光学信息技术原理及技术陈家壁第二版课后习题答案

第一章习题解答

1.1已知不变线性系统的输入为

g(x)=comb(x)

系统的传递函数若b取(1)8=0.5(2)b=1.5,求系统的输出g'(x)。并画出

输出函数及其频谱的图形。

答(1)g(x)=F^x)}=l图形从略，

(2)g(x)=F/(仆$(人—吟(/,+1)}=1+|的⑵x)图形从略。

1.2若限带函数f(x,y)的傅里叶变换在长度L为宽度W的矩形之外恒为零,

(1)如果同＜：,例＜：,试证明

向si电卜喉卜(内):心)

<-'F{/Uy)}=F{f(x,y)}rect(^-,^\=F[f{x,y^rect(afx所)

⑵如果|《〉B，网〉，，还能得出以上结论吗？

答:不能。因为这时F{/(xj加心令卜笠涉而

1.3对一个空间不变线性系统，脉冲响应为

h(x,y)=7sinc(7x,(y)

试用频域方法对下面每•一个输入力(x,y),求其输出g,(x,y)。(必要时，可取合理近似)

(1)f](x,y)=cos4K

g]("”F-{F{力(x,y))F{F{co倾x}F{7si〃(7x»(y)}}

答:

=F，F{cos4兀x}rec/—j>=F-l{F{cos4兀X}]=COS4J

YJlX

y

(2)f2(x,y)=cos(4ii\rect\

75

答:

g(x，y”FT{Fb(XJ)}F{/?(x,y)}卜FT{F{cos陶x)rect\x

2\rect\F{75m(7x)5(y)},

,75

<(F{cos47rx}*75-75sinc(75f)sinc(75f))rec/|A,=cos(4兀x)rect\^

二Lxy\rect\

(3)“xjHl+ca©x)]reb底

g3(xj)=F'<F][l+cos(87rx)/ecf届)j-F{7si〃(7x»(y)},

=F<(F{l+co.v(8rtx)}*75sinc(75fxW(fv加。(^),

答：y、/1

=F(x)+$9一吟(A+4))*75si〃c(7凯附v)卜《今)>

-1

=FT<15sinc{75fx》(/vyect>=F\j5sinc^5fx》(f、.)卜ecf停

(4)/4(x,y)=c<?mZ?(x)*(recr(2x)rec/(2y))

答：

-1

g2(x,y)=F{F{comb(x)*(recZ(2x)recr(2y))}F{7sin(7x^(y)}}

=F如伍，仆0.637#—"10.637也+1,/)0.212也—3,)…)卜c怜)

=Ft{0.255(/；,/>0.1595(/x-l,/>0.1595(/v+l/v)-0.0538(/.(-3,/v)-0.05364+3力)}

=0.25+0.318cos(2乃x)-0・106cos(6万x)

1.4给定•个不变线性系统，输入函数为有限延伸的三角波

g,(x)=*A(x)

3⑴150/

对下述传递函数利用图解方法确定系统的输出o

⑴”(/)=rect]£|

⑵“⑺

答：图解方法是在频域里进行的，首先要计算输入函数的频谱，并绘成图形

G(f)=F{g.(x)}=-F的%)*尸>ecf(赤卜八⑴}>

50

[comb(3/)*50sinc(50/)]sinc2/

方括号内函数频谱图形为:

*7

图1.4(1)

sine?/图形为:

图1.4(2)

因为sine2/的分辨力太低，上面两个图纵坐标的单位相差50倍。两者相乘时忽略中心五个

分量以外的其他分量，因为此时sin/的最大值小于0.04%。故图解G(7)频谱结果为：

G(f)

50

50*0.685

50*0.171

2112

~3-3-~3

图1.4(3)

传递函数(1)形为:

图1.4（4）

因为近似后的输入函数频谱与该传递函数相乘后，保持不变，得到输出函数频谱表达式为:

卜⑺+。吨（"扣灯一扑.叩（"|）+S司｝

其反变换，即输出函数为：

-x2］x

1+1.37cos2万一+0.342cos2/r—xrect（一）

L33J50

该函数为限制在［-25,25］区间内，平均值为1,周期为3,振幅为1.37的一个余弦函数与周

期为1.5,振幅为0.342的另一个余弦函数的叠加。

传递函数（2）形为：

图1.4(5)

