华科高等工程数学课后习题答案

第一章

5.计算球体积.要使相对误差限为1%,问度量半径A时允

许的相对误差限是多少？|

二兀*一'

5.解&(V)=-——；-------------

与个

0

〜R—R*+*R+RR'

-------•---------------------------

RR

_/?-R'3/T_R~R'2_10/

RRR°

ijjR—R=-L

故R300,

12.序列；满足递推关系

yn—10yn-i-1(〃=1.2・•・・)・

若X=1.41(三位有效数字).计算到那时误差有多大?这

个计算过程稳定吗？

12.解因¥=J2.y；=1.41.而

Iy—yoiWg,10'=3.

于是有

Iyi—yiI—I10yo—1—10^+11—101yo-yoIW103.

Iyz—yi1=1lOyi—1—10yT+1I=10Iyi—yiI10'3.

类推有.

Iyio—yioI&10103.

即计算到力。.其误差限为10“6.亦即若在yo处有误差限为6.贝IJ

13

po的误差限将扩大1010倍.可见这个计算过程是不稳定的.

第二章

7.已知sin(0.32)=0.314567,sin(0.34)=0.333487有6位

有效数字.

(1)用线性插值求sin(0.33)的近似值.

(2)证明在区间［0.32,0.34］上用线性插值计算sinx时至少

有4位有效数字.

7.解(1)选取X©=0.329xi=0.34«x=0.33代入

Lagrange线性插值多项式，得

sin(o.33)=«£1(0.33)=耨|三等嗡X0.314567

0.33-0.32.Aooo<Q7

0.34-0.320-3334-

=4(0-314507+0.333487)=0.324027.

(2)由余项表达式(2.8)知.在区间［0.32,0.34］上用线性插

值计算sinx的余项满足

Ift(x)I=|^-5(：x-0.32)(«-0.34)|££(0.32,0.34)

.。.3*87(034-o.32y

O

^0.000017<-i-X10*.Vx€［0.32,0.3,

因此结果至少有4位有效数字.

G.设x,为互异节点(j=0,l求证：

*

(1)E=J(A=0,1,…，71)；

尸。

A

(2)Z(即一x)*/；(x)=0(A=1,2,….

/-0

6.解(D设/(*)=x*.当&=0,1,….n时，有

/心⑷=0.

对/(X)构造Lagrange插值多项式，

*

L-(x)=E£。，

产。

其

/?«(X)=/(X)—£«(X)=:----1(X)=0,

(〃一1)!

&介J,Xj之间，j=0,1,.

故/(%)=乙(”)，即

A

£“：/j(%)=r.A=0,l,,

/-0

特别地，当儿=0时.

■

E/>(X)=1.

/-0

(2)方法1：

弓(X,一工力,(4=力士(一iyk]j,7,(x)

II.

利用(D*[k]t”

二(—1),.Xj1Xi=(斯—X/)--0.

i・°I)

方法2：令g(。=0一X)'/=0,1「・，/1.对g(D构造〃次

Lagrange插值多项式,得

*

L.(t)=£(第一x)*/；(t).

60

由（D的结果知

Z（方—=（/—x）*

/-0

对一切，均成立.特别地.取，=X,上式仍成立,即

»

E（期一«）*/；（«）=o,k=0,1,

i-o

4.给出cosx,0°<x<90°的函数表，步长/«=1'=（1/60）°,

若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求CC"近似值时的

总误差界.

4.M由题设知OYY9or=川一X.=(&°・记X，

处的净确值为f.带有误差的值为，,则

58

其中&=fi—f•占1=户7-ff--

IRBI&lR.1+1R*1=1II(X—x.)(x—XHI)I

+x-x.-t&+X-X.3x

X«-x**iJT«M—X*

1!Jx-XHI।x-x«I

+q=77+7T^r|l

(8=max(I&I•IdI)1

10

■slwIsoJ~~2T.tt«<o,Sxio

%1.OCX1O*+4x101=5.0106X10•.

