数学实验终稿

内容简介

本书主要讲授大学工科数学课程中的线性代数、微积分、常微分方程、概率论

与数理统计等重要数学方法用MATLAB软件的实现过程及其应用，内容分五个部

分：第一部分为MATLAB软件使用简介，介绍MATLAB软件的基本内容；第二部

分为线性代数实验，介绍用MATLAB软件求解线性方程组、计算矩阵特征值和特征

向量、进行矩阵的相似对角化及矩阵分解的方法；第三部分为微积分实验，介绍用

MATLAB软件进行符号微积分运算、数值微分和数值积分计算的方法；第四部分为

常微分方程实验，介绍用MATLAB软件求解线性（非线性）微分方程（组）的解析

解和数值解、进行动态仿真的方法；第五部分为概率论与数理统计实验，介绍用

MATLAB软件进行随机变量的相关计算、随机数的产生及样本数据统计与可视化的

方法。另外，针对具体内容介绍了相应的应用实例，以帮助学生逐步学会用所学知

识去解决实际问题。每一章后附有一定量的实验题，以供学生课后上机练习及实验。

本书适用于理工科院校大学本、专科学生，以及具备工科数学知识和计算机知

识的其他科技工作者。

“数学实验''是在数学应用于各个学科领域，特别是应用于工程技术领域的过程

中产生的，是伴随着计算机的广泛使用和数学软件的有效开发而发展的，它着重体

现了“用数学”和"实现数学”的理念。“用数学''是指应用数学理论知识解决相关领域中

的实际问题；"实现数学''是指通过计算机及数学软件实现部分数学结果的理论推导

和计算过程，使得抽象的数学内容直观化、可视化。

数学实验课程是大学工科数学课程教学改革与建设的主要成果之一，目前已在

全国各高校广泛开设，并已成为大学工科数学课程的重要组成部分。数学实验课开

设的主要目的是通过“数学实验”使学生深入理解数学基本概念和基础理论、熟悉并

掌握常用的数学软件，培养学生应用数学知识并结合计算机工具解决实际问题的能

力。数学实验课将数学知识与计算机应用有机地结合起来，以数学知识为背景、以

数学软件为工具，为学生自觉学习数学方法、动手解决实际问题搭建了平台，对提

高学生学习数学的兴趣、加强学生的数学理论基础、培养学生的开拓性思维等具有

重要作用。

本书主要讲授大学工科数学课程中的线性代数、微积分、常微分方程、概率论

与数理统计等重要数学方法用MATLAB软件的实现过程，内容分五个部分：第一部

分为MATLAB软件使用简介，介绍功能强大的MATLAB软件的基本运行，变量、

矩阵、数组及其运算，函数及语句和M文件的编写，以及绘图功能及数据的导入导

出等。第二部分为线性代数实验，介绍用MATLAB软件求解线性方程组、计算矩阵

特征值和特征向量以及进行矩阵相似对角化和矩阵分解的方法。第三部分为微积分

实验，介绍用MATLAB软件进行符号微积分运算、数值微分、函数插值和数值积分

计算的方法。第四部分为常微分方程实验，介绍用MATLAB软件求解线性（非线性）

微分方程（组）的解析解和数值解、进行向量场绘制和动态仿真的方法。第五部分

为概率论与数理统计实验，介绍用MATLAB软件进行随机变量相关计算、随机数的

产生，及进行样本数据的统计描述与可视化的方法。另外，针对具体方法介绍了相

应的应用实例，所以更有利于培养学生“用数学”的意识和能力。

本书的主要阅读对象是理工科院校本专科学生。数学实验课对学生后继课程的

学习，特别是学生在课程设计和毕业设计等环节中的学习和研究具有重要帮助，提

供思想和方法的指导。本课程也将为学生进一步学习数学建模、参加数学建模竞赛、

利用数学方法解决各个领域中的实际问题打下良好的基础。

本书由陈东彦老师组织编写，主要由刘凤秋、李善强、曹作宝编写，牛霹、宋

显华、孙伟参与了部分内容的编写，田广悦老师对书中各部分内容的选编给与了很

多具体的指导。由于缺乏经验、水平有限，书中难免有不妥之处，希望同行专家及

广大读者批评指正！

编者

2009年12月

目录

内容简介1

前言2

第1章MATLAB软件使用简介8