此时，输出函数仅剩下在［-2,-1］及［1,2］两个区间内分量，尽管在这两个区间内输入函数的

频谱很小，相对于传递函数(2)在［-1,1］的零值也是不能忽略的，由于

sinc2(1)=0.043sinc2(-)=0.027

可以解得，通过传递函数(2)得到的输出函数为：

-451x

0.043cos2)一x+0.027cos2/r—xrect{—)

L33J50

该函数依然限制在［-25,25］区间内，但其平均值为零，是振幅为0.043,周期为0.75,的一

个余弦函数与振幅为0.027,周期为0.6的另一个余弦函数的叠加。

1.5若对二维函数

/2(x,y)=asinc2(ax)

抽样，求允许的最大抽样间隔并对具体抽样方法进行说明。

••・x我总

也就是说，在X方向允许的最大抽样间隔小于l/2a,在y方向抽样间隔无限制。

1.6若只能用axb表示的有限区域上的脉冲点阵对函数进行抽样，即

gs(x，y)=g(x,y)comb

试说明，即使采用奈魁斯特间隔抽样，也不能用一个理想低通滤波器精确恢复g(x,y)。

答：因为axb表示的有限区域以外的函数抽样对精确恢复g(x,y)也有贡献，不可省略。

1.7若二维不变线性系统的输入是“线脉冲”/(x,y)=S(x),系统对线脉冲的输出响应称

为线响应L(x)。如果系统的传递函数为〃(£,了,),证明：线响应的一维傅里叶变换等于

系统传递函数沿八轴的截面分布,0)。

证明：F{L(x)}=F做y)*/i(x,亿/)=H(/V,o)

1.8如果一个空间不变线性系统的传递函数在频率域的区间\fx\<Bx,|/v|<J之外恒为

零，系统输入为非限带函数g0(x,y),输出为g(x,y)。证明，存在一个由脉冲的方形阵列

构成的抽样函数go(x,y),它作为等效输入，可产生相同的输出g(x,y),并请确定g0(x,)，)。

答：为了便于从频率域分析，分别设：

物的空间频谱为(£，《)=F{g0(x,y)}；

像的空间频谱4(£，4)=F{g,(x,y)}；

等效物体的空间频谱A'o(/；,/v)=F{g'0(x,y)}；

等效物体的像的空间频谱An，/.)=F{g'o(x,y)}.

由于成像系统是一个线性的空间不变低通滤波器，传递函数在归Bv,|/v|<B,之外

恒为零，故可将其记为:

fy

H（X/）redrect

2BJ

利用系统的传递函数，表示物像之间在频域中的关系为

[2纥.）

4（，/）H（fx,fyyrect

在频域中我们构造一个连续的、二维周期性分布的频域函数，预期作为等效物的谱，办

法是把4（<J）reef卜.成矩形格点分布的每一个

V28J安置在f/,平面

(2瓦〃,2纥制)点周围，选择矩形格点在，、fv方向上的间隔分别为2纥和2纥，以免频谱

混叠，于是、

25J

rect*Z^8（fx-2Bxn,fy-2Byn

ZB

X/〃=-<»/n=-oo

(f}

rectcomb—―comb(1)

4c度J4B、B口

对于同•个成像系统，由于传递函数的通频带有限，只能允许A'o（£,/,）的中央一个

周期成份（〃=〃?=0）通过，所以成像的谱并不发生变化，即

f/v]

A'o(f")H(fx,fy)rectrect

4（，/）

图1.8用一维形式表示出系统在频域分别对4和A'。的作用，为简单计，系统传递函数在

图中表示为rect

A'°(/x)=4(/x)%。

11

fx

Bx

既然，成像的频谱相同，从空间域来看,所成的像场分布也是相同的，即

U】(x,y)=q(x,y)

因此，只要求出A'o(/x，/y)的逆傅立叶变换式，就可得到所需的等效物场，即

l

U'0(x,y)=F-{A'0(fx,fY)}

带入(1)式，并利用卷积定理得到

U‘0(x,y)=尸t{4(力，力)忆(7xL—i—combcomb

28y,4BxBy

xcombQBxx)comb(2By)(2)

