新亮剑数学第4章（新高考）

第四章三角函数与解三角形

第1节任意角、弧度制及任意角的三角函数

磨剑•课前自学又原■，拿，，皂利，看

自学听讲》P75

GAOKAODONGTAI

课标要求考向分析

1.了解任意角的概念和弧度制，能

进行弧度与角度的互化，体会引入1.根据角的终边上点的坐标求三角函数值.

弧度制的必要性.2.根据三角函数值求参数值.

2.借助单位圆理解任意角的三角3.利用三角函数的定义判断三角函数的图象

函数(正弦、余弦、正切)的定义

ZHISHIQINGDAN

1.任意角

(1)定义:角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.

(2)分类:角按旋转方向分为.

2.所有与角a终边相同的角，连同角a在内，构成的角的集合是Z}.

3.象限角:使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合,那么角的终边(除端点外)在第几象限,我们就说这个

角是第几象限角;如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限.

1.定义:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫作.

2.角度制和弧度制的互化:180。=__rad,10=^_rad,1rad.与)°.

三、任意角的三角函数

⑴定义设a是一个任意角，它的终边与单位圆交于点只用力,则sina=____,cosa=____,tana=^;

若。的终边上有一点耳其力(与原点。不重合)，则sina],cosa=^,tan其中r=yjx2+y2.

(2)三角函数值在各象限的符号规律:一全正、二正弦、三正切、四余弦.

四、三角函数线

如图，设角。的终边与单位圆交于点尸，过点尸作吸*轴,垂足为例过点4(1,0)作单位圆的切线与a的终边或终边的反向

延长线相交于点T.

⑴⑵

(3)(4)

有向线段用尸为正弦线，有向线段为余弦线，有向线段47■为正切线.

拓展TUOZHANZHISHI

若加则sina<(7<tana.

查缺|扑：CHAQUEBULOU

【概念辨析】

判断下列结论的正误.(对的打々”，错的打

(1)顺时针旋转得到的角是正角.

(2)钝角是第二象限角.

(3)若两个角的终边相同，则这两个角相等.

(4)1弧度的角就是长度为1的弧所对的圆心角.

(5)终边在y轴上的角的正切值不存在.

⑴*⑵J(3)*(4)*(5)4

(1)错误.顺时针旋转得到的角是负角.

(3)错误.角180。的终边与角-180。的终边相同，显然它们不相等.

(4)错误.1弧度的角是单位圆中长度为1的弧所对的圆心角.

(5)正确.终边在y轴上的角与单位圆的交点坐标为(0,1),(0,-1).由三角函数的定义知角的正切值不存在.

【基础自测】

(2020届衡水模拟)若sin8cos60,黑乂),则角6是().

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

D由笑乂),得々乂),故cosGO.又sin8cos8<0,所以sin8<0,所以。为第四象限角.

sin。cos0

(2020届长春普通高中一模)若角a的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上，终边在直线尸-百x上,则角a的取值集合是

).

A.IQIa=2kn-,keZ

B.{Ja=2号，依Z

C.IaIa=Arr与，依Z

D.IQIa=kn^,k^Z

D因为直线片一bx的倾斜角是与或与所以终边落在直线尸~\傲上的角的取值集合为Ia=kn^keZl.

（2020届山东日照质检）若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则其圆心角住（0,TT）的弧度数为.

V3设圆的半径为/;则其内接正三角形的边长为V5/;所以百f=/q”所以aW3.

（2020届石家庄模拟）已知角。的终边在直线片-x上，且cosa<0,则tana=.

-1

如图，由题意知，角。的终边在第二象限，在其上任取一点年》，则片-X由三角函数的定义得tana=^?=-1.

【易错检测】

（2020届甘肃省白银市高三联考）已知角9的顶点与原点重合,始边与x轴非负半轴重合，若4（x3）是角9终边上一点，且cos

Y，则灯）.

A.-3V3B.3V3C.1D.-1

D因为cos。考<0,且4（x3）是角。终边上一点，所以x<0.由三角函数的定义，得扁=等，解得x=-1.

（2020届潍坊模拟）集合｛JHr半公布号AeZ）中的角a所表示的范围（阴影部分）是（）.

C当〃=2«/7eZ）时,2而££不2m与此时角a表示的范围与各后方表示的范围一样;当*=2〃*1（隹Z）

时,2mr*iT格O22/7IT+TT用，此时a表示的范围与兴aS亭表示的范围一样.

