初中数学 教学设计2：用二次函数解决问题

用二次函数解决问题（1）教学目标：1.会运用二次函数的有关知识求实际问题中的最大值或最小值；2.能根据具体问题中的数量关系，用相关的二次函数知识解决实际问题教学重点：运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值教学难点：如何根据实际情况把现实生活中的相关问题转化为二次函数问题教学程序设计：一、情境创设情境一：用16m长的篱笆围成矩形的养兔场饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围最大？情境二：如图，矩形养兔场的一面靠墙（墙有足够长），另外三面所围的竹篱笆的总长度是16米.应如何修建，能使养兔场面积最大？师生活动设计师：依次出示情境一与情境二，情境一可教师引导后学生思考，情境二可让学生先独立思考后尝试解答，再教师加以点拨.生：思考并尝试解答情境中的两个问题设计意图：这两个情境属于简单的求二次函数最值的实际问题，根据已学的二次函数知识稍加思考就可解决，是探究用二次函数求实际问题中的最值类问题的良好模型，具有很好的操作性与典型性，从而为本节课做一个很好的铺垫二、探索活动活动一：在情境一中，（1）如何使小兔的活动范围最大？（2）如何建立题目中养兔场的面积与矩形边长的数量关系？（3）你会求养兔场面积的最大值吗？（4）用二次函数求实际问题的最值一般要经历哪些步骤？答案：设围成的矩形一边长为xm，另一边长为(8-x)m.则围成的矩形的面积S＝x(8-x)＝-x2＋8x，其中0＜x＜8∵S＝－x2＋8x＝－(x－4)2＋16∴当x＝4时，S有最大值为16即围成的矩形的两边长都为4m时，小兔的活动范围最大.活动二：在情境二中，墙有足够长起着怎样的作用？答案：设平行于墙的边长为xm，则垂直于墙的边长为EQ\f(16-x,2)m.围成的矩形面积S＝x·EQ\f(16-x,2)＝-EQ\f(1,2)x2＋8x其中0＜x＜16，∵S＝-EQ\f(1,2)x2＋8x＝-EQ\f(1,2)(x－8)2＋32∴当x＝8时，S有最大值为32即平行于墙的边长为8m，垂直于墙的边长为4m时，养兔场的面积最大活动二：探索的图象及其性质。1．讨论的图象及性质。2．运用配方法，找一找的顶点坐标公式和对称轴。3．讨论的图象性质师生活动设计：生1：要使小兔的活动范围最大，只要使养兔场的面积最大.生2：设围成的矩形一边长为xm，则另一边长为(8-x)m.这样围成的矩形的面积S就可表示为x(8-x)，求出这个二次函数的最大值就可解决问题.生3：利用配方法或公式法可求这个二次函数的最值生4：实际问题→建立二次函数→求最值→解决问题.生5：墙有足够长说明对平行于墙的边的长度没有限制.设计意图：通过活动一、二，让学生经历如何把应用题转化为数学上的函数关系式，可以先让学生独立思考解答，让他们在解答过程中体会解决过程，在必要的情况下，教师可以作一些提示。三、例题教学例1：某种粮大户去年种植优质水稻360亩，今年计划多承租100～150稻田.预计原360亩稻田今年每亩收益440元，已知每新增稻田1亩，今年每亩的收益减少2元.试问：该种粮大户今年要多承租多少亩稻田，才能使总收益最大？最大收益是多少？解：设该种粮大户今年多承租x亩稻田，总收益为y元.则y＝440×360＋(440－2x)·x＝－2x2＋440x＋158400＝－2(x－110)2＋182600，∵－2＜0，∴当x＝110时，y有最大值为182600即该种粮要多种110亩水稻，才能使今年的总收益最大，最大收益为182600元.例2：某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？解：设提高x个档次.则利润y＝(8＋2x)(60－3x)＝－6x2＋96x＋480＝－6(x－8)2＋864∵－6＜0，∴当x＝8时，y有最大值为864.即生产第九个档次的产品利润最大师生活动设计：师：出示例1生：先思考后尝试解答.师：请学生回答并说出解答的依据.教师根据学生的回答板书.师：在求二次函数的最大或最小值时，可以使用配方法把函数变形为y＝a(x－h)2＋k的形式后求解，也可使用顶点公式求解.师：出示例2生：独立思考后小组交流.师：请同学谈谈自己的做法，后师生共同总结.师：一般步骤：1.理解问题；2.分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系；3.用数学的方式表示出它们之间的关系；4.做数学求解；5.检验结果的合理性设计意图：例1与例2都是利用二次函数求实际问题中的最值，其过程遵循前面总结的一般步骤，其中解题的关键在于准确建立起题目中的二次函数关系式，并求出二次函数的最值.四、课堂小结本节课学到了什么？本节课主要学习如何用二次函数来解决生活中出现的一些最优化的问题，如求最好、最近、最多等.解决此类问题的关键在于把现实问题转化为数学中的二次函数，也就是根据题意写出正确的函数关系式，然后运用配方法或者公式法来解出函数的最大值或最小值五、当堂反馈（见导学案当