点的合成运动

点的合成运动第1页，共28页，2023年，2月20日，星期日第六章点的合成运动主要研究内容点的合成运动的概念

点的速度合成定理

牵连运动为平动时点的加速度合成定理

刚体的平面运动第2页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－1点的合成运动的概念

采用不同的参考系来描述同一点的运动,其结果可以不相同,这就是运动描述的相对性。

雨滴M的运动

起重行车起吊重物的运动

小球M沿直管向外运动

第3页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－1点的合成运动的概念研究的点称为动点,习惯上把地面或机架称为定坐标系(简称定系),以0xyz表示；把固连于运动物体(如行车梁、直管)上的坐标系称为动坐标系(简称动系)，以Ox′y′z′表示。三种运动

1)绝对运动动点相对定系的运动。动点在绝对运动中的轨迹、速度和加速度，分别称为动点的绝对轨迹、绝对速度va,和绝对加速度aa。2)相对运动动点相对动系的运动。动点在相对运动中的轨迹、速度和加速度,分别称为动点的相对轨迹、相对速度vr，和相对加速度ar。3)牵连运动动系相对定系的运动。点的绝对运动、相对运动的主体是动点本身,其运动可能是直线运动或曲线运动；而牵连运动的主体却是动系所固连的刚体,其运动可能是平移、转动或其他较复杂的运动。第4页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－2点的速度合成定理设动点M沿与动系Ox′y′z′(图中未画出)相固连的刚性曲线段AB运动，曲线段AB又相对于定系Oxyz运动。在t瞬时,动点M在曲线AB上的M位置。经过时间间隔⊿t后,动点运动到M′位置。动点M的绝对位移为MM′。M1M′是t瞬时与动点M重合的点在⊿t时间内的位移,称为牵连位移，即动系上与动点在考虑瞬时相重合的那一点的位移称为动点的牵连位移。得到速度合成定理

va=ve＋vr

结论：在任一瞬时，动点的绝对速度等于其牵连速度与相对速度的矢量和。牵连速度

相对速度

第5页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－2点的速度合成定理

用点的速度合成定理解题时,动点和动系的选择很重要,常常是解题的关键，其选取原则如下：1)动点和动系不能选在同一个运动物体上，也就是说，动点对于动系必须有相对运动。2)动点相对于动系的相对运动轨迹要明显、简单(如轨迹是直线、圆或某一确定的曲线)，并且动系要有明确的运动(如平动、定轴转动等)。

第6页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－2点的速度合成定理例6-1车厢以匀速v1=5m／s水平行驶。途中遇雨，雨滴垂直下落。而在车厢中观察到的雨滴的速度方向却偏斜向后，与铅垂线成夹角30º，如图所示，试求雨滴的绝对速度。第7页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－2点的速度合成定理解：按题意，以雨滴为动点，将定系固连于地面。将动系固连于车厢。这样,雨滴的绝对运动是它相对于地面的铅垂下落，相对运动是雨滴相对于车厢的与铅垂方向成30º夹角的直线运动，牵连运动是车厢相对于地面的水平平动速度分析如下：

画出速度平行四边形,如图所示，则第8页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－2点的速度合成定理例6-2如图所示，半径为R的半圆柱形凸轮顶杆机构中，凸轮在机架上沿水平方向向右运动，使推杆AB沿铅垂导轨滑动，在φ

=60º的图示位置时，凸轮的速度为V，求该瞬时推杆AB的速度。第9页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－2点的速度合成定理

解：凸轮与推杆都作平动,且二者之间有相对运动。取推杆上与凸轮接触的A点为动点，动系与凸轮固连,定系与机架固连。相对运动为动点A相对凸轮轮廓的圆弧运动，牵连运动是凸轮相对于机架的水平直线平动，绝对运动为A点的铅垂往复直线运动。速度分析如下；

根据速度合成定理，画出速度平行四边形,如图所示,得第10页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－3牵连运动为平动时点的加速度合成定理设动点M沿相对轨迹曲线AB运动，而AB又随动系一起作平动,如图所示。设在瞬时t，动点位于AB上的点M，其绝对速度、牵连速度和相对速度分别为：va、ve、和vr。根据点的速度合成定理，有经过时间间隔Δt后，曲线AB随动系平动到A'B'位置。动点运动到位置M'，则在t+Δt瞬时，动点的绝对速度、相对速度和牵连速度分别为v'a、v'r、v'e，由速度合成定理，得：v'a=v'r+v'

e牵连运动为平动时点的加速度合成定理

第11页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－3牵连运动为平动时点的加速度合成定理例6-3凸轮机构如图所示。半径为R的半圆形凸轮沿水平方向向右移动，使顶杆AB沿铅直导槽上下运动。在凸轮中心O和点A的连线AO与水平方向的夹角φ=60°时，凸轮的速度为v0，加速度为a0，试求该瞬时顶杆AB的加速度。第12页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－3牵连运动为平动时点的加速度合成定理解：取顶杆AB上的点A为动点,将动系固连于凸轮,定系固连于机架。动点A的绝对速度vA和绝对加速度aA皆为铅垂方向。相对速度vr沿相对轨迹在点A处的切线方向，而相对加速度ar应有切向和法向两个分量：切向分量aτr沿相对轨迹在点A处的切线方向,大小未知；法向分量anr=v2r／R，方向由点A指向点O。牵连运动为凸轮的水平直线平动。作速度平行四边形如图