26.填空咫：

(1)/(X)=3/+1则儿1,2,3]=，小2,3,41=

(2)设x,(i=O,1.2,3,4,5)为互异节点，/,(*)为对应的5次

5S

Lagrange插值基函数，则V/4(0)=.二(£—2£+

0i-0

Xi—l)Zi(x)—・

(3)/(x)=x4-1,x.=其中i=0,l.2,…，则A=

乙

5Gl

J+J,0WX1,

4-、，」=c是以0,1,2为

2+hx2+ex-1,14y2

节点的三次样条函数.则b=,c=.

(5)满足条件P(0)=P'(0)=0.PCD=1,P(2)=2的插

值多项式P(x)=.

26.解2,3]==Z=3,/£1,2,3,41=0.

(2)ZXi/i(0)=0.=(x：+2x：+工：-1)/，(算)=无'+2x'

i―0i—0

+J+1.

(3)-#="，(==0,Nfz=17.8125.

(4)ft|limS(x)=limS(x)及limS'(％)=limS'(x),

»-l4L「«-l4L广

得b=-2,c=3.

(5)|设P(x)=J(ox+b)•得P(x)=--yX3+-yX2.

第三章

25.用最小二乘法求一个形如y=a+bx2的经验公式，使它

与下列数据相拟合.并计算均方误差.

Xi1925313844

19.032.349.078.397.8

25.解由题意知中=span{l,J},%=1,*=1.经计算

(强，6)=£1=5,(*.,9)=Z金=5327,

•-1•-1

(<?，%)=££=7277699,(?,y)=Ey；=271.4,

(<Ft,y)=〉24户=3G9321.5,

i-1

得法方程组

5a+53276=271.4,

5327Q+72776996=369321.5,

解之得a=0.9726046,6=0.0500351.

故y=0.9726046+0.0500351x.

均方误差为

llslli=[IIyIIz_»y)]11

122

=(0.0150232)'”=0.123.

26.观测物体的直线运动,得出以下数据.

时间”秒00.91.93.03.95.0

鹿肉/秒010305080110

求运动方程.

26.解设运动方程为S=m-b.

66•

E1=6,Xi=14.7,〉：xi=53.63,

1i-1i-1

Sr=280,Zx乎=1078.

«-li-1

得法方程

66+14.7a=280,

,14.76+53.63a=1078,

解之得fc=-7.8550478,a=22.25376.

故S=22.25376，-7.8550478.

第四章

例4试构造形如

Ao/(0)-/(2ft)

的数值求积公式，使其代数精度尽可能高,并指出其代数精度的阶

数.

解令公式对/(x)=hx,x均准确成立，则有

135

3/i=4o+4i-Az»

a,

—li=0-^4ih—Az2h^

乙

.9川=0-4ih~-4A*234Ai.

解之得

39

4c.A=0,Az,h,

44

故求积公式的形式为

Jo*/(x)dx弋竽/(0)+yfC2h).

由公式的构造过程知.公式至少有2次代数精度，而当/(x)

=x'时，公式的左边=弓/，右边=18/f.左边片右边，说明此公

式对/(x)=?不能净确成立.因此，公式只具2次代数精度.

L确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高，

并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度.

.41/(-/i)+4o/(0)+4./(h)；

(2)I/(x)dx*Ai/(—h)+A：f(Q)—4i/(/i)；

(3)P/(x)dxL/(-1)+2/(X.)+3/(x2)]/3；

L解(D求积公式中含有三个待定参数,即A

将/(x)=l,.r,x2分别代入求积公式，并令其左右相等，得

41+4+$=2儿

—hCA1-4i)=0,

ft2(4i+4)=q力,.

u

解得A>=.4；=^h,A：=萨所求公式至少具有2次代数精

度.又由于

「£dx=4(-Q3+4(1),

JA33

Ixdx^-y(—A.)*+■(—).

Aso

故l：/(x)d…告八一/»)一力/(0)一4_/w具有三次代数精度

(3)求积公式中含两个待定常数力、心，当令公式对/(A)=1

求确成立时,得到

I]dx=2="^-(1+2+3),

此等式不含有待定量"、g.无用.故需令公式对/(X)=准

确成立，即

I]*dM=0=g(—l+2xi+3xz).

Idx=-T-=1+2x；+3xi).

，[3o

2xi+3x2=1,(4.29)

,2xi+34=1.(4.30)

解上述方程组得

X2=-0.12GG09xz=0.526609

,或1

XI=0.68990X!=-0.289&0.