4242

悟剑•课堂精讲**7«产订小

......................./.......................:

考点KAODIANTANJIU

务扇）象跳侑及终边IIII'，［的<IJ

网a⑴设e是第三象限角，且画沪cos.则提（）.

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

⑵（2020届福州模拟）与-2010°终边相同的最小正角是

（1）B（2）150°⑴因为e是第三象限角，所以TT+2HT〈夕与+2MT（左Z）,故

/加4岑Mn（依Z）.当4=2。隹Z）时，/2而44+2所（店Z）,混第二象限角;当k=2n+、gQ

时有+2/7TT<|q+2/7TT（住Z）或是第四象限角冈C吗=1对,即C呜<0,因此提第二象限角.

（2）因为-2010°式£）/60°+150°,所以角150°与角-2010°终边相同.又终边相同的两个角相差360°的整数

倍,所以在0°~360°中只有150°角与-2010°角终边相同，故与-2010°终边相同的最小正角是150°.

【针对训练1】

（2020届绵阳质检）点4（sin20190,cos2019°）在直角坐标平面上位于（）.

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

C因为sin20190=sin219°=-sin39°<0,cos20190=cos219°=<os39°<0,所以点A在第三象限.

已知角。的终边在如图所示的阴影部分表示的范围内（不包括边界），则角。用集合可表示为.

{若+2kn<a<+2kir,kZ

{a17*2/tn<a,<|Tr*2An,AeZ.

在［0,2"）内，终边落在阴影部分的角的集合为所以所求角的集合为

46

（2020届宁夏质检）终边在直线"x上，且在［-2TT,2TT）内的角。的集合为.

如图,在坐标系中画出直线「疗用可以发现它与x轴的夹角是小在［0,2TT）内，终边在直线上的角有两个，分别是在

方法总结

1.象限角的判断方法:先将已知角化为k360°+a0Ya<360°,AEZ）的形式，即找出与已知角终边相同的角a,再由角。终边所在的象限判断已

知角是第几象限角.

2.几点结论:（1）相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍;（2）终边在一条直

线上吃角之间相差180°的整数倍.终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍.

为怒）弧度制及其应用

［例且已知一扇形的圆心角为a,半径为尺,弧长为/.

⑴若£7=60°,/?=10cm,求扇形的弧长z

(2)已知扇形的周长为10cm,面积是4cm2,求扇形的圆心角.

(3)若扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角a为多少弧度时，这个扇形的面积最大？

(1)因为a=60°qrad,所以/=/。//?三*10磬(cm).

(2)由题意得葭；之；解得匕:｝舍去)或｛:菱故扇形的圆心角为］ad.

(3)由已知得/+2/?=20,

所以S苫//?q(20-2QRN0/?用=</?-5)2+25,

所以当R=5时,S取得最大值，最大值为25,此时/=10,

故当a孕rad时，这个扇形的面积最大.

［安夫&园将例2中的(3)问改为“若扇形的周长是一定值qcx)),当a为多少弧度时，该扇形的面积最大？”

因为扇形周长CaR+iaR+aR,

所以用啖,

所以S期杂瘠知仁-)2孝-4+J+—蜡

22\2+a/24+4a+a421a+4+a16

当且仅当a即a=2时，扇形的面积最大，最大值为16

方法总结

应用弧度制解决问题的方法:1.利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是现度2求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次

函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决;3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.

i针对训练2】

一扇形是从一个圆中剪下的一部分，其半径等于圆半径的右面积等于圆面积的卷，则扇形的弧长与圆周长之比为.

设圆的半径为。则扇形的半径为条设扇形的圆心角为a由扇形面积等于圆面积的亮可得缚解得

18327n—27

5n2r

a书.所以扇形的弧长与圆周长之比为《得W磊.

务:角函数的定义及其应用

考向1:利用三角函数的定义求值

陶名(1)(2020届青岛模拟)已知角a的终边与单位圆的交点为KT，y),则sinatanay).

A.】B.邛C,^D.另

(2)(2020届福州检测)若角a的终边在直线3x*4%0上，求sina,cos。和tana的值.