28yjy

上式也可以从抽样定理来解释。

4(/x，/y)recf

是一个限带的频谱函数，它所对应的空间域的函数可以通过抽样，用一个点源的方形阵列来

表示，若抽样的矩形格点的间隔，在x方向是」一，在)，方向是一L,就得到等效物场

2BX2BY

U'0(x,y)

=(70(x,y)*4BXBysinc(2Bxx)sinc(2BYy)

co

x；(3)

4BXBYjj7)sinc[2Bx(x-^)]sinc[2By(y-r/)]d^dri

-00

comb(2Bxx)comh(2BYy)

0000\

1nm

——yy3x-------,y-------(4)

ADD

Dy〃=YO/n=-oo2B2B}

AXyI/

把(3)、(4)式代入(2)式,得到

OP00nm、

u’0(X,y)=<JJUoq,7)sinc[2B(x-^]xsinc[2B(y->xx-------,y-------

xYE25J

-00n=—oom=—oo<2Bx

利用5函数性质(1.8)式，上式可写为

U'°(x,y)=

(\

nm

^U(^r/)sinc[n-2B^)]xsinc[m-2Br/)]d^dr]3x-------,y-------

££J0xY[2B2B}

〃=-ooni=-<o-co\AXYI/

这一点源的方形阵列构成的等效物场可以和真实物体。0产生完全一样的像Uj.

本题利用系统的传递函数，从频率域分析物象关系，先找出等效物的频谱，再通过傅立

叶逆变换，求出等效物场的空间分布，这种频域分析方法是傅立叶光学问题的基本分析方法。

第二章习题解答

2.1-列波长为4的单位振幅平面光波，波矢量左与x轴的夹角为45°,与），轴夹角为

60°,试写出其空间频率及z=Z］平面上的复振幅表达式。

答：力=q，4=y|,U（x,y,zJ=exp（jkz*xpj2兀倬x+坐。/（0,0,0）

2.2尺寸为aXb的不透明矩形屏被单位振幅的单色平面波垂直照明，求出紧靠屏后的平面

上的透射光场的角谱。

答：。（“白陪卜心卜4（手,争下而小詈,卜

2.3波长为4的单位振幅平面波垂直入射到一孔径平面上，在孔径平面上有•个足够大的

模板，其振幅透过率为求紧靠孔径透射场的角谱。

答::

A（詈等）=0.58［詈等卜0.25,《丛

cosacos0、八J」cosa1)0cosa

=0.55----,--+0.255--------+b

九%)~T~

2.4参看图2.13,边长为2a的正方形孔径内再放置一个边长为。的正方形掩模，其中心落

在仁7）点。采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求出与它相距为z的观察平面上夫

琅和费衍射图样的光场分布。画出自=〃=0时，孔径频谱在无方向上的截面图。

图2.4题

22

F.y0))=4asinc(2afx)sinc(2afy\asinc{afx)sinc(afy>xp(-，2兀a(/.v+/v))

)}

U(x,y)^^—exp(jkz)exp2+y2

〃z

/("片工

NZ

2.5图2-14所示的孔径由两个相同的矩形组成，它们的宽度为a,长度为匕，中心相距为

d.采用单位振幅的单色平面波垂直照明，求与它相距为z的观察平面上关琅和费衍

射图样的强度分布。假定6=4。及d=1.5a,画出沿x和y方向上强度分布的截面图。

如果对其中一个矩形引入位相差乃，上述结果有何变化?

图题2.5(1)

答：如图所示，双缝的振幅透射率是两个中心在(0,4)及(0,-色)的矩形孔径振幅透射

22

率之和:

f(x,y)=rect(—)rect(------)+rect(—)rect(--------)(1)

00abab

由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

00(%,%)=1，

透射光场

d

%+彳

U(/，%)=%(%,为)收，为)=rect(—)rect(—产)+rect(—)rect(—一)(2)

abab

由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样

U(x,y),它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式(频率坐标£=工,<=2-),即

AzAz

exp(欣z)expj-^-(x2+y2)

U(x,y)=------------------------------------=!-xF{t/(x0,y0)}(3)

1Mz

利用傅立叶变换的相移定理，得到

d

F{U(x0,%)}=F<rect(^-)rect()>+F<rect(—)rect(-----

ab

="sinc(afx)sinc(bfy)x[exp(-》&d)+exp(，乃fv,d)]

