2023年高考考前数学100个提醒(知识方法与例题)

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华中师大一附中2023年高考考前

数学100个提醒（知识、方法与例题）

一、集合与规律

1、区分集合中元素的形式：如：x|ylgx—函数的定义域；y|ylgx—函数的值域；(x,y)|ylgx—函数图象上的点集，如（1）设集合

M{x|yx3}，集合N＝y|yx21,xM，则MN___（答：；（2）设集合M{a|a(1,2)(3,4),R}，[1,)）N{a|a(2,3)(4,5)，R}，则MN_____（答：{(2,2)}）

2、条件为AB，在探讨的时候不要遗忘了A的状况

如：A{x|ax2x10}，假使AR，求a的取值。（答：a≤0）3、AB{x|xA且xB};AB{x|xA或xB}

CUA={x|x∈U但xA};ABxA则xB;真子集怎定义？

含n个元素的集合的子集个数为2n,真子集个数为2n－1;如满足2{1,2}M{1,2,3,集合4M有______个。（答：7）

4、CU(A∩B)=CUA∪CUB;CU(A∪B)=CUA∩CUB;card(A∪B)=?

5、A∩B=AA∪B=BABCUBCUAA∩CUB=CUA∪B=U

6、补集思想常运用于解决否定型或正面较繁杂的有关问题。

如已知函数f(x)4x2(p2)x2pp1在区间[1,1]上至少存在一个实22

3

2

7、原命题:pq;逆命题:qp;否命题:pq；逆否命题:数c，使f(c)0，求实数p的取值范围。（答：(3,)）

qp如：“sinsin〞是“〞的条件。（答：充分非必要条件）

8、若pq且qp;则p是q的充分非必要条件（或q是p的必要非充分条件）;

9、注意命题pq的否定与它的否命题的区别:

命题pq的否定是pq；否命题是pq

命题“p或q〞的否定是“┐P且┐Q〞，“p且q〞的否定是“┐P或┐Q〞注意：如“若a和b都是偶数，则ab是偶数〞的

否命题是“若a和b不都是偶数，则ab是奇数〞

否定是“若a和b都是偶数，则ab是奇数〞

二、函数与导数

10、指数式、对数式：

aa

mnmn0a1，loga10，logaa1，lg2lg51，，，man

logexlnx，abNlogaNb(a0,a1,N0)，alogaNN。11如()的值为________(答：)264

11、一次函数:y=ax+b(a≠0)b=0时奇函数;

212、二次函数①三种形式:一般式f(x)=ax+bx+c(轴-b/2a,a≠0,顶点?);顶点式

2f(x)=a(x-h)+k;零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(轴?);b=0偶函数;③区间最值:配方后一看开口方向,二探讨对称轴与区间的相对位置关系;如：若函数y12x2x4的定义域、值域都是闭区间[2,2b]，则b＝2）2

cc(中心为(b,a))(x0)平移yaxbx

a是奇函数,a0时,在区间(，0),(0，)上为增函数x④实根分布:先画图再研究△0、轴与区间关系、区间端点函数值符号;13、反比例函数:y14、对勾函数yx

a0时,在(0a],[a,0)递减在(，a],[,)递增

315、单调性①定义法;②导数法.如：已知函数f(x)xax在区间[1,)上

是增函数，则a的取值范围是____(答：(,3]))；

注意①：f(x)0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数f(x)x3在(,)上单调递增，但f(x)0，∴f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件。

注意②：函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数f(x)是定义在(2,2)上的减函数,若

（答：f(m1)f(2m1)0，求实数m的取值范围。12m）23

③复合函数由同增异减判定④图像判定.⑤作用:比大小,解证不等式.如函数

（1,2）)。ylog1x22x的单调递增区间是________(答：

2

16、奇偶性：f(x)是偶函数f(-x)=f(x)=f(|x|);f(x)是奇函数f(-x)=-f(x);定义域含零的奇函数过原点(f(0)=0);定义域关于原点对称是为奇函数或偶函数的必要而不充分的条件。

17、周期性。（1）类比“三角函数图像〞得：

①若yf(x)图像有两条对称轴xa,xb(ab)，则yf(x)必是周期函数，且一周期为T2|ab|；

②若yf(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(b,0)(ab)，则yf(x)是周期函数，且一周期为T2|ab|；

③假使函数yf(x)的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴xb(ab)，则函数yf(x)必是周期函数，且一周期为T4|ab|；

把这份材料比作一片蔚蓝的海，现在让我们起航，展开你聪慧和自信的双翼，乘风破

如已知定义在R上的函数f(x)是以2为周期的奇函数，则方程f(x)0在

[2,2]上至少有__________个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义“函数f(x)满足fxfax(a0)，则f(x)是周期为a的周期函数〞得：①函数f(x)满足fxfax，则f(x)是周期为

12a的周期函数；②若f(xa)(a0)恒成立，则T2a；③若f(x)

1f(xa)(a0)恒成立，则T2a.f(x)

如(1)设f(x)是(,)上的奇函数，f(x2)f(x)，当0x1时，f(x)x，则f(47.5)等于_____(答：0.5)；(2)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x2)f(x)，且在[3,2]上是减函数，若,是锐角三角形的两个内角，则f(sin),f(cos)的大小关系为_________(答：f(sin)f(cos))；