(1)C⑴由/o用土月工得产.则y号或尸当

当片?时,sina=y,tan牛此时,sinataria--|;

当尸一时,sina=-y,tang/W,此时,sinatana二

综上所述，故选c.

(2)设角a的终边上任一点为耳4匕3。户0,

当t>Q时/=5《sina.cosa-^,tana=g;

当tO时/="5《sina=-|,cos端,tana=^.

考向2:三角函数值的符号

【例白(2020届湖北襄阳四校联考)T8C为锐角三角形，若角8的终边过点门(sin4cos8cos4sin0则

，觊g+D包子里叩的值为

|sind|\cosO\|tan瞰力,八)

A.1B.-1C.3D.3

B由弘8c为锐角三角形，可知4+g,即工斗8又4%(0号,所以sin伞cos8,所以sin4cosa0,同理

cos4sinC<0,所以8为第四象限角，所以sin8<0,cos8>0,tan6<0,所以:叱去：吗产吗/川力二公

|sin0||cos例|tanO|

方法总结

1.利用三角函数的定义解题的技巧

(1)已知角。终边上一点尸的坐标,可求角。的三角函数值.先求点尸到原点的距寓,再用三角函数的定义求解.

(2)已知角。的某三角函数值,可求角。终边上一点尸的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值.

(3)已知角。的终边所在的直线方程或角a的大小，根据三角函数的定义可求角。终边上某特定点的坐标.

2.判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号.如果不能确定

角所在的象限，那就要进行分类讨论.

【丽疝练3]

(2020届西安一模)已知函数*logGG)+2(A0且>1)的图象恒过定点尸，且角a的终边过点只则sina-^cosa的值为().

D:函数*loga(X"3)+2的图象恒过定点只4,2),且角a的终边过点R设H*M.:x=4,y=2,r=2V5,.:sin

Vs2V5Vs,2西3而

a二「cosa=^-,.:sina-fcos0=-^+5-5•

(2020届山东模拟)设角a的终边与单位圆相交于点他,《),则sina-cosa的值是().

A.1B.[C.1D.(

A由题意知sina=&cos所以sina-cos。=芸=(故选A.

(2020届吉林模拟)若sinatana<0,且警^<0,则角。是().

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

C当角a是第三象限角时,sina<0,cosa<0,tana>0,满足题意.故选C.

已知6是第四象限角，则sin(sin6)().

A.大于0B.大于等于0

C.小于0D.小于等于0

C「8是第四象限角，•:sina(-1,0).令sin8=a,当・1<a<0时,sina<0.故sin(sin。<0.

秀及牙),•角函数线119应川

「例@(1)函数y=j2cosx-l的定义域为.

(2)函数ygg(34sin20的定义域为.

(1)[2/cn-^,2kn4-^](/TGZ)

(2)(k吟,kn+纵依Z)

解析

⑴因为2cosX-1N0,所以cos在提利用三角函数线画出满足条件的x的终边范围(如图中阴影部分所示),

所以施[2而1,2如4](住Z).

(2)因为3~4sin2aX),所以sin2aq，所以[<sina专.

利用三角函数线画出满足条件的。的终边范围(如图中阴影部分所示)，

所以住GW，kn+9(生Z).

方法总结

利用单位圆解三角不等式(组)的一般步骤。)用边界值定出角的终边位置;(2)根据不等式(组)定出角的范围;(3)求交集，找单位圆中公共的部

分;(4)写出角的表达式.

【针对训练4】

若与va甘，从单位圆中的三角函数线观察sina,cosa,tana的大小关系是().

A.sina<tana<cosaB.cosa<sina<tana

C.sina<cosa<tanaD.tana<sina<cosa

c

r

小「

U,--foJA(1,0)X

如图所示,作出角。的正弦线余弦线正切线47；因为与s/,所以角。终边的位置在图中的阴影部分，观察可得

AT>OM>MP,故相sina<cosa<tana.

函数y=lg（2sin2cos欠的定义域为

{X2ku4-j<x<2kit+],kZ)

解析

2sinv-l>0Isin%>

"'即1'如图所示,在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知,原函数的定义

{l-2cosx>0,l^cosx<-.

直观想象一数形结合在三角函数中的应用

［例’如图所示，质点尸在半径为2的圆周上按逆时针方向运动，其初始位置为A（夜，啦），角速度为1,那么点户到x轴的距

离d关于时间f的函数图象大致为（）.