故有

r/(x)dXAy[/(-D+2/C0.68990)—3/(-0.12660)]

或

I/(x)dx^-1)+2/(—0.28990)+3/(0.52G60)].

将/(4)=/代入上已确定的求积公式中.

i丁d«r—1—2K；+3工打.

163

故求积公式具有2次代数精度.

4-已知*==[,*=-|",

(1)推导以这三个点作为求积节点在[0/：|上的插值型求积

公式.

(2)指明求积公式所具有的代数精度，

157

(3)用所求公式计算「Jdx.

J0

4.解(1)所求公式的形式为

IJ(x)dx*4—42.

因所要构造的公式应为插值型的，则

Ac-I'

仆)dx=「尸一裂了一「心

J0•o(xo-XI)(X0-X2)

/_1w_3x

-(xy><x丁_2

--onry-!r,lx■■中

(T-T)(T-T)

(x-XO)(X-X2),

g(*)da=--------------;-----------------------<1.1

J。(XI-X0)(X1-X2)

/1、/3、

i(x-)(x-).

____T______T_=--Z_

(—)r3,

f1(a-xc)(—一二)二

^=lofe(x)dx=

(xz-x：)(xJ-A.A

16G

-(-3--_---1--“--3--_-=——1dX

/1)(TF'

故

Jo/(x)dx^yL2/(-j-)—/(y)+2/(q)].

(2)因上述求积公式为3点的插值型公式,由定理4.1知，此

公式至少有两次代数精度.再将代入上述求积公

式，

|*?d«=^-=1E2X1]-1+2I

1户.「白声扣x图一目+2图1

故所求求积公式具有3次代数精度.

(3)因所得求积公式有3次代数精度,从而用求积公式计算

的值应是精确值.即

=扣X图一0+2X(1]]=1.

7.给定积分/=

JoX

(1)利用复化梯形公式计算上述积分值,使其截断误差不超

过鼻10I

(2)取同样的求积节点，改用复化Simpson公式计算时,截断

误差是多少？

(3)要求截断误差不超过10'，如果用复化Simpson公式，应

取多少个函数值？

7.解rflf-/(x)==I?cos(xl)df,所以

168

yk(x)=I-p-rcos(Z:/)d/=I/cos(xt+孕)dr.

故

I/*'(x)II?Icos(*+与)IdtWI.l'dt=L].

(1)为使复化梯形公式满足误差要求，只需

I/?.(/)1=<p/»2-|-<yX101

即可,这只需0.1342.

n*o"13.=0.3=7.4516,

故只需8等分即可.此时人=《=0.125,则

1+2

r=4X4<X<°-9973979+0.989G159

+0.97672GG+0.958851+0.9361557+0.9088517

+0.8771920+0.8414710}=0.945G911.

(2)对于同样点数用复化Simpson公式时其截断误

差为

1凡。=-褊"广⑸<羲小>得

=0.000000271=0.271X10*.

(3)为了在使用复化Simpson求积公式时误差不超过10只

需

1取(“=卜镐叮‘⑸卜羲"！

1(1]*,in-«

2880X51nJ，

解得n*^69.444444,2.88675.

故至少需将[0.1]3等分，即取2X3—1=7个节点处的函数

11.用复化梯形公式和复化Simpson公式的事后误差估计计

算定积分/=」告dx.要求精确到1。。

n.+y（T2.—r.）,

**1

Tn=丁兀——々Z/（x*"4）・

乙乙Q一Q

及&.+&•—Sn）,

10

计算列表如下（表4.6）.

表4.6

1身分2Ar?4-1r/一1।兄一”।、）.->>-:

3Jlw

013

123.18.183333

248.1311764713.141568627

883.13898S4953.1415925080.0000015®<103

4163.1409416120.000C51<1033.1415926510.000000009

因此.由梯形公式得I

/=r・=3.140941612,

精确到10’.由复化Simpson公式得到

/—&=3.141592503,

精确到10若取

中&=3.141592651,

则精确到」0L

of1

12.用Romberg算法计算积分多。小.要求误差不超过

104.