1.1MATLAB软件使用入门8

1.1.1MATLAB启动/退出8

1.1.2MATLAB操作的注意事项及常用技巧11

1.1.3MATLAB帮助11

1.2MATLAB的变量和表达式13

1.3MATLAB矩阵创建及其运算16

1.3.1MATLAB矩阵的创建16

1.3.2MATLAB矩阵的运算18

1.4M文件的编写与调用21

1.4.1文件的操作22

1.4.2命令文件23

1.4.3函数文件24

1.5MATLAB编程25

1.5.1MATLAB常用的程序控制语句25

1.5.2MATLAB编程应用30

1.6MATLAB基本绘图32

1.6.1二维图形的绘制32

1.6.2三维图形的绘制38

1.7MATLAB数据的导入与导出41

1.7.1导入数据41

1.7.2导出文本文件44

1.7.3对MS-Excel电子表格文件的操作46

实验148

第2章线性代数实验50

2.1线性方程组的求解50

2.1.1MATLAB中矩阵的相关运算50

2.1.2线性方程组的求解52

2.1.3应用实例56

2.2矩阵的特征值与特征向量及其相似对角化59

2.2.1矩阵的特征值与特征向量59

2.2.2矩阵的相似对角化61

2.2.3应用实例64

2.3矩阵的分解68

2.3.1矩阵的LU分解68

2.3.2矩阵的QR分解69

2.3.3矩阵的Cholesky分解70

2.3.4矩阵的奇异值分解71

2.3.5*矩阵的Hessenberg分解74

2.3.6*矩阵的Schur分解75

实验277

第3章微积分实验80

3.1微积分符号运算80

3.1.1符号变量与符号表达式80

3.1.2符号函数的极限81

3.1.3符号函数的微分83

3.1.4符号函数的积分88

3.1.5符号函数的求和与泰勒多项式91

3.1.6应用实例93

3.2数值微分95

3.2.1数值微分计算方法95

3.2.2数值微分的MATLAB实现97

3.2.3应用实例97

3.3函数插值98

3.3.1拉格朗日插值99

3.3.2函数插值的MATLAB实现100

3.3.3应用实例103

3.4数值积分106

3.4.1数值积分计算方法106

3.4.2误差估计和收敛性113

3.4.3数值积分的MATLAB实现114

3.4.5应用实例120

3.5*二次曲面与曲面交线的绘制122

3.5.1二次曲面122

3.5.2空间两曲面的交线124

实验3127

第4章常微分方程实验129

4.1常微分方程及其模型129

4.1.1常微分方程的基本概念129

4.1.2常微分方程模型131

4.2常微分方程解析解的MATLAB实现133

4.3常微分方程数值解及其MATLAB实现136

4.3.1数值解的Euler法137

4.3.2数值解的Runge-Kutta法140

4.3.3常微分方程数值解的MATLAB实现142

4.4*向量场绘图及Simulink在求解微分方程上的应用147

4.4.1向量场绘图147

4.4.2.Simulink应用148

实验4158

第5章概率论与数理统计实验160

5.1随机变量及概率分布160

5.1.1概率密度函数值的计算161

5.1.2概率密度函数的可视化164

5.1.3分布函数的计算168

5.1.4逆累积分布函数的计算170

5.1.5随机变量数字特征的计算173

5.2随机数的产生及应用175

5.2.1随机数的产生175

5.2.2应用实例178

5.3样本的统计描述181

5.3.1样本的统计量及其计算181

5.3.2样本的分布及其可视化188

5.3.3应用实例194

5.4参数估计与假设检验198

5.4.1参数估计及其MATLAB实现198

5.4.2假设检验及其MATLAB实现201

5.4.3应用实例204

实验5207