..ax.bydy

-2oabsinc(--)sinc(---)xcos(----)

AzAz

把它带入(3)式，则有

exp(欣)expj^(x2+y2)

U(x,y)=------------——---------xlabsinc(^^)sinc(2_)xcos(左)一)

j^zZz

强度分布

不难看出，这一强度分布是矩孔径衍射图样和双光束干涉图样相互调制的结果。

双缝的振幅透射率也可以写成下述形式：

收，＞0）=%以（十卜以0*卜卜0，%-£|+«%,%+倒（4）

它和（1）式本质上是相同的。由（4）式可以利用卷积定理直接求出其傅立叶变换式，导出

与上述同样的结果。代入所给条件b=4a,d=1.5a

,,、(8/1.2(axy.2(4ay)2(1.57ray)

I(x,y)=—sinc—sine—cos-

、4zj\\y\%z/

沿X轴,此时fv=0

/(L/)=8/sinc2(的J

中心光强：I（0,0）=8a2

n

极小值位置为：f、=—5=±L±2,…）

a

图题2.5(2)

沿y轴：

此时＜=0,故

22

/（£，/；）=8/sinc（4q/v）cos（1.5不祇）

中心光强：I（0,0）=8a2

n1+9/7

极小值位置：fv=—及—（〃=±1,±2,…）

y方向上强度分布的截面图示意如下：

图题2.5(3)

exp[-j^]+t>fx0,y0+1

t(xn,y0)=rect

工0>0*«Xo，yo-1^exp[—7]+《Xo，yo

redreel

<b

d}d\

y.+—

y'-2x力2

redredexp[-J^]+recZ\reel

bb

/7

由于是单位振幅平面波垂直照明，孔径平面上入射光场

U（）（%，M）=1，

透射光场,b=4a,d=l.5a时

U（Xi，M）=Uo（X］，M）心|,必）

(d\d}

y'-2y'+2

rectI—Iredexp[-jzr]+recrred(2)

b(7)b

77

y-0.15a(,+0.75。

redreel}exp[-J4]+reefred

a4。（7<4。

由夫琅和费衍射方程，在夫琅和费区中离孔径距离Z的观察平面上得到夫琅和费衍射图样

U（x,），），它正比于孔径上场分布的傅立叶变换式（频率坐标fx=—,fv=匕）,即

exp(人)exp上身XT)

U(x,y)-xF{U(x,y)}(3)

j^Z0Q

利用傅立叶变换的相移定理，得到

:，75abxp[-j7r]>+F<recf(z)recfy+0.75。

F{U(x0,y0')}=F<rec/(()

4a

2兀于

=[8]sin以或)sinc(4afy)exp(-1.5)exp(-)]+8t?sinc(afA)sinc(4o/v)exp(1.5jJ

兀)+

=8a2sinc(afx)sinc(4afy)x(exp(-L5力-jexp(L5/万力))

把它带入（3）式，则有

exP(欣)exp*

U(x,y)—x8a2sinc(af)sinc(4of)

&xv

x(exp(-1.5万/、.一》)+exp(l.5mfj)

exp(欣z)expJ—(x2+y2)

2z-x8a2sinc(-^-)sinc(4%

〃zAz

-1.5jnyj兀、.1.5,乃y।j兀

xexpexp(一夕)+exp(

/tz2

exp(八z)exp/，+丁)

2zf-inc(菱)sine(翳)

j^z

1.54y7i

xexpcos

强度分布

7t

+—

2

2.6图2-14所示半无穷不透明屏的复振幅透过率可用阶跃函数表示为f(x0)=step(xo)。采

用单位振幅的单色平面波垂直照明，求相距为z的观察平面上夫琅和费衍射图样的复

振幅分布。画出在x方向上的振幅分布曲线。

,九)"{sfep(x0)卜仔(£.>

答：F

u(“修exp{jkz)exp

振幅分布曲线图从略。

2.7在夫琅和费衍射中，只要孔径上的场没有相位变化，试证明：(1)不论孔径的形状如

何，夫琅利费衍射图样都有一个对称中心。(2)若孔径对于某一条直线是对称的，则

衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

证明：(1)在孔径上的场没有相位变化时，衍射孔径上的光分布g(x,y)是一个实函数，其

傅里叶变换是厄米型函数，即：

G(7"G*(—HM)