18、常见的图象变换

①函数yfxa的图象是把函数yfx的图象沿x轴向左(a0)或向右(a0)平移a个单位得到的。如要得到ylg(3x)的图像，只需作ylgx关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y；右)；（3）函数

的图象与x轴的交点个数有____个(答：2)f(x)xlg(x2)1

②函数yfx+a的图象是把函数yfx助图象沿y轴向上(a0)或向

b下(a0)平移a个单位得到的；如将函数ya的图象向右平移2个单位xa

后又向下平移2个单位,所得图象假使与原图象关于直线yx对称,那么

(A)a1,b0(B)a1,bR(C)a1,b0(D)a0,bR(答：C)

③函数yfax(a0)的图象是把函数yfx的图象沿x轴伸缩为原来11的得到的。如（1）将函数yf(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的（纵a3

坐标不变），再将此图像沿x轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：f(3x6))；（2）如若函数yf(2x1)是偶函数，则函数yf(2x)

1的对称轴方程是_______(答：x)．2

④函数yafx(a0)的图象是把函数yfx的图象沿y轴伸缩为原来的a倍得到的.

19、函数的对称性。

ab对称。如已2

2知二次函数f(x)axbx(a0)满足条件f(5x)f(x3)且方程①满足条件fxafbx的函数的图象关于直线x

只要保持着一份执者，坚守着一个信念，不怕失败，不言悔恨，就一定能看到希望的

1f(x)x有等根，则f(x)＝_____(答：x2x)；2

②点(x,y)关于y轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于y轴的对称曲线方程为yfx；

③点(x,y)关于x轴的对称点为(x,y)；函数yfx关于x轴的对称曲线方程为yfx；

④点(x,y)关于原点的对称点为(x,y)；函数yfx关于原点的对称曲线方程为yfx；

⑤点(x,y)关于直线yxa的对称点为((ya),xa)；曲线

f(x,y)0关于直线yxa的对称曲线的方程为f((ya),xa)0。特别地，点(x,y)关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)0关于直线yx的对称曲线的方程为f(y,x)0；点(x,y)关于直线yx的对称点为(y,x)；曲线f(x,y)0关于直线yx的对称曲线的方程为f(y,x)0。如己知函数

x33f(x),(x),若yf(x1)的图像是C1,它关于直线yx对称图像2x32

是C2,C2关于原点对称的图像为C3,则C3对应的函数解析式是___________（答：

x2）；y2x1

若f(a－x)＝f(b+x),则f(x)图像关于直线x=

y=f(b-x)图像关于直线x=ba对称。2ab对称;两函数y=f(a+x)与2

提醒：证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；如（1）已知函数f(x)

的图像关于点M(a,1)成中心对称图形。

⑥曲线f(x,y)0关于点(a,b)的对称曲线的方程为f(2ax,2by)0。如若函数yxx与yg(x)的图象关于点（-2，3）对称，则g(x)＝______（答：x7x6）22x1a求证：函数f(x)(aR)。ax

cxdcc

2如已知函数图象C与C:y(xa1)axa1关于直线yx对称，且图象C⑦形如y(c0,adbc)的图像是双曲线，对称中心是点(,)。

关于点（2，－3）对称，则a的值为______（答：2）

⑧|f(x)|的图象先保存f(x)原来在x轴上方的图象，作出x轴下方的图象关于x轴的对称图形，然后擦去x轴下方的图象得到；f(|x|)的图象先保存f(x)在y轴右方的图象，擦去y轴左方的图象，然后作出y轴右方的图象关于y轴的对称图形得到。如（1）作出函数y|log2(x1)|及ylog2|x1|的图象；（2）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，则函数F(x)f(x)f(x)的图象关于____对称（答：y轴）

20.求解抽象函数问题的常用方法是：

（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数：

①正比例函数型：f(x)kx(k0)f(xy)f(x)f(y)；

f(x)；f(y)

f(x)x③指数函数型：f(x)af(xy)f(x)f(y)，f(xy)；f(y)

x④对数函数型：f(x)logaxf(xy)f(x)f(y)，f(f(x)f(y)；y

f(x)f(y)⑤三角函数型：f(x)tanxf(xy)。1f(x)f(y)

如已知f(x)是定义在R上的奇函数，且为周期函数，若它的最小正周期为T，T则f(__（答：0）2②幂函数型：f(x)xf(xy)f(x)f(y)，f()2xy

21.反函数:①函数存在反函数的条件一一映射；②奇函数若有反函数则反函数是奇函数③周期函数、定义域为非单元素集的偶函数无反函数④互为反函数的两函数

-1-1具一致单调性⑤f(x)定义域为A,值域为B,则f[f(x)]=x(x∈B),f[f(x)]=x(x∈

A).⑥原函数定义域是反函数的值域,原函数值域是反函数的定义域。

如：已知函数yf(x)的图象过点(1,1),那么f4x的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；