附录209

附表1-1常用三角函数表209

附表1-2常用计算函数209

附表1-3文件操作函数表210

附表5-1常见分布概率密度函数表210

附表5-2常见分布函数表212

附表5-3专用函数计算概率密度函数表213

附表5-4专用函数计算累积概率值函数表214

附表5-5常用临界值函数表215

附表5-6常见分布的均值和方差215

附表5-7随机数产生函数表216

附表5-8参数估计函数表217

参考文献219

第1章MATLAB软件使用简介

MATLAB是矩阵实验室(MatrixLaboratory)的简称，由美国MathWorks公司

出品，与Mathematica、Maple并称为三大数学软件。MATLAB是一个功能强大的常

用数学软件，它不但可以解决数学中的数值计算问题，而且可以解决符号演算、矩

阵运算、绘制图形、实现算法、创建用户界面和连接其它编程语言的程序等问题，

并且能够方便地绘出各种函数图形。MATLAB主要应用于工程计算、控制设计、信

号与图像处理、信号检测、金融建模设计与分析等领域。它使用方便，输入简洁，

并且很容易由用户自行扩展，因此已成为国内外许多大学教学和科学研究中最常用

且必不可少的工具。

不同的操作系统有相应的MATLAB版本，本书介绍Windows操作系统下的

MATLAB7.1版本的基本使用。

1.1MATLAB软件使用入门

1.1.1MATLAB启动/退出

1.启动MATLAB

Windows版本的MATLAB按照安装光盘中的安装说明成功安装后，系统会在

Windows【开始】菜单的【程序】子菜单中加入启动MATLAB命令的图标，用鼠标

单击此图标就可启动MATLAB系统，如图1.1。

0

。CatalystControlCenter

SowiMAX

0

附件

0

哲理工具

0

0启动

0游武

装机人员工M

&

InternetExplorer

二

OutlookExpress

,,远程协助

QMrcrosoftWebPubitshing

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口做游浏览飕2

MATLA87.1

文省(3

d杀■软件拗火增

OMttZA

。PDF工具

d醇体排放器

帮助和支持(由C3OfficeXA

o常用工具

运行®…o网络下经工具

d即《HW天工具

注楣Admnlitrator(0...C3学习工M

C3HyperSndp6

关渐十算机3…

超HyperSnap6

i《回》④MATL由MdthTypeS

图1.1启动MATLAB

启动MATLAB后，就可以进入MATLAB的工作环境。首先出现MATLAB的

图标，接着就进入了其默认的桌面系统如图1.2。

图1.2是MATLAB桌面系统的默认界面(通过更改Desktop菜单里的选项可以

组合不同的窗口模式)。左上视窗为当前目录(CurrentDirectory),可切换为工作空

间(Workspace)；其左下视窗为历史命令(CommandHistory),可切换为当前目录

(CurrentDirectory)；右半个视窗为命令窗口(CommandWindow),命令窗口是用

户与MATLAB进行人机交互的主要环境，在此可输入命令或执行M文件，＞＞是命

令窗口的提示符，可以在它后面输入命令或输入语句。

图1.2MATLAB界面

2.MATLAB基本演示

卜面通过三个实例来初步了解MATLAB的操作和功能。

例1.1计算正，并输出万的值。

»xl=sqrt(2),x2=pi/

xl=

1.4142

x2=

3.1416

思考题1：例LI中的变量xl和x2中间能否去掉，请验证你的结果？

注：MATLAB在提示符＞＞后的每一行输入后需要输入/,即Enter键(回车)。

例1.2绘制Z=在区间xe[-8,8],8,8］上的图形.

