1-3章概率论课后习题及答案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——1—3章概率论课后习题及答案

第一章随机事件及其概率

1.1-2随机试验、随机事件

1.多项选择题:

⑴以下命题正确的是（）

A.(AB)(AB)A；B.若AB,则ABA；

C.若AB,则BA；D.若AB,则ABB.

⑵某学生做了三道题，以Ai表示“第i题做对了的事件〞(i1,2,3)，则该生至少做对了两道题的事件可表示为（）

A.A；B.A1A2A2A3A3A1；1A2A3A1A2A3A1A2A3

C.A；D.A1A2A3A1A2A3A1A2A3A1A2A3.1A2A2A3A3A12.A、B、C为三个事件，说明下述运算关系的含义：

⑴A；⑵BC；⑶ABC；⑷ABC；⑸ABC；⑹ABC.

3.一个工人生产了三个零件，以Ai与i(i1,2,3)分别表示他生产的第i个零件为正品、次品的事件.试用Ai与i(i1,2,3)表示以下事件：⑴全是正品；⑵至少有一个零件是次品；⑶恰有一个零件是次品；⑷至少有两个零件是次品.

1.3-4事件的概率、古典概型

1.多项选择题:

⑴以下命题中,正确的是（）

A.ABABB；B.ABAB；C.ABCABC；D.AB(AB).

⑵若事件A与B相容，则有（）A.P(AB)P(A)P(B)；B.P(AB)P(A)P(B)P(AB)；C.P(AB)1P(A)P(B)；D.P(AB)1P(A)P(B).

⑶事件A与B相互对立的充要条件是（）A.P(AB)P(A)P(B)；B.P(AB)0且P(AB)1；C.AB且AB；D.AB.

2.袋中有12只球，其中红球5只，白球4只，黑球3只.从中任取9只，求其中恰好有4只红球，3只白球，2只黑球的概率.

3.求寝室里的六个同学中至少有两个同学的生日恰好同在一个月的概率.

4.10把钥匙中有三把能开启门，今任取两把，求能开启门的概率.

5.将三封信随机地放入标号为1、2、3、4的四个空邮筒中,求以下概率：(１)恰有三个邮筒各有一封信；（２）其次个邮筒恰有两封信；（３）恰好有一个邮筒有三封信．

6.将20个足球球队随机地分成两组，每组10个队，进行比赛．求上一届分别为第一、二名的两个队被分在同一小组的概率．

1.5条件概率

1.多项选择题:

⑴已知P(B)0且A1A2,则（）成立.

A.P(A1|B)0；B.P((A1A2)|B)P(A1|B)(A2|B)；

C.P(A1A2|B)0；D.P(A1A2|B)1.

0,P(B)0且P(A|B）P(A)，则（）成立.⑵若P(A）

A.P(B|A)P(B)；B.P(A|B)P(A)；C.A,B相容；D.A,B不相容.

2.已知P(A)

3.某种灯泡能用到3000小时的概率为0.8，能用到3500小时的概率为0.7.求

一只已用到了3000小时还未坏的灯泡还可以再用500小时的概率.

4.两个箱子中装有同类型的零件，第一箱装有60只，其中15只一等品；其次箱装有40只，其中15只一等品.求在以下两种取法下恰好取到一只一等品的概率：⑴将两个箱子都开启，取出所有的零件混放在一堆，从中任取一只零件；⑵从两个箱子中任意挑出一个箱子，然后从该箱中随机地取出一只零件.

5.某市男性的色盲发病率为7%,女性的色盲发病率为0.5%.今有一人到医院求治色盲,求此人为女性的概率.(设该市性别结构为男:女=0.502:0.498)

6.袋中有a只黑球，b只白球，甲、乙、丙三人依次从袋中取出一只球(取后不放回)，分别求出他们各自取到白球的概率.

111

,P(B|A).P(A|B)，求P(AB)346

1.6独立性

1.多项选择题：

⑴对于事件A与B，以下命题正确的是().

A.若A、B互不相容,则、也互不相容；B.若A、B相容,则、也相容；

C.若A、B独立，则、也独立；D.若A、B对立，则、也对立.

⑵若事件A与B独立，且P(A)0,P(B)0，则（）成立.

A.P(B|A)P(B)；B.P(A|B)P(A)；C.A、B相容；D.A、B不相容.

2.已知A、B、C相互独立，证明、也相互独立.

3.一射手对同一目标进行四次独立的射击，若至少射中一次的概率为射手每次射击的命中率.

80

，求此81

*4.设A、B、C为相互独立的事件，求证AB、AB、AB都与C独立.