C因为々（企,方）,所以小。*三.

因为角速度为1,所以按逆时针方向旋转时间f后，得/产。H>=4所以/月彷〜勺.

由三角函数的定义知，点Q的纵坐标为2sin（t-：）,

因此d=2卜

令白0,则d=2kin

令号则曲0.故选C.

【突破训练】

sin1,cos1,tan1的大小关系是（）.

A.sin1<cos1<tan1B.tan1<sin1<cos1

C.cos1<tan1<sin1D.cos1<sin1<tan1

D如图所示，单位圆中N/V/O尸nradWrad,因为。用岑OV炉〈4"所以cos1<sin1<tan1.

且

在（0,2TT）内，使得sinx>cos>成立的x的取值范围是（）.

A.（/u（得B.（M

eg洋）D.&n）u管空）

c

当xe[JT）时,sinx>0,cos蟀0,显然sinx>cosx成立;当时，如图,04为x的终边，此时sinx=/A^4/,cosx=/OM/,s\n

A^COSx当时，如图,08为x的终边，此时sinx=/NB/,cosx=QN/,slnxxosx.同理当脏卜号）时,sinx>cosx当

加悌,2TT）时,sin入cosx,故选C.

（2018年北京卷）在平面直角坐标系中，卷，曲，邪•，⑸是圆解旷6上的四段弧（如图），点尸在其中一段上，角a以以为始

边,。尸为终边.若tana<cosa<sina,则点尸所在的圆弧是（）.

K.ABB.CDC.EFD.GH

C由题意知四段弧是单位圆上的第一、二、三象限的弧，

在部上,tana>sina不满足；

在步上,tana>sina不满足；

在年1上,sina>0,cosa<O,tan。<0,且cosaXana,满足；

在伞上,taneO,sin<7<0,cos。<0,不满足.

故选C.

壳剑•高效训练苗”决般值球推

0....................................................................................................*.....................................................................................................

对应《高效训练》P33

g基础打磨

（2020届云南玉溪调研）已知角6的终边经过点（1,-2）,则sin0=（）.

A$B.-2C.yD.4

D由题意得sin6=J=q.

（2020届陕西宝鸡质检）已知角。的终边经过点（3a-9,e+2）,且cos公O,sin。乂）,则实数a的取值范围是（）.

A.（-2,3]B.（-2.3）C.[-2,3）D.[-2,3]

A由cos区0,sinGO可知，角a的终边落在第二象限内或y轴的非负半轴上，解得-2<小3,即实

数3的取值范围为{第R/・2Vg3}.

已知点3务?在角9的终边上，且俎0,2"）,则8的值为（）.

A..B穹C.省D等

6363

C因为点耳苧,T）在第四象限，所以根据三角函数的定义可知tan总吗

T

又失传,2n）所以外詈.

（2020届内蒙古呼和浩特调研）用半径为3cm，圆心角为手的扇形纸片卷成一个圆锥筒，则这个圆锥筒的高为（）.

A.1cmB.2V2cmC.V2cmD.2cm

B设圆锥的底面半径为rem,由题意知底面圆的周长即为扇形的弧长，可得211r岑*3,即底面圆的半径为1,

所以圆锥的高/7=j3M=2V2（

cm).

（本题为多项选择题）下列四个命题正确的是（）.

A.当是第二象限角B.当是第三象限角

43

C.400。是第一象限角D.-315。是第一象限角

BD岑是第三象限角，故A错误,=rr号，从而多是第三象限角,B正确.400。=360°4T,从而C错误.515。=-

360°*45°,从而D正确.

（本题为多项选择题）已知角2a的终边在x轴的上方,那么角a可能是（）.

A.第一象限角B.第二象限角

C.第三象限角D.第四象限角

AC因为角2a的终边在x轴的上方，所以《360°<2a<k360°*80°,AeZ,5W有/180°<a<7M80°阕0°,生Z.

故当《=2〃,店2时,/7360°〈0<0360°用0°,*2。为第一象限角；

当kNn+IE时“360°+180°<<75360°+270°,neZ。为第三象限角.故选AC.

（2020届厦门模拟）角的终边与单位圆（圆心在原点，半径为1的圆）交于第二象限的点4（cosa［）,则cosa-sina=.

三由题意得cos2ad）=1,则cos2a嗤因为cosa<0,所以cos又sin遥,所以cosesina=^.