22、题型方法总结

Ⅰ判定一致函数:定义域一致且对应法则一致

Ⅱ求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：f(x)axbxc；顶点式：f(x)a(xm)n；零点式：22

f(x)a(xx1)(xx2)）。如已知f(x)为二次函数，且f(x2)f(x2)，且f(0)=1,图象在x轴上截得的线段长为22,求f(x)的解析式。（答：f(x)12x2x1）2

f(1cox)ssi2xn,求（2）代换（配凑）法――已知形如f(g(x))的表达式，求f(x)的表达式。如（1）已知fx2的解析式（答

：

112f(x2)x42x2,x[）；（2）若f(x)x2，则函数xx

2；（3）若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x1)=_____（答：x2x3）

当x(0,)时，f(x)x(1x)，那么当x(,0)时，f(x)=________

（答：x(1）.这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即f(x)的定义域应是g(x)的值域。

（3）方程的思想――对已知等式进行赋值，从而得到关于f(x)及另外一个函数的方程组。如（1）已知f(x)2f(x)3x2，求f(x)的解析式（答：

为自己的锦绣前程努力奋进，青春会因你的努力而精彩！

21）；（2）已知f(x)是奇函数，且f(x)+g(x)=,g(x)是偶函数，x13

x则f(x)=（答：2）。x1f(x)3x

Ⅲ求定义域:使函数解析式有意义(如:分母?;偶次根式被开方数?;对数真数?，底数?;零指数幂的底数?);实际问题有意义;若f(x)定义域为[a,b],复合函数f[g(x)]定义域由a≤g(x)≤b解出；若f[g(x)]定义域为[a,b],则f(x)定义域相当于x∈[a,b]时g(x)的值域；

1

2x)的定义域为__________

2（答：x|2x4）；（2）若函数f(x1)的定义域为[2,1)，则函数f(x)的如：若函数yf(x)的定义域为,2，则f(log2

定义域为________（答：[1,5]）．

Ⅳ求值域:yx2x5,x[1,2]的值域（答：[4,8]）；2

3x

xx②逆求法（反求法）：如：y通过反解，用来表示，再由的取33yx13

值范围，通过解不等式，得出y的取值范围（答：（0,1））；③换元法：如（1）y2sinx3cosx1的值域为_____（答：[4,217；]）8

x1（2

）y2_____（答：3,）

t，t0。

运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；④三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；如：y2sin13的值域（答：(,]）；21cos

⑤不等式法

――利用基本不等式aba,bR)求函数的最值。如设

(a1a2)2

x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则的取值范围是b1b2

____________.（答：(,0][4,)）。

函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。如求

19，yyx(1x9)，ysin2x2x1

sinx

8011______（答：(0,)、[,9]、0,）；92

汗水是勤劳，汗水是甘甜知识在于积累log35x的值域为⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。如（1）已

知点P(x,y)在圆xy1上，求22y及y2x的取值范围

（答：[

、x2

[）；（2）

求函数y[10,)）；

如（1）求yx11的值域（答：）；（2）

求函数y,1x222

x2x11的值域（答：[0,]）如求y的值域（答：(,3][1,)）x12

⑨导数法;分开参数法;―如求函数f(x)2x4x40x，x[3,3]的最小值。（答：－48）

用2种方法求以下函数的值域：①y3232x(x[1,1])②32x

x2x3x2x3（y,x(,0)；③y,x(,0)xx1

⑤解应用题:审题(理顺数量关系)、建模、求模、验证.⑥恒成立问题:分开参数法;最值法;化为一次或二次方程根的分布问题.a≥f(x)恒成立a≥[f(x)]max,;a≤f(x)恒成立a≤[f(x)]min;⑦任意定义在R上函数f（x）都可以唯一地表示成一个奇函数与一个偶函数的和。即f（x）＝g(x)＋h(x)

f（－x）f（－x）其中g（x）＝f（x）＋是偶函数，h（x）＝f（x）－是奇函数22

⑦利用一些方法（如赋值法（令x＝0或1，求出f(0)或f(1)、令yx或yx等）、递推法、反证法等）进行规律探究。如（1）若xR，f(x)满足f(xy)f(x)

；（2）若f(y)，则f(x)的奇偶性是______（答：奇函数）

xR，f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，则f(x)的奇偶性

是______（答：偶函数）；（3）已知f(x)是定义在(3,3)上

的奇函数，当0x3时，f(x)的图像如右图所示，那么不

等式f(x)coxs的解集是_____________（答：；（4）设f(x)的定义域为R，对,1)(0,1)(,3)）22

x1任意x,yR，都有f()f(x)f(y)，且x1时，f(x)0，又f()1，y2

①求证f(x)为减函数；②解不等式f(x)f(5x)2.（答：0,14,5）．(

23、导数几何物理意义:k=f(x0)表示曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处切线的斜率。

/V＝s(t)表示t时刻即时速度,a=v′(t)表示t时刻加速度。如一物体的运动方程是s1tt，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在t3时的瞬时速度为_____（答：5米/秒）

有志者，事竟成；破釜沉舟，百二秦关终归楚；苦心人，天不负；卧薪尝胆，三千越甲可吞吴。

2/

24、基本公式:C0(C为常数);(xm)mxm-1(mQ)