5.甲、乙、丙三人同时各用一发子弹对目标进行射击，三人各自击中目标的概率分别是0.4、0.5、0.7.目标被击中一发而冒烟的概率为0.2，被击中两发而冒烟的概率为0.6，被击中三发则必定冒烟，求目标冒烟的概率.

6.甲、乙、丙三人抢答一道智力竞赛题，他们抢到答题权的概率分别为0.2、0.3、0.5；而他们能将题答对的概率则分别为0.9、0.4、0.4.现在这道题已经答对，问甲、乙、丙三人谁答对的可能性最大.

7.某学校五年级有两个班，一班50名学生，其中10名女生；二班30名学生，其中18名女生．在两班中任选一个班，然后从中先后挑拣两名学生，求（1）先选出的是女生的概率；（2）在已知先选出的是女生的条件下，后选出的也是女生的概率．

其次章一维随机变量及其分布

2.1离散型随机变量及其概率分布

1．填空题：

⑴当c时P(Xk)c/N,(k1,,N)是随机变量X的概率分布，当c时P(Yk)(1c)/N,(k1,,N)是随机变量Y的概率分布；

⑵当a时P(Yk)a

k

k!

(k0,1,,0)是随机变量Y的概率分布；

⑶进行重复的独立试验，并设每次试验成功的概率都是0.6.以X表示直到试验获得成功时所需要的试验次数，则X的分布律为

；

⑷某射手对某一目标进行射击，每次射击的命中率都是p,射中了就中止射击且至多只射击10次.以X表示射击的次数，则X的分布律为

；

⑸将一枚质量均匀的硬币独立地抛掷n次，以X表示此n次抛掷中落地后正面向上的

次数，则X的分布律为.2．设在15只同类型的零件中有2只是次品，从中取3次，每次任取1只，以X表示取出的3只中次品的只数.分别求出在⑴每次取出后记录是否为次品，再放回去；⑵取后不放回，两种情形下X的分布律.

3．一只袋子中装有大小、质量一致的6只球,其中3只球上各标有1个点,2只球上各标有2个点,1只球上标有3个点.从袋子中任取3只球，以X表示取出的3只球上点数的和.⑴求X的分布律；⑵求概率P(4X6),P(4X6),P(4X6),P(4X6).

4．某厂有7个参谋，假定每个参谋贡献正确看法的可能性都是0.6.现在为某件事的可行与否个别地征求每个参谋的看法，并按多数参谋的看法作决策.求作出正确决策的概率.

5．袋子中装有5只白球，3只黑球，从中任取1只，假使是黑球就不放回去，并从其它地方取来一只白球放入袋中，再从袋中取1只球.如此继续下去，直到取到白球为止.求直到取到白球为止时所需的取球次数X的分布律.

2.2连续型随机变量及其概率分布

1．多项选择题：以下函数中能成为某随机变量的概率密度的是()

cosx,cosx0x0x,A.f(x)；2；B.f(x)2

0,其它其它0,cosx,xex,0x1xC.f(x).22；D.f(x)0,0,其它其它

2．设随机变量X的概率分布律如右,求X的分

布函数及P(X2),P(0X3),P(2X3).

3．设一只袋中装有依次标有数字-1、2、2、2、3、3的六只球，此后袋中任取一只球，并以X表示取得的球上所标有的数字.求X的分布律与分布函数.

4．设连续型随机变量X⑴系数A；⑵X的分布函数；⑶P(0.1X

x

5．设连续型随机变量X的分布函数如右，试求：⑴系数k；⑵X的概率密度；⑶P(|X|0.5).

6．设连续型随机变量X的分布函数为F(x)ABarctanx(xR)，试求：⑴系数A与B；⑵X的概率密度；⑶X在区间(a,b)内取值的概率.

2.3

1．设离散型随机变量X的分布律如右，求UX1,V2X2,W2X21的分布律

ex,x0

,求随机变量YeX的概率密度.2．设随机变量X的概率密度为f(x)

0,x0

3．设随机变量X在区间(0,)上听从均匀分布，求：⑴随机变量Y2lnX的概率密度；⑵随机变量ZsinX的分布函数与概率密度.

4．设连续型随机变量X的概率密度为f(x)

x2/2

e(xR),求Y|X|的密度.*5．设F1(x)与F2(x)分别为两个随机变量的分布函数，证明：当a0,b0且

ab1时，(x)aF1(x)bF2(x)可以作为某个随机变量的分布函数.

2.4一维随机变量的数字特征

1．一批零件中有9件合格品与3件次品，往机器上安装时任取一件，若取到次品就弃置一边.求在取到合格品之前已取到的次品数的期望、方差与均方差.

2．设随机变量X的概率密度为f(x)0.5e

3．设随机变量X的概率密度为f(x)

|x|

,x,求EX,DX.

2(1x),0x1

,求EX与DX.