»[X,Y]=meshgrid(-8:0.5:8);/

»R=sqrt(X.A2+Y.A2)+eps;/

»Z=sin(R)./R;/

»surf(X,Y,Z)/%surf函数绘制由矩阵X,Y,Z所确定的曲面

输出图像如图1.3所示:

-10-10

图1.3直角坐标的图形

例1.3极坐标绘图演示。

»t=0:0.01:2*pi;/

»polar(t,sin(6*t))/%图1.4

90

270

图1.4极坐标绘图

3.退出MATLAB

若要退出MATLAB,只需用鼠标点击其系统集成界面右上角的关闭按钮，或者

在命令窗口输入exit或quit命令即可。

1.1.2MATLAB操作的注意事项及常用技巧

1.注意事项

(1)在命令窗口工作区中输入MATLAB命令后，须按下Enter键，MATLAB

才能执行所输入的命令，否则不执行该命令。

(2)MATLAB区分字母大小写。

(3)一般情况下，在命令窗口中输入一个命令并按下Enter键，计算机会显示

此次输入的执行结果。为了简便，在后续的章节中我们将不再显示/符号。

(4)如果用户不想显示输入的结果，只要在所输命令的后面加上一个分号";”

即可。如：

»x=2+3/

x=

5

»x=2+3;/

(5)可以在某一行结尾处键入3个英文句号“…”实现续行的目的。如：

»q=5A6+sin(pi)+exp(3)+(l+2+3+4+5)/siii(x)...

-5*x+l/2-567/(x+y)

(6)MATLAB中的变量必须为字母、数字及某些符号组合，某些情况也允许

输入汉字，但标点符号必须是英文状态下的标点符号。

(7)MATLAB中不需要专门定义变量类型，系统会自动根据表达式的值或输

入的值来确定变量的数据类型。

(8)命令行与M文件中的注释语句都以百分号“％”开始；语句行中百分号后面

的该行内容将被忽略而不被执行，在M文件中％后面的语句可以用help命令显示出

来。

2.常用技巧

特殊的功能键如下：

(1)ESC恢复当前命令输入前的空白状态。

(2)11调出上一行命令。

(3)J调出下一行命令。

其中，T为键盘中的向上键，1为键盘中的向下键。后两个功能键在程序调试时很有

用。在MATLAB实际使用中，往往需要对刚执行过的命令进行修改后重新执行，为

了避免重复输入，可用T调出原命令后再做修改。

1.1.3MATLAB帮助

MATLAB的离线帮助文件内容丰富，是学习MATLAB的最佳资料，学习

MATLAB首先要学会MATLAB帮助的使用。

在命令窗口中输入help命令或直接用鼠标左键单击菜单中的Help按钮(快捷

键F1),可以打开如图1.5所示的帮助窗口。

FkgdtGoFavootesDeskopWindowHelp

HelpNaviMtav______________________________________♦*。❷X

CoMg*|S.erdJ

Titi*R・l・《s・KwithS«rv»c«F»ck3B."3

3m5E3J5

S&ReleaseNotes

®$InstaHationBeginHere

1*19MATLAB

Release14withServicePack3

ffl多ExcelLink

08MATLABBuilderforCOM

isl。MATLABBuilder(orExcelIfYouAreUpgradingfroma

!*1$MATLABCompilerPreviousRelease...

，JMATLABDistributedComputingEngine

®JMATLABReportGenerator:RoloaseNotes

Highlightsnewfeatures,installationnotes,

®&MATLABWebServer

bugfixes,andcompatibilityissues

ffl$BioinformaticsToolbox

iti多CommunicationsToolbox

!♦:&ControlSystemToolboxIfYouAreUsingMATLABforthe

回&CurveFittingToolboxFirstTime...

itiJDataAcquisitionToolbox

AttheheartofMATLABisanewlanguagethat

w9DatabaseToolboxyoumustleambeforeyoucanfullyexploitits

(fl@DataleedToolboxpower.Thisisntashardasitmightsound;