25、导数应用:⑴过某点的切线不一定只有一条;如：已知函数f(x)x3x过点P(2,6)作曲线yf(x)的切线，求此切线的方程（答：3xy0或

。24xy540）

⑵研究单调性步骤:分析y=f(x)定义域;求导数;解不等式f(x)≥0得增区间;解不等式f(x)≤0得减区间;注意f(x)=0的点;如：设a0函数f(x)xax在

；[1,)上单调函数，则实数a的取值范围______（答：0a3）

⑶求极值、最值步骤:求导数;求f(x)0的根;检验f(x)在根左右两侧符号,若左正右负,则f(x)在该根处取极大值;若左负右正,则f(x)在该根处取微小值;把极值与区间端点函数值比较,最大的为最大值,最小的是最小值.如：（1）函数///33y2x33x212x5在[0，3]上的最大值、最小值分别是______（答：5；15）；

（2）已知函数f(x)xbxcxd在区间[－1,2]上是减函数，那么b＋c有最__值__答：大，321532）（3）方程x6x9x100的实根的个数为__（答：1）2

特别提醒：（1）x0是极值点的充要条件是x0点两侧导数异号，而不仅是fx0＝0，fx0＝0是x0为极值点的必要而不充分条件。（2）给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑f(x0)0，又要考虑检验“左正右负〞(“左负右正〞)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！如：函数fxxaxbxa在x1处322

有微小值10，则a+b的值为____（答：－7）

三、数列、

26、an={S1(n1)

SnSn1(n2,nN)*注意验证a1是否包含在an的公式中。

27、｛an｝等差anan1d(常数)2anan1an1(n2,nN*中项)

ananb(一次)snAn2Bn(常数项为0的二次);a,b,A,B?an2an-1an1(n2,nN)anq(定);｛an}等比an1an0

ana1qn1snmmqn;m?

如若{an}是等比数列，且Sn3nr，则r＝（答：－1）

28、首项正的递减(或首项负的递增)等差数列前n项和最大(或最小)问题,转化为解不等式an0(或),或用二次函数处理;(等比前n项积?)，由此你能求一般数a0a0n1n1

即使通向成功的道路上没有灯光，我们也要摸索着鉴别那紧闭的命运门，然后举起手

来咚咚咚地把它敲响！

an0

列中的最大或最小项吗？如（1）等差数列{an}中，a125，S9S17，问此数列前多少项和最大？并求此最大值。（答：前13项和最大，最大值为169）；（2）若{an}是等差数列，首项a10,a2023a20230，a2023a20230，则使前n项和Sn0成立的最大正整数n是（答：4006）

n(n1)n(n1)n(a1an)29、等差数列中an=a1+(n-1)d;Sn=na1d=nand=222

a1(1qn)a1anq等比数列中an=a1q;当q=1,Sn=na1当q≠1,Sn==1q1qn-1

30.常用性质：等差数列中,an=am+(n－m)d,d

n-maman;当m+n=p+q,am+an=ap+aq；mn等比数列中，an=amq;当m+n=p+q，aman=apaq；

如（1）在等比数列{an}中，a3a8124,a4a7512，公比q是整数，则a10=___（答：512）；（2）各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a69，则

。log3a1log3a2log3a1010）

31.常见数列：{an}、{bn}等差则{kan+tbn}等差;{an}、{bn}等比则{kan}(k≠0)、1、

bn

{anbn}、ana等比;{an}等差,则c(c0)成等比.{bn}(bn0)等比,则{logcbn}(c0bnn

且c1)等差。

32.等差三数为a-d,a,a+d;四数a-3d,a-d,,a+d,a+3d;

等比三数可设a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3(为什么？)如有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，其次个数与第三个数的和为12，求此四个数。（答：15，,9，3,1或0,4，8,16）

33.等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、仍为等差数列。

等比数列{an}的任意连续m项的和且不为零时构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m-S3m、仍为等比数列。

如：公比为-1时，S4、S8-S4、S12-S8、不成等比数列

34.等差数列{an},项数2n时,S偶-S奇＝nd;项数2n-1时,S奇-S偶＝an;项数为2n时，则S偶

S奇q;项数为奇数2n1时，S奇a1qS偶.

35.求和常法:公式、分组、裂项相消、错位相减、倒序相加.关键找通项结构.分组法求数列的和：如an=2n+3n、错位相减法求和：如an=(2n-1)2n、裂项法求和：如求和：12n111）、倒序相12123123nn1

不要由于一些不应当出现的微弱错误丢分只要你认真审题、认真答题，你就会有卓越表现。

2；②已知加法求和：如①求证：Cn3Cn5Cn(2n1)Cn(n1)012nn

x21117，则＝___（）f(x)f(1)f(2)f(3)f(4)f(f(f(1x22234

36.求数列{an}的最大、最小项的方法（函数思想）：

01a①an+1-an=0如an=-2n2+29n-3②n11(an0)如an10

9n(n1)nan=③a=f(n)研究函数f(n)的增减性如a=nnn210n156

求通项常法:（1）已知数列的前n项和sn,求通项an，可利用公

(n1)S1an(n2)SnSn1式:

如：数列{an}满足11114,n1求an（答：ann1）a12a2nan2n5，2,n2222

（2）先猜后证

（3）递推式为an＋1＝an＋f(n)(采用累加法)；an＋1＝anf(n)(采用累积法)；如已知数列{an}满足a11，anan1

（答：an1n1n

n(n2)，则an=________

1）

n1（4）构造法形如ankan1b、ankan1b（k,b为常数）的递推数列如①已3知a11,an3an12，求an（答：an21）；

（5）涉及递推公式的问题，常借助于“迭代法〞解决，适当注意以下3个公式的合

理运用

an＝（an－an-1）+(an-1－an-2)+＋（a2－a1）＋a1；an＝

（6）倒数法形如ananan－1a2a1an－1an－2a1an1的递推数列都可以用倒数法求通项。如①已知kan1b

an11a11,an，求an（答：an）；②已知数列满足a1=1

，3an113n2

1an（答：an2）n

22237、常见和：123nn(n1)，12nn(n1)(2n1)，三军可夺帅也，匹夫不可夺志也。———《论语》

132333n3[n(n1)2]2

四、三角

38、终边一致(β=2kπ+α);弧长公式：l||R，扇形面积公式：SlR||R2，1弧度(1rad)57.3.如已知扇形AOB的周长是6cm，该22

2扇形的中心角是1弧度，求该扇形的面积。（答：2cm）

39、函数y=Asin(x)b（0,A0）①五点法作图;②振幅?相位?初相?周期T=2,频率?φ=kπ时奇函数;φ=kπ+时偶函数.③对称轴处y取最值,对称中心2

处值为0;余弦正切可类比.如（1）函数ysin

352x的奇偶性是______（答：2偶函数）；（2）已知函数f(x)axbsinx1(a,b为常数），且f(5)7，则

；（3）函数y2cosx(sinxcosx)的图象的对称中心f(5)______（答：－5）

和对称轴分别是__________、____________（答：(k,1)(kZ)、28

xk；（4）

已知f(x)sin(x)cos(x)为偶函数，(kZ)）28

求的值。（答：k

6(kZ)）

④变换:φ正左移负右移；b正上移负下移;

ysinxysin(x)ysin(x)

1左或右平移|左或右平移||横坐标伸缩到原来的1ysinx横坐标伸缩到原来的倍ysin(x)ysinx

A倍|b|纵坐标伸缩到原来的yAsin(x)上或下平移yAsin(x)b

40、正弦定理:2R=

222abc==;内切圆半径r=2SABC余弦定理：sinAsinBsinCabcb2c2a2111a=b+c-2bccosA,cosA;SsinCsinAcasinB2222bc

术语:坡度、仰角、俯角、方位角（以特定基准方向为起点（一般为北方），依顺时针方式旋转至指示方向所在位置，其间所夹的角度称之。方位角α的取值范围是：0≤α＜360＝等

41、同角基本关系：如：已知tansin3cos＝____；1，则tan1sincos

明日复明日，明日何其多？我生待明日，万事成蹉跎。———《明日歌》

513；sin2sincos2＝_________（答：；）35

42、诱导公式简记:奇变偶不变,符号看象限．(注意：公式中始终视)．．．．．．．．．．．．．．．为锐角．．．．

43、重要公式：sin21cos2；cos21cos2．；22

natoscnis1osc;sinsin2cossin21osc1oscnis2222

如：函数f(x)5sinxcosxx___________（答：[k2xR)的单调递增区间为5](kZ)）1212

巧变角：如()()，2()()，

，，2()()，2等）22221如（1）已知tan()，tan()，那么tan()的值是_____（答：5444

33）；（2）已知,为锐角，sinx,cosy，cos()，则y与x225

43的函数关系为______（答：yx(x1)）55,k

44、辅助角公式中辅助角的确定：asinxbcosxx(其中

b)如：（1）当函数y2cosx3sinx取得最大值时，tanx的值是a

3______(答：)；（2）假使fxsinx2cos(x)是奇函数，则tan=2tan

(答：－2)；

五、平面向量

45、向量定义、向量模、零向量、单位向量、相反向量(长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。)、共线向量、相等向量

注意:不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）

46、加、减法的平行四边形与三角形法则:;

47向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，其夹角为，则：①abab0；

22②当，同向时，＝ab，特别地，aaaa,a；当0

是为锐角的必要非充分条件；当为钝角时，ab＜0，且a、b不反向，ab0

是为钝角的必要非充分条件；③|ab||a||b|。如（1）已知a(,2)，

4b(3,2)，假使a与b的夹角为锐角，则的取值范围是______（答：或3

1；0且）3

48、向量b在a方向上的投影︱b︱cos

49、e1和e2是平面一组基底,则该平面任一向量a1e12e2(1,2唯一)

特别：.＝1OA2OB则121是三点P、A、B共线的充要条件如平

面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(1,3),若点C满足OC1OA2OB,其中1,2R且121,则点C的轨迹是_______（答：直线AB）50、在ABC中，①PG(PAPBPC)G为ABC的重心，特别地3PAPBPC0P为ABC的重心；②PAPBPBPCPCPAP为ABC的垂心；)(0)所在直线过ABC的内心(是BAC的角平③向量(|AB||AC|