其它0,

4．某路公汽起点站每5分钟发出一辆车，每个乘客到达起点站的时刻在发车间隔的5分

钟内均匀分布.求每个乘客候车时间的期望(假定汽车到站时，所有候车的乘客都能上车).

0.25ex/4,

5．某工厂生产的设备的寿命X(以年计)的概率密度为f(x)

0,

x0x0

，工

厂规定，出售的设备若在一年之内损坏可以调换.若出售一台设备可赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元，试求厂方出售一台设备净赢利的数学期望.

*6．某工厂计划开发一种新产品，预计这种产品出售一件将获利

润的数学期望最大，应生产多少件产品？

500元，而积压一件

将损失2000元.而且预计到这种产品的销售量Y(件)听从指数分布E(0.0001).问要获得利

第三章多维随机变量及其分布

3.1二维随机变量

1．设随机变量(X,Y)只取以下数组中的值：(0,0)、(1,1)、(1,)、(2,0)且相应的概率依次为

2．一只口袋中装有四只球，球上分别标有数字1、2、2、3.此后袋中任取一只球，取后不放回，再从袋中任取一只球.分别以X与Y表示第一次、其次次取到的球上标有的数字，求X与Y的联合分布律与关于X、Y的边缘分布律.

13

1115、、、.求随机变量(X,Y)的分布律与关于X、Y的边缘分布律.631212

ce2(xy),0x,0y

3．设随机变量(X,Y)的概率密度f(x,y)，

其它0,

试求：⑴常数c；⑵(X,Y)的分布函数F(x,y)；⑶P{XY1}.

4．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

4.8y(2x),0x1,0yx

求关于，

0,其它

X、Y的边缘概率密度.

5．设随机变量(X,Y)在G上听从均匀分布，其中G由x轴、y轴及直线y2x1所围成，试求：⑴(X,Y)的概率密度f(x,y)；⑵求关于X、Y的边缘概率密度.

*6．设某班车起点站上车的人数X

听从参数为(0)的泊松分布，每位乘客在中途

下车的概率为p(0p1),乘客中途下车与否相互独立，并以Y表示在中途下车的人数.

求：⑴在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率；⑵(X,Y)的分布律.

1．设随机变量X与Y相互独立右表给出二维随机变量(X,Y)律及边缘分布律中的部分数值.试将其余数值填入表中的空白处.

2．设随机变量(X,Y)分布律如右:⑴a、b、c时X与Y相互独立？⑵写出(X,Y)的分布律与边缘分布律.

3．设随机变量X在1、2、3、4四个整数中等可能地取值,而随机变量Y在1~X中等可能地取一个整数.求：⑴X2时,Y的条件分布律；⑵Y1时,X的条件分布律.

e(xy),x0,y0

4．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y).

其它0,

⑴求fY|X(y|x)

；

⑵求fX|Y(x|y)；⑶说明X与Y的独立性.

*5．箱子中装有

12只开关(其中2只是次品)，从中取两次，每次取一只，并定义随

0,若第一次取出的是正品；0,若其次次取出的是正品，试在放回机变量如下：XY

1,若其次次取出的是次品1,若第一次取出的是次品

抽样与不放回抽样的两种试验中，求关于X与Y的条件分布律，并说明X与Y的独立性.

c

*6．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

与条件概率密度fY|X(y|x),fX|Y(x|y).

,|y|x,1x0

求参数c，

其它0,

3.31.设(X,Y)的分布律如右,求⑴P{X2|Y2},P{Y3|X0}

⑵Vmax(X,Y)的分布律；

⑶Umin(X,Y)的分布律；⑷WXY的分布律.

2．设X与Y是相互独立的随机变量，它们分别听从参数为1、2的泊松分布.证明

ZXY听从参数为12的泊松分布.

3．设随机变量X与Y相互独立,且都听从参数为p0.25的两点分布，记随机变量Z为

1,XY为奇数求X与Z的联合分布律与EZ.Z，

0,XY非为奇数

4．设随机变量X与Y相互独立，其概率密度分别为

x

12e,

fX(x)2

0,

y

13

x0e,

,fY(y)3x00,

y0y0

,求随机变量UXY的概率密度.

xex,x0

5．某种商品一周的需求量X是一个随机变量，其概率密度为f(x).

0,x0

设各周的需求量是相互独立的，试求：⑴两周；⑵三周的需求量的概率密度.

6．设某种型号的电子管的寿命(以小时记)近似地听从E分布.随机地选取4只，将其串联在一条线路中，求此段线路的寿命超过180小时的概率。

7．设随机变量(X,Y)~U(G),且G{(x,y)|1x3,1y3},求随机变量

Z|XY|的概率密度.