回@DistributedComputingToolboxyoucanlearnthebasicsofMATLABvery

BFilterDesignToolboxquicklyYouwillberewardedwith

;♦i@FillerDesignHDLCoderhigh-productrwty,high-creativitycomputing

powerthatwfllchangethewayyouwork

<*$FinancialToolbox

®.FinancialDerivativesToolboiIfyouareafirst-timeuser,thebestwaytogel

S&FinancialTimeSenesToolboxstartedistoreadthoroughlytheGettinq

⑷&Fixed-IncomeToolboxSianedwithMATLABtutorialwithMATLAB

二J

图1.5MATLAB帮助窗口

图1.5中左上角有四个可以切换的选项页,分别为Contents,Index,Search和

Demos,可以根据需要打开相应的选项页查找所需的信息。当遇见一个新的函数时,

可通过Search来进行查找其功能及详细用法。Demos提供了大量的演示文件，也为

初学者提供帮助。MATLAB还提供了在线帮助功能，但用户需要连接网络。

下面介绍•下通过Search来查找sin函数。进入帮助界面后选中Search选项页

进入下一界面并在后面空白处输入sin,点击G。按钮就会看到如图1.6的结果。

图1.6MATLAB中的Seacrchfor搜索功能

还可以在命令窗口直接输入查找命令，例如

»helpsin/

SINSine.

SIN(X)isthesineoftheelementsofX.

Seealsoasin,sind.

Overloadedfunctionsormethods(oneswiththesamenameinotherdirectories)

helpsym/sin.m

ReferencepageinHelpbrowser

docsin

借助于MATLAB提供的帮助系统，可以解决在使用MATLAB过程中遇到的许

多问题。

1.2MATLAB的变量和表达式

1.MATLAB变量命名规则

(1)MATLAB中变量名可以包含字母、数字及下划线，但必须以字母开头,

后面最多跟63个字母或数字，如x,y,asd_f,d3er45等都是合法的变量名。

(2)变量名区分大小写，如ab与Ab袤示两个不同的变量。

（3）注意不要用MATLAB中的内部函数或命令名作为变量名。如果内部函数

用作变量名，内部函数将失效。

2.与工作空间中的变量有关的函数

1）列出变量

函数：who

功能：列出当前工作空间中的变量，且内存中的当前变量以简单形式列出

函数：whos

功能：列出当前内存变量的名称、大小、类型等信息

2）清除变量

函数：clear

功能：清除工作空间中的所有变量，用于释放系统内存

函数：clearall

功能：清除函数工作空间和基本工作空间的所有函数变量，全局变量和类

函数：clc

功能：清除命令窗口

3.MATLAB的运算符

1）数学运算符

+（加号），-（减号），*（乘号），\（左除），/（右除），A（乘累）

2）关系运算符

＜（小于），＞（大于），＜=（小于等于），＞=（大于等于），==（等于），

~=（不等于）

3）逻辑运算符

&（逻辑与运算），|（逻辑或运算），〜（逻辑非运算）

「12]「111

例1.4已知矩阵A=,B=，对其做简单的关系与逻辑运算。

12J[12

»A=[l,2;1,2];