（2020届成都模拟）若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是.

V2设圆的半径为/;由圆的几何性质可知，圆内接正方形的边长为应r,故弧长为我，的弧所对的圆心角为混.

（2020届太原模拟）已知角。的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若H4》是角8终边上一点，且sin8=半，则

y=_______•

-8因为sin氏〒『=竿，所以y<0,且产=64,所以尸8

j^y25

IV能力拔高

（2020届南京模拟）在“8C中，若sinAcosStanC<0,则“8C的形状是（）.

A.锐角三角形B.钝角三角形

C,直角三角形D.不能确定

B3/48。中每个角都在（0,71）内,.0!1A>Q..sin4cosFtanC<0,.:cos8tanCO.

若8,C同为锐角，则cos8tan中必定有一个钝角,是钝角三角形.

（2020届湖北重点中学月考）已知角。的终边上一点的坐标为（sin%cos/则角a的最小正值为（）.

A里R—c—D—

A6036U3

B因为sin?=sin（吟）=sin衿,cos期=cos（吟）=cos*=q,所以点（sin^,cos在第四象限.又因为tan

5n

a=丝晶=">/?,所以a=2An3，AeZ,所以角a的最小正值为

33

s吟

（2020届南平一测）已知角a的终边与直线y=3x重合，且sina<0,若Rm,rt）是角a的终边上一点，且/。?4/芯,则

rr?+怦=tm-n=

102:角a的终边与直线片;3x重合，且sina<0,

■:角a的终边在第三象限.

・•门(/77,/7)是角a的终边上一点

又/。々=国,则4+〃=10,

[看普小解得『二」或(舍去)，

Ivm2+n2=V10,(n=-35=3

故777-/7=2.

g思维拓展

(2020届内蒙古模拟)

如图，在平面直角坐标系”冲中，角。的始边与x轴的非负半轴重合且与单位圆相交于4点，它的终边与单位圆相交于x轴上方

一点8,始边不动,终边在运动.

⑴若点8的横坐标为微，求tana的值；

(2)若A4O8为等边三角形，写出与角。终边相同的角尸的集合;

(3)若优(0,氢请写出弓形48的面积5与a的函数关系式.

⑴由题意可得m),根据三角函数的定义得tana]].

(2)若“08为等边三角形，则故与角。的终边相同的角0的集合为｛邵=2kn+如Z).

(3)若ae(0,乳则SmKAoe^aft-^a,ri5M*sina=^sina,

故弓形48的面积S=SH®AOB-SAos^a^ma,ae(0,y].

第2节诱导公式、同角三角函数的基本关系

磨剑•课前自学从省”«

0............茎....冠，；.......：：•-•：........-Q........彩...一•・、•...7"^..............；"™......7一三..........1一三...9

II高考GAOKAODONGTAI

课标要求考向分析

1.借助单位圆的对称性，利用定义推导出

诱导公式(碑,a±TT的正弦、余弦、正切

)利用同角三角函数的基本关系和诱导公式进行化简求值以及恒等变换;解决三角形内的相关问题

2.理解同角三角函数的基本关系式

.,.sinx

sin2x-*cos2oAf=d，^―=tanx

知识

一、诱导公式

组数—二—四五六

nn

-a-+a

角2Arrr/a^Z)ix+a-aTT-<722

正弦sina■sina-sinasinaN—

余弦cosa•cosacosa-cosana

正切tanatana-tana-tana

函数名不变，函数名改变，

口诀

符号看象限符号看象限

二、同角三角函数的基本关系

1.平方关系:siMa七OS2Q=1.

2.商数关系:翳=tanHkn+pkZ).

3.同角三角函数基本关系式的常用变形

(1)(sina^cos*2sinocosa,

(2)sina=tanacosa.

查缺

【概念辨析】

判断下列结论的正误.(对的打'”，错的打“炉)

(1)120。角的正弦值是g,余弦值是当

(2)同角三角函数关系式中的角。是任意角.

(3)六组诱导公式中的角a可以是任意角.

(4)诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限'中的“符号”与a的大小无关.

(1)*⑵*(3)*(4)V

(1)错误.sin120°=sin(180°-60°)=sin60°4，

cos120°=cos(180°-60°)=-cos60°=-^.

(2)错误.在tan中,与代Z.