22

因此1亿人＞|G(7,V,fyj=|G*(-/X,-fy)=/(-/v,-fy),所以夫琅和费衍射图样有一个对

称中心。

(2)孔径对于某一条直线是对称时，以该直线为y轴建立坐标系。有：

g(x,y"g(-x,y)

因此G(/"上G(-/",)

同时G(f"k*(-九一九)

的“"(九一八拓(一/".".亿£)

Gk仆G(jJ

可见衍射图样将对于通过原点与该直线平行和垂直的两条直线对称。

2.8试证明如下列阵定理：假设在衍射屏上有N个形状和方位都相同的全等形开孔，在每

一个开孔内取一个相对开孔来讲方位一样的点代表孔的位置，那末该衍射屏生成的夫

琅和费衍射场是下列两个因子的乘积：(1)置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射(该

衍射屏的原点处不一定有开孔)；(2)N个处于代表孔位置的点上的点光源在观察面

上的干涉。

证明：假设置于原点的一个孔径表示为f0(乙,九)，N个处于代表孔位置的点上的点光源表

示为》(x-x.,y-y,),则衍射屏的透过率可表示为

N

&%X。(与,儿后&-七，y-x)-

N

其傅里叶变换可表示为

F{@，几)[Fj0))-F》.)，

INJ

该式右边第一项对应于置于原点的一个孔径的夫琅和费衍射，第二项对应于N个处于代表

孔位置的点上的点光源在观察面上的干涉，因此该衍射屏生成的夫琅和费衍射场是这两个因

子的乘积。

2.9一个衍射屏具有下述圆对称振幅透过率函数

=I—+—cosar2|circ|—I

<22)UJ

(1)这个屏的作用在什么方面像一个透镜？

(2)给出此屏的焦距表达式。

(3)什么特性会严重的限制这种屏用做成像装置(特别是对于彩色物体)？

答：(1)解

衍射屏的复振幅投射率如图所示，也可以把它表示为直角坐标的形式:

1122

心,y)=j]+]cos[a(x+y)]>circ

(1)