»B=[1,1；1,2]；

»C=（A＜B）&（A=B）

C=

00

00

4.MATLAB的表达式

MATLAB的表达式是由常量、变量、函数和运算符组成的有意义的式子。

MATLAB语句由变量、表达式及MATLAB命令组成，用户输入的语句由MATLAB

系统解释后运行。常见的MATLAB语句有两种格式：

格式1：表达式

格式2：变量=表达式

其中，系统自动将格式1中的表达式的运行结果赋值给内部变量ans,并在屏幕上输

出；在格式2中，系统将表达式的运行结果赋给了变量。

例L5用两种形式计算56+sin）/算术运算结果。

»5A6+sin(pi)+exp(3)%计算结果赋给默认变量ans

ans=

1.5645e+004%即为1.5645X104

»a=5A6+sin(pi)+exp(3)%计算结果赋给变量a

a=

1.5645e+004

»a=5A6+sin(pi)+exp(3)；

即如果在表达式后面加“;”，则执行后不显示运算结果。

例1.5中的正弦、指数函数是MATLAB自带的函数。MATLAB中还有很多类

似的函数，常用的函数详见附录中的附表1-1和l-2o

5.MATLAB的数据显示

MATLAB系统中数值数据的存储和计算默认都是双精度，如果需要可以利用

format命令来调整数据的显示格式。

MATLAB默认显示格式为formatloose（松散格式），屏幕的显示会有，•些空行，

占用更大的篇幅，因此可以在命令语句输入前，输入显示格式命令formatcompact

（紧凑格式）。

此外，format命令还可以用于控制数字显示的方式，例如formatrat表示此后的

数据显示为近似的有理数。

卜面是format用于控制浮点变量的输出精度的八种格式，如表1.1所示。

表1.1format用于浮点数的八个格式

类型结果例子

formatshort固定5个小数的输出3.1416

formatlong固定15个小数的输出3.14159265358979

fbnnatshorte带有5位精度的浮点格式3.1416e+000

formatlongte带有15位精度的浮点格式3.141592653589793e+002

formatshortg带有5位数的最佳的定点数或浮3.1416

点数

formatlongg带有15位数用于显示doubles73.14159265358979

位用于显示single的最佳的定点

数或浮点数

formatshorteng工程格式，至少5个有效小数和3.1416e+007

案为3的数

formatlongeng工程格式，正好有16位有效数字3.14159265358979e+081

和幕为3的倍数

例1.6分别用五位定点、十五位定点及有理数形式将a=5+sin7表示出来。

»a=5+sin（7）；

»fbrmatshort,a

a=

5.6570

»fbrmatlong,a

a=

5.65698659871879

»fbrmatrat,a

a=

3117/551

6.MATLAB中的常量

在MATLAB中有些变量是固有的，在使用时注意轻易不要对这些变量重新赋值

以免出现错误。一些常见变量及具体意义见表1.2。

表1.2MATLAB中常量

常量符号常量含义

i或j虚数单位，定义为F=j2=・l

Inf或inf正无穷大，由零做除数引入此常量

NaN不定式，表示非数值量，产生于0/0,8/8,0*8等运算

pi圆周率n的双精度表示

eps容差变量，PC上此值为2A-52

realmin最小浮点数，2A-1022

rcalmax最大浮点数,27023

1.3MATLAB矩阵创建及其运算

MATLAB的基本运算单位是矩阵，能否熟练掌握矩阵的输入、各种数值运算以

及矩阵函数的使用是能否学好MATLAB的关键。

1.3.1MATLAB矩阵的仓犍

1.通过输入直接创建矩阵

输入方法是先键入左方括号“[”，然后按行直接键入矩阵的所有元素，最后键入

右方括号注意：整个矩阵以和"作为首尾，同行的元素用“，”或空格隔开，

不同行的元素用“；”或按Enter键来分隔；矩阵的元素可以是数字或表达式。

-123-

例1.7直接输入创建矩阵41560o

789

»A=[1,2,3;4,15,60;7,8,9]

A=

123

41560

789

»A=[l,2,3

4,15,60

7,8,9]