(3)错误.对于正弦、余弦的诱导公式角a可以为任意角，而对于正切的诱导公式号依Z.

(4)正确.诱导公式的“符号看象限”中的符号是把任意角。都看成锐角时原函数值的符号,因而与a的大小无关.

I基础自测】

(2020届黑龙江哈尔滨市月考)若sin(aE)号则cos(a+^)=().

A:sin(a*rr)=-sina^,.:cos|

2(2020届江西奉新模拟)cos(-声)=().

A.iB.堂C=D.W

Dcos(-yn)=cos(-10n+沿=cosy=-cos^="y.

(2020届湖南娄底质检)已知sin(，)则cosQ+a)=.

I:(X)喏+4告，

「cos停+a)=cosg-(f-a)]=sin(1-a局

(2020届闽粤赣十校联考)若住俱m),sina号，贝ijtana=().

A.V2B.-yC.-yD.V2

C:徒且sina*,cosa=*贝ijtana--y.

【易错检测】

已知sin0-fcos若，氏(0,：),则sin^-cos8的值为.

-y:sin8代os若，二sin曲s8系.

又.(sin夕cos6)2=1-2sin氏os6三,氏(0,。

/sin^-cos6二*

设s呜W，且a是第二象限角，则ta吟的值为.

5因为a是第二象限角，所以提第一或第三象限角.当滤第一象限角时,cos/Jl-sin22=Jl-(i)2胃,所以

ta或瞿号当券第三象限角时，与sin找矛盾，舍去.综上,ta吟考

悟剑•课堂精讲

KAODIANTANJIU

务匠T)诱柠公式

［例a（1）（2020届太原质检）化简:sn黑:黑：：；：了L

(2)已知85(75。)0、,贝1」sin(a-15°)化os(105°-a)的值是().

C[D.《

1-2n+(a+副janacosasin修+a)」anacosacosa_tanacostf_sinacosor

([)[(2)DM_tanacosasin|=-1.

'*''',、cos(3n+a)[-sin(3n+a)](-cosa)sina(-cosa)sinasinacosasina

(2)因为cos(750+o)W，所以sin(a-15°)-^cos(105°-o)=sin[(cr*75o)-90°]->*cos[180°-((7*75o)]=-cos(75°+d)-

cos(75°+0=q.

方法总结IT

1.诱导公式用法的一般思路:（1）化负为正，化大为小,化到锐角为止.（2）角中含有加减T的整数倍时，用公式去掉5的整数倍.

2.常见的互余和互补的角:⑴常见的互余的角:衿与/婿*。与沁卜a与+a等.⑵常见的互补的角:98与与塌用与去6等.

3.三角函数式化简的方向:（1）切化弦，统一名.（2）用诙导公式,统一角.（3）用因式分解将式子变形，化为最简.

cos$+a)sin(竽-a)!则（警）的值为

已知

人6cos(-it-a)tan(Tt-a)

5因为*:黑喘忆；：濯严sa

所以（号）3（号）3（-8吗）=««衿

若sin(；.a)W，则cosQ+a)

j因为sinQ-a)4

所以cos（＞。）抻［冉0）*（竺）胃.

%彘i"J用.向函数的居本治系

考向1：“知一求二”问题

'列0（1）（2020届湖北调研）已知隹（0,］）,tan反，则sina=（）.

A.郛岑畸畸

(2)已知cosa的依R,如&穴),则sin(TT+o)=().

C.±J1^2D.-k

(1)B(2)A(1)已知在(O4)tan由黑得sina=72cosa:sin2a化os2a=1,sina>0,cos

a>0,.:cosa=y,.:sm

(2)由cos得singJl-H,所以sin(TT+0=~sina=-Jl-N.

考向2:弦切互化

;例❷（1）（2020届河南平顶山模拟）已知郎震落=5,则cos2a*sin2a的值是（）.

33

A.1B.qC.-3D.3

（2）（2020届贵州七校联考）已知sina*cosaRI则tana端的值为（）.

A.-1B.-2C.1D.2

⑴A⑵D⑴由鬻落力,得黑心解得tan。2

Mo,1.co,•cos2a+sinacosa1+tana3

cos2%sm2aros2apnaos-0。右弱温，；+口湍W

(2):sina-^cosa=72,.:(sina-^cos^2=2,

,:sinacosa』,

3端嗡端鼻N

考向3:sina±cosa与sinacosa关系的应用

列巴已知6为第二象限角,sinacos6是关于x的方程2*彳仃-1）x+m=0（冰R）的两根，则sinacos0=（）.