8．设随机变量X与Y相互独立，且都在[1,1]上听从均匀分布，求二次方程

t2XtY0有实根的概率.

3.4多元随机变量的数字特征

1．单项选择题：

⑴设X与Y的相关系数为0，则()

A.X与Y相互独立;B.X与Y不一定相关;C.X与Y必不相关;D.X与Y必相关.

⑵设X与Y的期望与方差都存在,且D(XY)DXDY,则以下不正确的是()

A.D(XY)DXDY;B.EXYEXEY;C.X与Y不相关;D.X与Y相互独立.

2．填空题：

⑴设随机变量(X,Y)的概率密度为f(X,Y)

xy/96,0x4,1y5

，

其它0,

则EX，EY，EXY，E(2X3Y).⑵设随机变量X与Y相互独立，且X~P(2),Y~E(0.25),

则E(2X3X2)，D(2X3X2).

3．n把看似完全一致的钥匙，只有一把能开保险柜的门锁，用它们去试开保险柜.假

设取到每把钥匙的可能性是等同的，且每把钥匙只试开一次，求试开次数X的数学期望与方差.求在以下两种方法下求试开次数X的数学期望与方差：

⑴先写出X的分布律；*⑵不写出X的分布律。

4．设(X,Y)在区域G上听从均匀分布，其中G由x轴、y轴及直线xy1围成.⑴求EX,E(3X2Y),E(XY)；⑵判断随机变量X与Y的独立性.

12y2,

5．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)

0,

求EX,EY,cov(X,Y),XY.

0yx1

，

其它

6．设连续型随机变量X的概率密度f(x)为偶函数，且EX,求cov(X,|X|)并说明X与|X|的相关性.

2

*7．设随机变量(X,Y)的概率密度为f(x,y)k,|y|x0x1时;f(x,y)0,

其它时。⑴求k,fX(x),fY(y),fX|Y(x|y),fY|X(y|x),EX,DX,EY,DY,cov(X,Y),XY;⑵说明X与Y的相关性与独立性;⑶若ZXY,求FZ(z),fZ(z)。

参考答案

1-1、2

1.⑴A,B,C,D；⑵B,D.

2.⑴A发生；⑵B与C都不发生；⑶A发生且B与C都不发生；⑷A,B,C都不发生；

⑸A,B,C中至少有一个发生；⑹A,B,C中至少有一个不发生.

3.⑴A1A2A3；⑵123；⑶1A2A3A12A3A1A23；⑷122313.1-3、4

1.⑴A、D；⑵B；⑶C.2.3/11.3.0.777.4.8/15.5.⑴3/8；（2）9/64；（3）1/16．6.9/19.1-5

1.⑴A,B,C；⑵A,B,C.2.0.75.3.0.875.4.⑴0.3；⑵0.3125.5.0.067.6.都为b/(ab).

1-6

1.⑴C,D；⑵A,B,C.3.2/3.5.0.458.6.丙.7.（1）0.4；（2）0.4856．2-1

1.(1)1,0;(2)e

;(3)P(Xk)0.4k10.6(k1,2,);

(4)P(Xk)p(1p)k1(k1,2,,9),P(X10)(1p)9;

k

(5)P(Xk)Cn(0.5)n(k0,1,,n).

k2.(1)P(Xk)C3(2/15)k(13/15)3k(k0,1,2,3)

(2)P(X0)22/35,P(X1)12/35,P(X2)1/35.

P(4X6)0.6,P(4X6)0.6,

P(4X6)0.3,P(4X

6)0.9.

P(X3)21/256,P(X4)3/256.2-2

0,x0

1/16,0x1P(X2)0.751.A,D.2.P(0X3)0.6875.

F(x)1/4,1x2,

3/4,2x3P(2X3)0.75

x31,

0,x1

1/6,1x2F(x).2/3,2x3

x31,

0,x0

4.(1)3;(2)F(x)x3,0x1;(3)0.342.

1,x1

1,0x1;(3)0.5.5.(1)1;(2)f(x)

0,其它

6.(1)A0.5,B1/;(2)f(x)

1;(3)1/(arctanbarctana).

2

(1x)

ey/2/2,y

(2ln,)1/y2,y12.f(y).3.⑴fY(y)

其它y10,0,

0,z00z1⑵F(z)(2arcsinz)/,0z1,f(z).

ZZ

z0z10,1,z1

4.y0时,fY(y)2ey

2

/2

y0时,fY(y)0.

5.提醒：从证明(x)满足分布函数的性质入手证明

.

2-4

1.0.3,0.319,0.5649.2.0,2.3.1/3,1/18.4.2.5.5.33.64.6.2231.

03.c4,F(x,y),0.594.

其它0,

2.4x2(2x),0x12.4y(34yy2),0y1

4.