12.解用Romberg方法计算积分［e,dx,应用公式

(4.15),计算结果见表4.7.

172

表4.7

kn4)7\k>型

00.6839400.6323330.6821220.632120

10.6452350.632135O.63212C

、

0.6354100.682121

30.632948

所求积分

-^I-e-dx««-J=X0.632120^0.71327,

而积分准确值为0.713272.

14.用下列方法计算积分「上d>.

-1r

(l)Romberg算法.

(2)三点及五点Gauss-Legendre求积公式.

(3)将积分区间分为四等分，用复化两点Gaus§公式.

14.解(1)用Romberg算法

斐=匕今a)+

计算，计算结果如表也8.

表4.8

k咿n4>nft>

01.3833331.1111111.0992581.098680

11.1666671.0999991.098640

2i.iieeeei.o»e725

31.108210

故1j—dy1.098G30

(2)用三点及五点Gauss-Legendre求积公式，需先对求积区

间口,3口作如下变换:令

y==(〃+6)+[■(6-a”=/+2.

则当yW口,31时，。£]一1/1,且dy=<h,

〕、打=。±d，.

三点Gauss公式

r^y=Tdr

-iy1浑<-rZ

174

0-55o55oG[2^0.7745967-2-0.7745967

+0.8888889X.J,A

乙・UV

=1.098039283.

五点Gauss公式

—

2-0.90G17982+0.90C1798

-0.4786289X

-0.5088889x4

=1.098609289.

(3)用复化的两点Gauss求积公式计算.需将口.314等分，则

dt,li*_dl

2i2.5+0.5，2~13.5—0.5:

_n1if1d，

2-'>4.5+0.5，2-,*5.5-0.5/

〜」_________1,________]

'2l2.5+0.5X(卜32.5+0.5X3"

+______1___________I

3.5+0.5X(一37)+3.5-0.5X3一

+______I_____+_____I___„

4.5+0.5X(-31VTli)4.5+0.5X312

___________1__________________]

5.5+0.5X(-3,")5.5+0.5X3叼

=1.098537573.

/=的真值为/=1.098612289.

1b.建立Gauss型求枳公式

x)dx4,4c/(x»)+.41/(Xi).

15.解此题可用两种方法求解：第一种利用代数精度，得到

£于儿、小、加、外的一个非线性方程组，求解此方程组.得儿、

h、*第二种方法,利用正交多项式的零点作为Gauss点.下

亓田第一用去犍法.

17.证明求积公式

r〃幻dx&《[5/(O)+8/(0)+5/(-O)]

对丁•次数不高于5的多项式旅确成立，并计算积分|fRdx.

方法二:验证所给的求积公式是Gauss-Legendre求积公式.

因为三次Legendre多项式为

LA(X)=_3x)

乙t

它的3个零点分别为xc=—JO.6,xi=0,*=JO.G.

于是有

/(x)dxkAc/(—JO.6)+Ai/(0)+42/(JO.6).

J-i

令公式对/(X)=1,X,X2准确成立，得

」一旦

2—4+A+,上一百

0=-Jo.GAo-Jo.6Az>—<

4=苫

=0.G4+0.6.42.

Az=-Q-

故公式

Ii/(x)dx««-1[5/(-1676)+8/(0)+5/(O)]

是Gauss型的，且恰为二点Gauss-Legendre求积公式.其代数精

度为5.

也可直接查表得.40,41,42.

计算积分L普九

令x=4(l+D,则

=0.2842485.

第五章

1.取步长/»=().2,用Euler法解初值问超

/一Z

Y——y—xy,

/(0&W0.6),

.y(O)=l.

1-解/(#,»)=—＞一》/，Euler格式为

216

y»♦1=y.-A/(x.»户)="+0・2(-y.-x«yL)

=0・8六—0.2x.yi.

由尸=1计算得

y(0.2)&yi=0.8.

y(0.4)七户=0.5888,

y(0.=0.3895.

2.用梯形公式解初值问题

『=8-3"

-J(1—,

>(f1)=2,

212

取步长人=0.2,小数点后至少保留5位.

2.解/(x,y)=8-3',梯形公式为

y«1=y-H--^]/(工。,)、)-*yni)J

=”+•^^[8-3y«-8—3y…J.