A=

123

41560

789

2.相关函数创建矩阵

MATLAB提供了若干函数来创建一些特殊矩阵，见表1.3。

表1.3生成特殊攵巨阵的相关函数

函数名称函数功能函数名称函数功能

zeros(m,n)m行n列零矩阵randn(m,n)m行n列正态分布随机矩阵

eye(n)n阶单位矩阵magic(n)n阶魔方矩阵

ones(m,n)m行n列元素为1的矩阵rand(m,n)m行n列均匀分布随机矩阵

11

例L8创建矩阵111

111

»ones(3)%生成元素都为1的3阶方阵

ans=

111

111

111

例L9创建矩阵1°0000

O

00000

»zeros(2,5)%生成元素都为。的2行5列零矩阵

ans=

00000

00000

例1.10生成3阶魔方矩阵。

»magic(3)

ans=

816

357

492

3.冒号操作符“:"

j:k表示生成步长为1的等差数列构成的数组：［j,j+l,j+2,…,k］；

j：i：k表示生成步长为i的等差数列构成的数组：［j,j+i,j+2*i，…,k］；

例1.11等差数列的生成。

»1:5%步长为1的等差数列

ans-

12345

»linspace(l,5,5)%给出区间［1,5］的5个等分点数据

ans=

12345

»1:2:7%步长为2的等差数列

ans=

1357

»8:-2:0%步长为・2的等差、递减数列

ans=

86420

1.3.2MATLAB矩阵的运算

1.MATLAB矩阵元素操作

下面介绍矩阵元素的抽取与赋值、矩阵扩充、矩阵元素的删除等操作。详细用

法见表1.4»

1)矩阵元素的抽取与赋值

12356-

例1.12已知矩阵4=sin379,抽取与修改A的一些元素。

In261

»A=[12356;sin(3)79；log(2)61]%输入矩阵A

A=

1.000023.000056.0000

0.14117.00009.0000

0.69316.00001.0000

»A(2,3)%抽取矩阵A的第二行第三列元素

ans=

9

»A(4)%抽取矩阵A(:)的第四个元素

ans=

23

»A(2:4)%抽取矩阵A(:)的第二、三、四个元素

ans=

0.14110.693123.0000

»A(1,:)%抽取矩阵A的第一行

ans=

12356

»A(:,3)%抽取矩阵A的第三列

ans=

56

9

»a=A(l,3)%把矩阵A的第一行第三列元素赋值给变量a

a=

56

»A(2,1)=100%把矩阵A的第二行第一列元素修改为100

A=

1.000023.000056.0000

100.00007.00009.0000

0.69316.00001.0000

»B=A([3,1],[2,3])

B=

61

2356

2)矩阵的扩充

-13--15-

例1.13已知矩阵A=,B=利用A与8生成矩阵

6908

——,—

13100~Ao-

c=,O=[A6]和尸=

6900B

»A=[1,3;6,9];%输入矩阵A

»C=A;

»C(1,3)=100;%把矩阵A扩充为2行3列矩阵

»c

c=

13100

690

»B=[l,5;0,8];%输入矩阵B

»D=[A,B]%由矩阵A与B合成矩阵D

»D=

1315

6908

»F=[A,zeros(2);zeros(2),B]%矩阵A与B合成分块矩阵F

F=

1300

6900

0015

0008

3）矩阵部分元素的删除

12356

例1.14已知矩阵4=sin379,删除A的第一行。

In261

»A=[12356;sin(3)79;log(2)61];

»A(1,:)=[]%删出A的第一行

A=

0.14117.00009.0000

0.69316.00001.0000

表1.4矩阵元素的操作

用法功能

A(i,j)矩阵A的第i行第j列元素

A(:J)矩阵A的第j列

A(i,:)矩阵A的第i行

A(:,:)矩阵A的所有元素构造一个2维矩阵

A(:)矩阵A的所有元索按列构造一个列矩阵

A(i)矩阵A(:)的第i个元素

A(i：j)矩阵A(:)的第i个到j个元素构成的向量

[]空矩阵

A([iJ],[k,l])取出矩阵A的第i,j行及第k,1列交点上的元素

2.矩阵的基本运算

A+B：矩阵加法

A-B：矩阵减法

A*B：矩阵乘法

A\B：矩阵的左除

A/B：矩阵的右除

transpose(A)或A'：A的转置

k*A：数k乘以A

矩阵A的n次幕：AAn

矩阵的点幕：.人

其中，矩阵的左除和右除"/“。如果矩阵A是非奇异方阵，则A\B等于A的逆

矩阵乘B,即inv(A)*B；同理B/A等于B乘A的逆矩阵，即B*inv(A)»具体计算

时可不用逆矩阵而直接计算。右除B/A也可由来实现。

123321

例1.15已知矩阵A,B,求A+B和A.A8。

456654

»A=[123;456];B=[321;654];