分线所在直线)；④|AB|PC|BC|PA|CA|PB0PABC的内心；

⑤S⊿AOB＝1xAyBxByA;OBOCOBOC2OA如：（1）若O是ABC所在平面内一点，且满足，

则ABC的形状为____（答：直角三角形）；（2）若D为ABC的边BC的中点，2

___（答：2）；（3）若点O是△ABC的外心，且OAOBCO0，则△ABC的内|AP|，则的值为ABC所在平面内有一点P，满足PABPCP0，设|PD|

角C为____（答：120）；

51、P分2,＞0内分;＜0且≠-1外分.1P=PP12的比为,则P

＝1OP2;若λ＝1则＝11(1+2);设P(x,y),P1(x1,y1),2

只有不畏艰难，擅长思考，就能拿高分

xP2(x2,y2)则yx1x2x1x2x1x2x3,x,x,123;中点重心yyyyyy1y2232y1y1..321

xxh52、点P(x,y)按a(h,k)平移得P(x,y),则PP＝a或函数yf(x)yyk

按a(h,k)平移得函数方程为：ykf(xh)如（1）按向量a把(2,3)平移到

（－８，３））；（2）函数(1,2)，则按向量a把点(7,2)平移到点______（答：

ysin2x的图象按向量a平移后，所得函数的解析式是ycos2x1，则a＝________（答：(

4,1)）

六、不等式

53、注意课本上的几特性质，另外需要特别注意：

①若ab0，则11。即不等式两边同号时，不等式两边取倒数，不等号方向要改ab

变。②假使对不等式两边同时乘以一个代数式，要注意它的正负号，假使正负号未定，要注意分类探讨。如：已知1xy1，1xy3，则3xy的取值范围是______（答：13xy7）；

54、比较大小的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；

（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻觅中间量与“0〞比，与“1〞比或放缩法；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。如

1t1的大小（答：当a1时，logat和loga22

1t11t1t1时取等号）；当0a1logatloga（t1logatloga2222

1a24a2时取等号））；（2）设a2，pa，q2，试比较p,q的大小（答：a2

pq）（1）设a0且a1,t0，比较

55、常用不等式：若a,b0，（1

（当且仅当2；（2）a、b、cR，（当且仅当abca2b2c2abbccaab时取等号）

bbm时，取等号）；（3）若ab0,m0，则（糖水的浓度问题）。aam

100℅的付出，就有100℅的成功

b满足abab3，如：假使正数a、则ab的取值范围是_________（答：9,）

基本变形：①ab；(ab2)；2

注意：①一正二定三取等；②积定和最小,和定积最大。常用的方法为：拆、凑、平y4x91（答：8）(x)的最小值。24x2

②若若x2y1，则2x4y的最小值是______

（答：；

11③正数x,y满足x2y1，则的最小值为______

（答：3；xy

56、ababab(何时取等？)；|a|≥a；|a|≥－a

57、证法:①比较法:差比:作差--变形(分解或通分派方)--定号.另:商比②综合法--由因导果;③分析法--执果索因;④反证法--正难则反。⑤放缩法方法有：⑴添加或舍去一些项，如：a1a；n(n1)n⑵将分子或分母放大（或缩小）⑶利用基本不等式，如：log3lg5(2lg3lg52)lglglg4；2

n(n1)n(n1)2

1

k1k12k⑷利用常用结论：Ⅰ、k1k；Ⅱ、11111111；（程度大）k2k(k1)k1kk2k(k1)kk1

111111()；（程度小）22kk1(k1)(k1)2k1k1Ⅲ、

⑥换元法：常用的换元有三角换元和代数换元。如：

已知xya，可设xacos,yasin；

已知xy1，可设xrcos,yrsin(0r1)；22222

x2y2

已知221，可设xacos,ybsin；ab

x2y2

已知221，可设xasec,ybtan；ab

百练百胜，高考大捷

⑦最值法,如：afmax(x),则af(x)恒成立.