A”竽D..V3

A2B.C.V3

B因为sin6,cos6是方程2**百-1）*+勿=0（冰0的两根,所以sin6化os8韦sinaos6音，可得（sin

61os3)2=y*2sinOCQS8=1专解得6=(.因为6为第二象限角，所以sin8>0,cos6<0,即sin8cos6>0.因为(sinacos

6)2=i-2sin&3os0=1-m=1殍，所以sin0-cos6=、.1+口

方法总结

1.利用siMscos2a=1可实现。的正弦、余弦的互化，利用更"Man。可以实现角a的弦切互化.

cosa

2.对于sina*cosasinacosa,sinacos。这三个式子，知一可求二，若令sina-*cosa=f,则sinacosa』j\sinex-cosa=±J2-t：2（注意根据a

的范围选取正、负号），体现了方程思想的应用.注意公式逆用及变形应用:1=sin2a*cos2asin2an<x）s2acos2aFsin2a

【针对训练2】

已知COS(£00)=%!JWtan100°=().

A耳B耳

C-FD木

B:cos(-800)=cos80。的.:sin80°80°=^-,

.•.tan100»=-tan80»=l^.

(2020届山东枣庄调研)已知a是第二象限角,cos管+a)等则tana=.

g:cos(与+a)备:sin渥.又a为第二象限角，.:cosa=-Jl-sin2a=-^,

.~sina4

.:tana=—

cosa3

(2020届梅州模拟)已知。为锐角，且tan(TT-0+3=O,则sina等于().

.13VT0八30卜3V5

A?DC—D—

B因为tan(rrb)+3W),所以tana=3,sina=3cosa因为sin2a死os2a=1,所以sin2a磊.又a为锐角，故sin

3、雨

°F

已知sinacos。力,且,va岑，贝i]cos(7-sin。的值为().

A-TBfc]D.；

B:亨<cr岑,..cos(7<0,sina<0且cosa>sinat.\cosa-sina>0.

又(cosa-sinc^2=1-2sinacos。=1-2*彳，

.:cosa-sina号.

务烹。隽好公式和同用Jfj函数送本为系式的综合应用

[例©⑴(2020届聊城模拟)已知a为锐角，且2tan(TT-0-3cos停+可伤=O,tan(TT何将sin(ir%)-1老则

sina的值是().

A*B.乎C.等D.l

(2)已知a是第三象限角，

曰彳讨-gin(-a-n)cos(5TT-a)tan(2n-a)

cos(5-a)tan(-a-n)

①｛匕简《力

②若tan(TT-0=-2,求40)的值；

③若a=420°,求/(a)的值.

(1)C⑴由已知可得-2tana+3sin^5W),tana~6sin£-1=0,解得tan。=3.又a为锐角，故

sin。普.

（2）①由题可得,"a）」个蓝:找回“osa.

②因为tan(TT-0=-2,所以tan/2所以sina=2cosa.

所以（2cos功2mos2a，所以cos2a总

因为a是第三象限角，所以cosa=1,所以4a）邛.

③因为cos(-420°)=cos4200=cos60。弓，所以^a)=-cos(-420°)=-i.

方法总结IT

利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形.

【针对训练3]

（2020届唐山模拟）已知sin管+a皤那么tana的值为（）.

A.gB.iC.4D，4

C因为sin(y+«)=sinQ+a)=cos所以sin所以tan翳=[.

(2020届唐山模拟)已知角8的终边在第三象限,tan28=-2或则sin2^in(3Tr-6)cos(2TT^-^2cos2<9=().

A.当C，4D.1

6633

D由tan28=-2或得tan2^ztanf=-2V2,fiPV2tan2^4an0^2=0,

l-tan^e

解得tan8=41或tan6=当.

又角8的终边在第三象限，所以tan0=42,

故sin2^in(3TT-^cos(2TT+9)-V2cos2^

Ain2e+sin6cosJ-V2cos2。

=sir)26为in3cos3->/2cos20=^

sin20+cos20

jaMs+tan仇鱼」的+&-&J

un29+l(V2)2+l3'