(1)式大括号中第一项仅仅是使直接透射光振幅衰减，其他两项指数项与透镜位相变换因

子exp-j—(x2+y2)比较，可见形式相同。当平面波垂直照射时，这两项的作用是分

_2f_

别产生会聚球面波和发散球面波。因此在成像性质和傅立叶变换性质上该衍射屏都有些类似

与透镜，因子表明该屏具有半径为i的圆形孔径。

(2)解

把衍射屏复振幅透射率中的复指数项与透镜位相变换因子相比较，得到相应的焦距，对于

-exp|-/a(/+丁)]项，令a=——，则有

42fl

k7i

力r二丁=丁

2。Aa

焦距力为正，其作用相当于会聚透镜，对于」expUa，+y2)］项，令&=二1,则有

42人

_k_7i

12aXa

焦距人为负，其作用相当于发散透镜，对于“;”这一项来说，平行光波直接透过，仅振

幅衰减，可看作是

于3=9

（3）解

由于该衍射屏有三重焦距，用作成像装置时，对同一物体它可以形成三个像，例如对于无穷

远的点光源，分别在屏两侧对称位置形成实像和虚像，另一个像在无穷远（直接透射光）（参

看图4.12）。当观察者观察其中一个像时，同时会看到另外的离焦像，无法分离开。如用接

收屏接收，在任何一个像面上都会有其它的离焦像形成的背景干扰。除此以外，对于多色物

体来说，严重的色差也是一个重要的限制。因为焦距都与波长4成反比。例如取

4d=6900A,4ble=4000A,则有

二4000

-6900'blue

=057篇e

这样大的色差是无法用作成像装置的，若采用白光作光源，在像面上可以看到严重的色散现

象。

这种衍射屏实际就是同轴形式的点源全息图，即伽柏全息图。

2.10用波长为4=6328A的平面光波垂直照明半径为2根机的衍射孔，若观察范围是与衍

射孔共轴，半径为30mm的圆域，试求菲涅耳衍射和夫琅和费衍射的范围。

答：由式⑵55）耳+片）2及式（2-57）+/）有菲涅耳衍射和夫琅和费

衍射分别要求

"中4+串2即z〉〉5Wi6而=398.7〃"〃

1-----....rl2=4964.6mm

〃2、0°厂0.6328x10-3

2.11单位振幅的单色平面波垂直入射到一半径为a的圆形孔径上，试求菲涅耳衍射图样在

轴上的强度分布。

答：圆形孔径的透过率可表示为

：.U

根据式(2.53)有

轴上的强度分布为

2

U（0,0,z）=exp{jk£）A-expj~a2=21-cos\-a2

=4sin（—a2

（4z

2.12余弦型振幅光栅的复振幅透过率为

/Qo）=a-i-hcos2ji-j-

式中，d为光栅周期，a>b>0,。>方>0。观察平面与光栅相距z。当z分别取下列各数

值（1）Z=Z=——;（2）Z=—=;（3）Z=—=（式中ZT称作泰伯距离）

TA2/I42/1

时,确定单色平面波垂直照明光栅，在观察平面上产生的强度分布。

答:根据式⑵31)单色平面波垂直照明下余弦型振幅光栅的复振幅分布为

。(无。J。§

强度分布为

角谱为

J

A)(/"v)=J^+bcos2jt(一心(x0/v+y0/v)K>0

=而(".啖GM卜5+"))

传播距离Z后，根据式(2.40)得到角谱

A0.小4g/阪p恤阿力而H

=而亿人冲(人力卜,+%加p履

=焉(fx,fy]exp[jkz]+^,.，/,内(2J>“""zj—(3)

5

4/"v，z)=exp[jkz^(Zv,/vKf(八一JJ('+*/')卜“爷])

(1)z=Z时

T2

A(f.J,z)=expj竽(而g，力哽

与A,(人,力.)仅相差一个常数位相因子，因而观察平面上产生的强度分布与单色平面波垂直

照明下刚刚透过余弦型振幅光栅产生的强度分布完全相同。

zd2

(2)z=­二——时

2X

A(fx,fy,z)=expj等(虎亿£啰0、.卜,+%)、

对应复振幅分布为

Q

图2.16(题2.13)

答：在如图的透射式锯齿型位相光栅中，单位振幅的单色平面波由光栅的背后平面入射垂直

照明，则在齿顶平面形成的光波复振幅分布可表示为

U(%卜exp(jkxfga(n-7))recrf—j*—

其角谱为

A。(AJ.V卜JJu(X。,y)xp(一心(x。/,+y°fv)"od)'o

rgq(/?-1)

Vasinc(afxycomb(afx)5(/v\l}sincLfxsincLfy

k7

/

—[comb(af)b(/)*L2sincLfsincLf

asinca\fxxvxy

rgq(/?-l)、

asinca\f1-^5(叽一加)5(/yi}sincLfxsincLfy

xXv

若让衍射图样中的机级谱幅值最大，应选择a使得

tga(n-l)_m

Aa

因而有

1mX

a

2.14设〃(x)为矩形函数，试编写程序求p=1/4,1/2,3/4时，其分数阶傅里叶变换,

并绘制出相应打⑺倒的曲线。

答：根据分数阶傅里叶变换定义式(2.62)

ra

0=2—(2.79)

