE?EF)

?AE?DE?2EF?2EF

所以2EF?(AB?DC)

通过上面例题的证明可以看出，向量是解决平面几何问题的重要工具.同时，在向量这