13三角函数诱导公式(第2课时)

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三角函数1.3三角函数的诱导公式(2)

例2

解

π5π+-α-sinα-cosα-sinαcos2原式=π-cosαsinπ-α[-sinπ+α]sin4π+2+α2

π11sin2π-αcosπ+αcos+αcosπ-α22化简：9.cosπ-αsin3π-αsin-π-αsinπ+α2

π-sinαcosα-cos2-α2sinαcosαsinα=π=-cosαsin2αcosα-cosαsinα[--sinα]sin+α2

sinα=-=-tanα.cosα

(1)已知tanα=2,sinα+cosα0,则sin(2)sin()cos()=__________.sin(3)cos()

(1)原式=sin(sin)(cos)=sinα,sincos

∵tanα=20,∴α为第一象限角或第三象限角，又sinα+cosα0,∴α为第三象限角.由tanα=sin=2,得sinα=2cosα代入sin2α+cos2α=1,解得cos

sinα=25.5

答案：255

已知α为第三象限角,3sin()cos()tan()22f(α)=,tan()sin()

①化简f(α);31②若cos(),求f(α)的值.25

3sin()cos()tan()22(2)①f(α)=tan()sin()(cos)sin(tan)cos.(tan)sin②∵cos(3)1,25∴-sinα=1,从而sinα=1.55

又α为第三象限角,∴cosα=1sin226,即f(α)的值为26.5

5

5π3-θ+π-θ744πθ例已知sin(5π-θ)+sin2=,求sin2+cos2的值.2解7,2171322∴sinθcosθ=[(sinθ+cosθ)-1]=22-1=8,24π4344∴sin-θ+cosπ+θ=cosθ+sinθ22=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ3232=1-28=32.

5∵sin(5π-θ)+sinπ-θ2π=sin(π-θ)+sin-θ=sinθ+cosθ=2

3π3π+θ-θπ+θ3333例已知sin(θ-π)+cos2=,求sin2-cos2的值.2533π3解∵sin(θ-π)+cosπ+θ=-sinπ-θ-cos+θ2222π3=sin-θ+sinθ=cosθ+sinθ=.5291812-1=-.∴sinθcosθ=[(sinθ+cosθ)-1]=2252523π33π∴sin+θ-cos-θ

2233π=cosθ+cos-θ=cos3θ+sin3θ2=(sinθ+cosθ)(sin2θ-sinθcosθ+cos2θ)8399=1--25=.5125

二、利用诱导公式证明

3πθ-πθ+2sin2cos2-1tan9π+θ+1例求证：=.3tanπ+θ-12θ+π1-2cos23π-sinθ-2sinπ-θ-2sinπ+2-θ-sinθ-1-12证明∵左边==1-2sin2θ1-2sin2θπ2sin-θ-sinθ-12==2

1-2sinθ

-2sinθcosθ-1sin2θ+cos2θ-2sin2θ

sinθ+cosθ2sinθ+cosθ=2=sinθ-cos2θsinθ-cosθ

tanθ+1右边=tanθ-1sinθ+1sinθ+cosθcosθ==.sinθsinθ-cosθ-1cosθ

∴左边=右边，故原等式成立.

三、诱导公式在三角形中的应用三角形中的诱导公式在三角形ABC中常用到以下结论:sin(A+B)=sin(π-C)=sinC,cos(A+B)=cos(π-C)=-cosC,tan(A+B)=tan(π-C)=-tanC,Csin(AB)=sin(C)=cos,22222CCcos(AB)=cos()=sin.22222

在△ABC中，若sin(2π-A)=-2sin(π-B),3cosA=-2cos(π-B),求△ABC的三个内角.

解答

由已知得sinA=2sinB,3cosA=2cosB两式平

方相加得2cos2A=1,即cosA=2或cosA=-2.22

(1)当cosA=2时,cosB=3,又角A、B是三角形的内角,∴A=,B=