71

即可编程计算p=1/4,1/2,3/4时的分数阶傅里叶变换（此处略）。

第三章习题解答

3.1参看图3.5,在推导相干成像系统点扩散函数（3.35）式时，对于积分号前的相位因子

「&IFk（x2+v2\

expj——®expj------!~~r2-

2d0°°JM-J

试问

（1）物平面上半径多大时，相位因子

exp国+y：）

L2doJ

相对于它在原点之值正好改变加弧度？

（2）设光瞳函数是一个半径为a的圆，那么在物平面上相应h的第一个零点的半径是

多少？

（3）由这些结果，设观察是在透镜光轴附近进行，那么a,人和山之间存在什么关系

时可以弃去相位因子

exp自《+端

解：（1）由于原点的相位为零，于是与原点位相位差为万的条件是

上（片+4）=生

ro=d大d。

2d。2d。

（2）根据（3.L5）式，相干成像系统的点扩散函数是透镜光瞳函数的夫琅禾费衍射图

样，其中心位于理想像点（莅,区）

22

力（%,%；冷%）=力2：“JJP（x,y）exp-^o）+（y1--y0）Jdxdy

=ME=J"J。"）

4dodB\JQd（）djp

式中r=/,而

Xj-Xo）2।沸一先

。=百+4皿皿

在点扩散函数的第一个零点处，4（2而夕）=0,此时应有23夕=3.83,即

将（2）式代入（1）式，并注意观察点在原点（X,=K=O）,于是得

0.61加

（3）根据线性系统理论，像面上原点处的场分布，必须是物面上所有点在像面上的点

扩散函数对于原点的贡献/2（%,打；0,0）。按照上面的分析，如果略去h第一个零点以

外的影响，即只考虑h的中央亮斑对原点的贡献，那么这个贡献仅仅来自于物平面原点

附近ro<O.6lAdo/a范围内的小区域。当这个小区域内各点的相位因子

exp[J婢/2d0]变化不大，就可认为（3.1.3）式的近似成立，而将它弃去，假设小区

-JT

域内相位变化不大于几分之一弧度（例如万/16）就满足以上要求，则依"2分（一，

^<2t/0/16,也即

a>2.4“Mi°

例如2=600〃/”,d。=600nm,则光瞳半径a>1A6mm,显然这一条件是极易满足

3.2一个余弦型振幅光栅，复振幅透过率为

fGo，No）=；+gcos2班X。

放在图3.5所示的成像系统的物面上，用单色平面波倾斜照明，平面波的传播方向在x°z平

面内，与z釉夹角为6。透镜焦距为f,孔径为Do

（1）求物体透射光场的频谱；

（2）使像平面出现条纹的最大9角等于多少？求此时像面强度分布：

（3）若0采用上述极大值，使像面上出现条纹的最大光栅频率是多少？与0=0时的截

止频率比较，结论如何？

解(1)斜入射的单色平面波在物平面上产生的场为Aexp(jfcc0sin6),为确定起见设

。＞0,则物平面上的透射光场为

4(X()，为)=Aexp(/ksin0)t(xQ,y0)

A(_sin。、1「cz.sin。、11「<sin。、[]

]jexpy2;rxo-^—J+ypj2^x0(70+^—)+-exp-j2^x0(/,--—)>

其频谱为

AG，〃)=尸{%(二,%)}

A-\J-s丁in。卜)万1J带匕f-田z.s才in。力)]洌1父f-(十十s丁in。)

由此可见，相对于垂直入射照明，物频谱沿4轴整体平移了sin9/2距离。

(2)欲使像面有强度变化，至少要有两个频谱分量通过系统，系统的截止频率

pc=D/^f,于是要求

sin0DDsinD

------------->--------4-A-I---------------

242/42/°24A/

由此得

2fo———4sin。W——(1)

。角的最大值为

(0)

(9miv=arcsin——(2.

MRI

此时像面上的复振幅分布和强度分布为

U,(4，丫)=4expj2g[1+:exp(-/2)x/)]

2\44/JL

A2「5_

<U,O,,)=--+cos2兀/x

（3）照明光束的倾角取最大值时，由（1）式和（2）式可得

Af0--<—

4/4/

即

fo《导或/omax4白（3）

ZXJZ/tJ

。=0时，系统的截止频率为4=0/44/,因此光栅的最大频率

/omax=Pe=777⑷

4/1/

比较（3）和（4）式可知，当采用e=qn”倾角的平面波照明时系统的截止频率提高了

一倍，也就提高了系统的极限分辨率，但系统的通带宽度不变。

3.3光学传递函数在f„=f,=0处都等于1,这是为什么？光学传递函数的值可能大于1

吗？如果光学系统真的实现了点物成点像，这时的光学传递函数怎样？

（1）在（3.4.5）式中，令

,,、匕（如丫）

J/似茗,刃）向血

—30

为归一化强度点扩散函数，因此（3.4.5）式可写成

00

-00

而

00

〃（0,0）=1=JJh（xi,yi）dxidyi

-00

即不考虑系统光能损失时，认定物面上单位强度点源的总光通量将全部弥漫在像面上,

这便是归一化点扩散函数的意义