整理得显格式为

_7,16

由式1)=广=2计算得

式1.2)8尸=2.30769,

y(l-4)*广=2.47337,

r(1.6)«*p=2.56258,

y(L8)&y,=2.G10G2,

y(2.0)*尸=2.63G49.

4.写出用梯形格式的迭代算法求解初值问题

y'+y=O,

.式0)=1

的计算公式.取步长人=0.1,并求y(0.2)的近似值.要求迭代误差

不超过104.

4.解梯形格式的迭代算法为

y.-i=y.+h/(x.,y.),

y/"i1=y.+W]/(x«,y-)+/(x…,)J.

A=0,l.2,…，n=0,l,2,….

r是取/(x.y)=—y,有

y?-i=0.9x.,

.产产=0.958一0.05州.

由y(0)=K=l.经计算有

行>=0.9,=0.905,^:>=0.90475,

=0.9047625,=0.904761875.

因|式>一4>1=6.25X10'V1()T,

于是取y(0.D*户=)产=0.904761875,

则口>=0.814286,分”=0.818809,

产>=0.818583,,>=0.818595,

,"=0.818594.

因If-式|=10'V10

故得>(0.2)4管="”=0.818594.

13.设有常微分方程初值问同'一，二'"’的单步法

y(XD)=尸

=

y«-1»—^[/(心，y*)-2/(1，yn1)J,

o

214

证明该方法是无条件稳定的.

13.证对模型方程/=。(入V0),所给方法的形式为

，…=--^-(入+2入/•]),

---o-3•

o

记a1为y.处的扰动.则有

1+4■入八

y«4i+&-i=(¥•+&).(5.35)

(5.35)式减(5.34)式得

1~-rX/i

&r=-^—3..

1—写人力

0

11+打”

因恒有一JVI.故gJV6I总是成立，即此方法是无条

p-t^l

件稳定的.

[y—\y,M二0,

19.讨论求解初值问阙'的二阶中点公式

I/0)=«

7.•1=,■+〃./[X-,y./(x-,y-)

的稳定性.

19.解因/(%,)=入〉，所以中点公式为

加1=六-4*y.+-1-(Xy.)]].

令霜＞=方，则

y,—=1+方—y«.

设户上有小扰动工制

,.，1+2,1=1一方--g"(y«-S.)

与上式相减有

S,♦1=|11一方兴・

显然当且仅当|1+方+得百IW1时，值+1区阳，即所给格式是

稳定的.解

11一方一■IW1

等价于-10+方即一1—(方W0,当1一万一

4尸=1时，得方1+4•方=0,即方=0及方=一2.将区间分为

/Z

229

(一8,—2),[—2,0],(0,+8),仅当方£2,01时，一2W方(1+

兰•方)W0,故一2WliW0即为绝对稳定区间.所以当步长上三

时，二阶中点公式是稳定的.它是条件稳定的.

第七章

18.设有解方程12—3x+2c°sx=0的迭代法

(1)证明均有ilri-mgx.=/(一为方程的根).

(2)取筋=4,用此迭代法求方程根的近似值.误差不超过

18.解(D因迭代函数

275

而对一切X,均有

故迭代过程收敛,即VaGR.均有limx.=Y.

■98

(2)取xo=4,代人迭代式计算有

xi=4—ycos4=3.56424,

xz=4—yros3.56424=3.39199G.

X3=4—TCOS3.391990=3.354125.

2

x<=4—354125=3.34833.

U

O

xz=4—5-cos3.34833=3.3475299.

o

取/*m=3.347即可使误差不超过10\

(3)因《(x)=—-^-sinx.|?(x*)|=|-ysinx,|K0・故由推

论G.1知,此迭代格式只具线性收敛性.

14.证明迭代公式

_*(4：+3。)

1=­z-:-----

ox*-a

是计算几的三阶方法；假定初值*充分靠近根，•求

..la—1

Iim-F=-----.

…(Ja-Q

14.证显然，当£>0,q>0时，m>0(A=L2.…).令迭代

函数

22

1mlx)_-(3.r'+3a)(3x+a)—x(x^3a),6x

则¥(------------(3?-ay------------

_3(1—af

~(3x+aV

故