»C=A+B

C=

444

101010

»C=A.AB

C=

143

409631251296

注：点和算术运算符之间不能有空格。

例1.16已知X=[l23],y=[456],求X.A2,2./\X和

»X=[123];Y=[456];

»X.A2

ans

149

»2.AX

ans=

248

»2.A[X;Y]

ans=

248

163264

~aor

例1.17矩阵A=0a3,求4的3次事。

0。2

»symsa;

»A=[a01;0a3;0a2];

»AA3

ans=

[aA3,2*aA2+2*a,a*(a+2)+4+3*a]

[0,a*(aA2+3*a)+3*aA2+6*a,12+a*(6+3*a)+9*a]

[0,a*(aA2+3*a)+2*aA2+4*a,8+a*(6+3*a)+6*a]

注：当矩阵中含有未知变量时，需要用syms声明未知变量，否则会出现”???

Undefinedfunctionorvariable'a”’的错误提示。

列于表1.5中的其它的矩阵相关运算函数将在第二章中做详细介绍。

表1.5矩阵的其它相关运算

函数名称函数功能函数名称函数功能

rank(A)求A的秩rref(A)求A的行最简形

eig(A)求A的特征值及特征向量inv(A)求A的逆矩阵

poly(A)求A的特征多项式det(A)求A的行列式

trace(A)求A的迹norm(A,1)求A的1范数

cond(A)求A的条件数

1.4M文件的编写与调用

在初学阶段，通常在命令窗口中输入MATLAB语句。输入一行命令后系统立即

执行该命令，这种方式称为命令窗口下的命令行方式。用命令行方式编写的程序可

读性差且不易存储。因而，对于相对复杂问题的求解，一般先编写成可存储的程序

文件，然后在MATLAB中执行该程序文件，这种方式称为程序文件方式。

由MATLAB语句组成的程序文件类型是M文件，M文件的扩展名为m。M文

件可分为两种形式：一种是命令文件或脚本文件(scriptfile),是用户为解决特定的

问题而编制的。另一种是函数文件(functionfile),通常被其它M文件调用。它们

都是由若干MATLAB语句或命令组成的文件。要注意在编写M文件时，M文件名

一定以字母开头，且不要与内置函数重名。

1.4.1文件的操作

MATLAB类型文件的打开、关闭和保存等操作与Word非常相似。新建M文件

的操作是在命令窗口中选择FilefNew-M-File（见图1.7）,然后用鼠标单击

M-File,打开了MATLAB中的“M函数与M文件编辑器”（见图1.8）,用户可以在

该编辑窗口中编辑一个新的M文件。此编辑器还可以用来对已存在的M文件进行

编辑、调试和运行。实际上，M文件也可用其它文本编辑器来建立、编辑。

图1.7新建M文件

图1.8M函数与M文件编辑器（编辑窗口）

M文件有三种运行方式：一是在命令窗口中直接键入文件名，按Enter键；二是

在编辑窗口中打开菜Tools,再单Run(快捷键F5)；三是直接单击工具栏中的Run图

标。M文件保存的路径一定要在其设置的搜索路径上，否则MATLAB找不到此文

件，导致无法运行。后面的例题如果不特别说明，都是以第一种方式运行的。

在M文件中，当表达式后面接分号时，与命令行方式的语句一样，表达式的计

算结果不显示，但中间结果仍保存在内存中。

1.4.2命令文件

命令文件(也称脚本文件)的一般形式为：〈文件名〉.m,如al.m,pp.m等都是