由画出各加速度矢量关系图如图

第13页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－4刚体的平面运动刚体的平面运动：在刚体的运动过程中，如果刚体内部任意点到某固定的参考平面的距离始终保持不变，,那么称此运动为刚体的平面运动。

刚体的平面运动是常见的一种运动，可通过运动合成和分解的方法，将平面运动分解为平动和定轴转动两种基本运动。然后应用合成运动理论，推导出平面运动刚体上任意点的速度和加速度的计算公式。第14页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－4刚体的平面运动如图所示,设平面图形S作平面运动,其位置可以由形S内任一线段AB的位置确定。选定系Oxy固连于地面，若动系Ax'y'固连在平面图形S的任一点A上，A点即称为基点。

设瞬时t线段AB在位置Ⅰ

，经过∆t后的瞬时t+∆t，AB从位置Ⅰ到位置Ⅱ，讨论如下：

以A为基点，AB先随固连于A的动系Ax'y'平动至位置Ⅰ'，再绕A'转过角度φ到达位置Ⅱ以B为基点，AB先随固连于B的动系Bx'y'平动至位置Ⅱ'，再绕B'转过角度φ'到达位置Ⅱ刚体的平面运动方程

则刚体的平面运动方程为：

第15页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－4刚体的平面运动平面图形的角速度、角加速度与基点的选取无关。平面角速度：平面图形绕基点转动的角速度平动的速度和加速度与基点位置的选取有关。平面角加速度：平面图形绕基点转动的角加速度平动和转动

第16页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－4刚体的平面运动

基点法:用速度合成定理求解平面图形上任一点速度的方法设一平面运动的图形如图所示,已知A点速度为vA。瞬时平面角速度为ω,求图形上任一点B的速度。平面图形上点的速度分析

第17页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－4刚体的平面运动A点的速度已知，选A点为基点,则牵连运动是随同基点的平动,B点的牵连速度ve就等于基点A的速度vA,即ve=vA。(图a)。

相对运动是绕基点A的转动，B点的相对速度vr等于B点以AB为半径绕A点作圆周运动的速度vBA,即vr=vBA,其大小=AB·ω,方向与AB连线垂直，指向与角速度ω转向一致(图b)。由速度合成定理，如图c)所示,得

结论：在某一瞬时,平面图形上任一点的速度,等于基点的速度与该点相对于基点转动速度的矢量和

第18页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－4刚体的平面运动例6-4在图示四杆机构中,已知曲柄AB=20cm,转速n=50r／min,连杆BC=45.4cm,摇杆CD=40cm。求图示位置连杆BC和摇杆CD的角速度。第19页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－4刚体的平面运动

解：在图示机构中,曲柄AB和摇杆CD做定轴转动,连杆BC做平面运动。取连杆BC为研究对象,B点为基点，则vC=vB+vCB,其中vB大小为AB·ω,方向垂直于AB,v的方向垂直于AB,在C点做速度合成图,由图中几何关系知连杆BC的角速度为

根据vCB的指向确定ωBC为顺时针转向。摇杆CD角速度为

ωCD=vC/CD=60.4/40=1.51rad/s

根据vC的指向确定ωCD为逆时针转向

第20页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－4刚体的平面运动

速度投影法:利用速度投影定理求平面图形上某点速度的方法

由图得α、β分别表示vA和vB与AB的夹角

平面图形上任意两点的速度在这两点的连线上的投影相等，这就是速度投影定理

第21页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－4刚体的平面运动例6-5在图中的AB杆，A端沿墙面下滑，B端沿地面向右运动。在图示位置，杆与地面的夹角为30°，这时B点的速度vB=10cm／s，试求该瞬时端点A的速度。解：AB杆在做平面运动，根据速度投影定理有第22页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－4刚体的平面运动速度瞬心法

速度瞬心：把构件上某瞬时速度为零的点称为构件平面运动在该瞬时的瞬时速度中心，简称速度瞬心若以速度瞬心P为基点,则平面图形上任一点B的速度就可表示为

刚体作平面运动时,其平面图形内任一点的速度等于该点绕瞬心转动的速度。其速度的大小等于构件的平面角速度与该点到瞬心距离的乘积,方向与转动半径垂直,并指向转动的一方。此即为刚体平面运动的速度瞬心法。第23页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－4刚体的平面运动确定构件平面运动的速度瞬心,有以下几种情况：

1)如图a)所示,已知A、B两点的速度方向，过两点速度作垂线，此两垂线的交点就是速度瞬心。2)如图b)、c)所示,若A、B两点速度相互平行,并且速度方向垂直于两点的连线AB，则速度瞬心必在AB与速度矢量vA和vB端点连线的交点P上。3)如图d)、e)所示,若任意两点A、B的速度vA∥vB，且vA=vB,则速度瞬心在无穷远处，平面图形作瞬时平动。该瞬时运动平面上各点的速度相同。4)如图f)所示,当构件作无滑动的纯滚动时,构件上只有接触点P的速度为零,故该点P为瞬心。瞬心的位置不固定第24页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6－4刚体的平面运动例6-6如图所示,车轮沿直线纯滚动而无滑动,轮心某瞬时的速度为vC，水平向右，车轮的半径为R。试求该瞬时轮缘上A、B、D各点的速度。第25页，共28页，2023年，2月20日，星期日§6