58、解绝对值不等式:①几何法(图像法)②定义法(零点分段法);③两边平方

④公式法：|f(x)|g(x);|f(x)|g(x)。

59、分式、高次不等式:通分因式分解后用根轴法（穿线法）.注意偶次式与奇次式符号.奇穿偶回

如（1）解不等式(x3)(x1)(x2)0。（答：{x|x1或x3或x2}）；32

ax21（2）解不等式x(aR)（答：a0时，{x|x0}；a0时，{x|xax1a

或x0}；a0时，{x|1x0}或x0}）a

七、立几

60.位置和符号①空间两直线:平行、相交、异面;判定异面直线用定义或反证法②直线与平面:a∥α、a∩α=A(aα)、aα③平面与平面:α∥β、α∩β=a

a//b//61.常用定理:①线面平行ba//;a//;aa//aaa

//aa//b②线线平行:aa//b;a//b;aa//b;c//bba//cbba//

a,ba//③面面平行:abO//;//;//a//a//,b//

④线线垂直:aab;所成角b

⑤线面垂直:abO900PO；a(三垂线);逆定理?aPAaAOa,ba//b//;;;ablalaaa,alla,lb

0⑥面面垂直：二面角90;aa//;aa

62.求空间角①异面直线所成角的求法：（1）范围：(0,

2（2）求法：平；

移以及补形法、向量法。如（1）正四棱锥PABCD的所有棱长相等，E是PC的中点，那么异面直线BE与PA所成的角的余弦值等于____（答：3）；（2）3

在正方体AC1中，M是侧棱DD1的中点，O是底面ABCD的中心，P是棱A1B1

人生能有几回搏，此时不搏待何时

上的一点，则OP与AM所成的角的大小为____（答：90）；②直线和平面所成的角：（1）范围[0,90]；（2）斜线与平面中所有直线所成角中最小的角。：（3）求法：作垂线找射影或求点线距离（向量法）；如（1）在正三棱柱ABC-A1B1C1中，已知AB=1，D在棱BB1上，BD=1，则AD与平面AA1C1C所成的角为______（答：arcsin）；（2）正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是AB、C1D1的4

中点，则棱A1B1与截面A1ECF所成的角的余弦值是______（答：1）；③二面3

角：二面角的求法：定义法、三垂线法、垂面法、面积射影法：S射＝S原cos、转化为法向量的夹角。如（1）正方形ABCD-A1B1C1D1中，二面角B-A1C-A的大小为________（答：60）；（2）正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中对角线BD1＝8，BD1与侧面B1BCC1所成的为30，则二面角C1—BD1—B1的大小为______

（答：arcsin）；（3）从点P出发引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60，3

则二面角B-PA-C的余弦值是______（答：1）；3

63.平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体间联系

三棱锥中:侧棱长相等(侧棱与底面所成角相等)顶点在底面射影为底面外心;侧棱两两垂直(两对对棱垂直)顶点在底面射影为底面垂心;斜高相等(侧面与底面所成相等)顶点在底面射影为底面内心;正棱锥各侧面与底面所成角相等为θ,则S侧cosθ=S底;正三角形四心?内切外接圆半径?;

64.空间距离:①异面直线间距离:找公垂线;②平行线与面间距离(两平行面间距

PAn离)→点到面距离:直接法、等体积、转移法、垂面法、向量法h.③点到n

线距离:用三垂线定理作垂线后再求;

65.求球面两点A、B距离①求|AB|②算球心角∠AOB弧度数③用公式L球面距离=θ角球心R;纬线半径r＝Rcos纬度。S球=4πR;V球＝243πR;3

选择题力求一遍确凿不回头（一般也没时间检查），因此读题要细心，争取读两遍以上题后再下笔，以免忙中出错，按要求解答，选择前最好再读一遍题，免得答非所问，要是再念一遍题就会避免这

66.平面图形翻折(展开):注意翻折(展开)后在同一平面图形中角度、长度不变;67.从点O引射线OA、OB、OC,若∠AOB=∠AOC,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上;若A到OB与OC距离相等,则A在平面BOC的射影在∠BOC平分线上；68.常用转化思想:①构造四边形、三角形把问题化为平面问题②将空间图展开为平面图③割补法④等体积转化⑤线线平行线面平行面面平行⑥线线垂直线

面垂直面面垂直⑦有中点等特别点线,用“中位线、重心〞转化.

69.三面角公式:AB和平面所成角是θ,AB在平面内射影为AO,AC在平面内,设∠CAO=α,∠BAC=β,则cosβ=cosθcosα;长方体:

对角线长l若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成角分别为α,β,γ,则有cosα+cosβ+cos

22γ=1;体对角线与过同顶点的三侧面所成角分别为α,β,γ,则cosα+cosβ

2+cosγ=2;正方体和长方体外接球直径=体对角线长;

特别指出：立体几何中平行、垂直关系的证明的基本思路是利用线面关系的转化，即：线∥线线∥面面∥面

判定性质线⊥线线⊥面面⊥面线∥线线⊥面面∥面

八、解几

070.倾斜角α∈[0,π],α=90斜率不存在;斜率k=tanα=y2y1x2x1222

71.直线方程:点斜式y-y1=k(x-x1);斜截式y=kx+b;一般

式:Ax+By+C=0

两点式:yy1xx1xy;截距式:1(a≠0;b≠0);求直线方程时要防止由于y2y1x2x1ab

,直线Ax+By+C=0的方向向量为=(A,-B)

72.两直线平行和垂直①若斜率存在l1:y=k1x+b1,l2:y=k2x+b2则l1∥l2k1∥k2,b1≠b2;l1⊥l2k1k2=-1

②若l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2A1A2+B1B2=0；

③若A1、A2、B1、B2都不为零l1∥l2

④l1∥l2则化为同x、y系数后距离d=A1B1C1;A2B2C2|C1C2|

AB

1k2k1

222kk73.l1到l2的角tanθ=k2k1;夹角tanθ=|21|;点线距d=|Ax0By0C|;1k2k12A2B222274.圆:标准方程(x－a)+(y－b)=r;一般方程:x+y+Dx+Ey+F=0(D+E-4F0)

参数方程:

222xarcos;直径式方程(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0ybrsin2222222

对于运算繁杂的题，你感觉三五分钟无法算出，就是会做，也不能浪费过多时间，譬如2000年选75.若(x0-a)+(y0-b)r(=r,r),则P(x0,y0)在圆(x-a)+(y-b)=r内(上、外)76.直线与圆关系,常化为线心距与半径关系，如：用垂径定理,构造Rt△解决弦长问题，又:ｄr相离;d=r相切;dr相交.77.圆与圆关系,常化为圆心距与两圆半径间关系.设圆心距为d,两圆半径分别为r,R,则dr+R两圆相离;d＝r+R两圆相外切;|R－r|dr+R两圆相交;d＝|R－r|两圆相内切;d|R－r|两圆内含;d=0,同心圆。222278.把两圆x+y+D1x+E1y+C1=0与x+y+D2x+E2y+C2=0方程相减即得相交弦所在直线方程:(D1-D2)x+(E1-E2)y+(C1-C2)=0;推广:椭圆、双曲线、抛物线?过曲线f1(x,y)=0与曲线f2(x,y)=0交点的曲线系方程为:f1(x,y)+λf2(x,y)=0

79.圆上动点到某条直线(或某点)的距离的最大、最小值的求法(过圆心)

|PF|xacosx2y280.椭圆①方程221(ab0);参数方程②定义:=e1;dybsinab相应

|PF1|+|PF2|=2a2c③e=cb

2,a=b+c④长轴长为2a，短轴长为2b⑤焦半径左2222aa

PF1=a+ex,右PF2=a-ex;左焦点弦AB2ae(xAxB),右焦点弦AB2ae(xAxB)⑥

2a22b2准线x=、通径(最短焦点弦),焦准距p=b⑦SPF1F2=b2tan,当P为短轴端ca2c

点时∠PF1F2最大,近地a-c远地a+c;

x2y2|PF|81.双曲线①方程221(a,b0)②定义:=e1;||PF1|-|PF2||=2a2c③d相应ab

e=cb

2,c=a+b④四点坐标？x,y范围?实虚轴、渐进线交点为中心⑤焦半径、2222aa

焦点弦用其次定义推(注意左右支及左右焦点不同);到焦点距离常化为到准线距离

a22b2b2⑥准线x=、通径(最短焦点弦),焦准距p=⑦SPFF=b2cot⑧渐进线cac122

bxy20或yx;焦点到渐进线距离为b;13.抛物线①方程y=2px②定aab

p义:|PF|=d准③顶点为焦点到准线垂线段中点;x,y范围?轴？焦点F(,0),准线2

2pp2x=-,④焦半径AFxA;焦点弦AB＝x1+x2+p;y1y2=－p,x1x2=p其中22422

A(x1,y1)、B(x2,y2)⑤通径2p,焦准距p;

105.B0,Ax+By+C0表示直线斜上侧区域;Ax+By+C0表示直线斜下侧区域;

A0,Ax+By+C0表示直线斜右侧区域;Ax+By+C0表示直线斜左侧区域;

求最优解注意①目标函数值≠截距②目标函数斜率与区域边界斜率的关系.

222222282.过圆x+y=r上点P(x0,y0)的切线为:x0x+y0y=r;过圆x+y=r外点P(x0,y0)作切

2线后切点弦方程:x0x+y0y=r;过圆外点作圆切线有两条.若只求出一条,则另一条垂

直ｘ轴.

83.对称①点(ａ,ｂ)关于ｘ轴、ｙ轴、原点、直线y=x、y=-x、y=x+m、y=-x+m的对称点分别是(ａ,-ｂ),(-ａ,ｂ),(-ａ,-ｂ),(ｂ,ａ),(-ｂ,-ａ),(b-m、a+m)、(-b+m、-a+m)②点(ａ,ｂ)关于直线Ax+By+C=0对称点用斜率互为负倒数和中点在轴上解③曲线f(x,y)=0关于点(a,b)对称曲线为f(2a-x,2b-y)=0;关于y=x对称曲线为f(y,x)=0;关于轴x=a对称曲线方程为f(2a-x,y)=0;关于轴y=a对称曲线方程为:f(x,2a-y)=0;可用于折叠(反射)问题.

84.相交弦问题①用直线和圆锥曲线方程消元得二次方程后,注意用判别式、韦达定理、弦长公式;注意二次项系数为0的探讨;注意对参数分类探讨和数形结合、设而不求思想的运用;注意焦点弦可用焦半径公式,其它用弦长公式

ABk2x2x1(1k2)x

|ax|y11yy(1)21k2|ay|k2②涉及弦中点与斜率问

按常规方法10分钟也难以求出，这时就该用特别位置法求解，一分钟就够了，即按垂直于轴的状况来算，这类题往往用特别值法、特别图形，用选择支验证等方法大多能事半功倍

题常用“点差法〞.如:曲线x

2y21(a,b0)上A(x1,y1)、B(x2,y2)中点为M(x0,y0),ab

22则KABKOM=b

2;对抛物线y=2px(p≠0)有KAB＝2p22ay1y2

85.轨迹方程:直接法(建系、设点、列式