卷04-2022年高考数学（理）模拟卷（全国卷）（解析版）

【赢在高考·黄金20卷】备战2022年高考数学（理）模拟卷（全国卷）二轮拔高卷04（本卷满分150分，考试时间120分钟。）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若集合A．{2，3} B． C．2 D．2，3【答案】A【解析】：，所以故选A．2．设（为虚数单位），则（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】因为，所以，所以；故选：B3．已知命题，命题，则下列命题中为真命题的是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】对于命题，因为，其中，而，故无解，故命题为假命题.对于命题，因为对任意，总有，故命题为真命题.故、、均为假命题，为真命题，故选：B.4．若实数满足约束条件则的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由实数满足约束条件作出可行域，如图.由解得将目标函数化为由图可知当直线过点时，有最小值，即故选：C5．若函数满足，则下列函数中为奇函数的是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，所以关于对称，所以将向左平移一个单位，再向上平移一个单位得到函数，该函数的对称中心为，故为奇函数，故选：D6．将4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生的不同分配方案共有A．12种 B．24种 C．36种 D．48种【答案】C【解析】因为4名学生分配到甲、乙、丙3个实验室准备实验，每个实验室至少分配1名学生，所以首先把4名学生分为3组，则有一个组有2人，共有种分法，再把分好的3组分到甲、乙、丙3个实验室，则有种分法，所以共有种分法.故选C.7．为了得到的图象，可以将的图象（

）A．向左平移个单位 B．向左平移个单位C．向右平移个单位 D．向右平移个单位【答案】A【解析】，即向左平移个单位可得到.故选：A8．深秋时节，霜叶红满地．今要测量捡到的枫叶的面积，在边长为15cm的正方形纸片中描出枫叶的轮廓，然后随机撒入100粒豆子，恰有60粒落入枫叶轮廓中，则枫叶的面积近似为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由题可知，落入枫叶轮廓中的概率为，所以枫叶的面积近似为故选：B．9．魏晋南北朝时期，中国数学的测量学取得了长足进展.刘徽提出重差术，应用中国传统的出入相补原理，因其第一题为测量海岛的高度和距离，故题为《海岛算经》.受此题启发，某同学依照此法测量郑州市二七纪念塔的高度.如图，点D，G，F在水平线DH上，CD和EF是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”测得以下数据（单位：米）：前表却行DG=1，表高CD=EF=2，后表却行FH=3，表距DF=61.则塔高AB=（

）A．60米 B．61米 C．62米 D．63米【答案】D【解析】根据题意，，，所以，解得．故选：D.10．若圆上存在点P，且点P关于直线的对称点Q在圆上，则r的取值范围是(

)A． B．C． D．【答案】A【解析】点P(x，y)关于y＝x对称点为Q(y，x)，∴圆的圆心为，半径为r，其关于的对称圆方程为：，根据题意，圆与圆有交点.又圆与圆的圆心距，要满足题意，只需，解得：.故选：A.11．棱长为a的正方体内有一个棱长为x的正四面体，且该正四面体可以在正方体内任意转动，则x的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】棱长为的正方体的内切球的半径为，正四面体可以在正方体内任意转动，只需该正四面体为球的内接正四面体，换言之，棱长为的正四面体的外接球的半径为，设正四面体为，过作平面，垂足为，为底面正的中心，则，体高为，由于外接球半径为，利用勾股定理得：，解得，选D.12．若函数则下列说法错误的是（）A．是奇函数B．若在定义域上单调递减，则或C．当时，若，则D．若函数有2个零点，则【答案】D【解析】由题设，当时有，则；当时有，则，故是奇函数，A正确．因为在定义域上单调递减，所以，得a≤－4或a≥－1，B正确．当a≥－1时，在定义域上单调递减，由，得：x＞－1且x≠0，C正确．的零点个数即为与直线的交点个数，由题意得，解得－3＜a＜-5+172，D错误．故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知，，若，则_______．【答案】【解析】因为，，若，所以，解得：，所以，所以，所以.故答案为：.14．的展开式中的系数是，则___________.【答案】##【解析】展开式的通项公式为，由，得，所以一次项的系数为，得，故答案为：．15．设分别是双曲线的左右焦点，点，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】由题意可得F1(−c,0),M(a,b)，直线MF1的斜率为tan30∘=，即有，即，即为c=2a,可得.故答案为2.16．已知正方体的棱长为，是空间中任意一点.①若点是正方体表面上的点，则满足的动点轨迹长是；②若点是线段上的点，则异面直线和所成角的取值范围是；③若点是侧面上的点，到直线的距离与到点的距离之和为2，则的轨迹是椭圆；④过点的平面与正方体每条棱所成的角都相等，则平面截正方体所得截面的最大面积是.以上说法正确的有___________.【答案】①④【解析】对于①：满足的动点的轨迹是以为圆心，以为半径的个圆弧，因此动点轨迹长是，故①正确；对于②：如图：连接，则，因为面，面，所以，因为，所以面，因为是线段上的点，则面，可得，所以异面直线和所成角恒为，故②不正确；对于③：过点作于点，则到直线的距离与到点的距离之和为，当点在线段上时，，当点不在线段上时，此时不满足到直线的距离与到点的距离之和为2，所以的轨迹是线段，故③不正确；对于④：过点的平面与正方体每条棱所成的角都相等，只需过同一顶点的三条棱所成的角相等即可，如图所示：，则平面与正方体过点的三条棱所成的角都相等，若点分别为相应棱的中点，则平面平面，且六边形为正六边形，边长为，所以正六边形的面积为：，故④正确；故答案为：①④三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。17．（12分）在①，②、、成等比数列，③.这三个条件中任选两个，补充到下面问题中，并解答本题.问题：已知等差数列的公差为，前项和为，且满足___________.(1)求；(2)若，且，求数列的前项和.【解析】(1)①：因为、、成等比数列，则，即，因为，可得.②：，可得.③：，可得，可得.若选①②，则有，可得，则；若选①③，则，则；若选②③，则，可得，所以，.(2)，且，则，所以，当时，则有，也满足，故对任意的，，则，所以，.18．（12分）为深入贯彻党的十九大教育方针.中共中央办公厅､国务院办公厅印发《关于进一步减轻义务教育阶段学生作业负担和校外培训负担的意见》.郑州某中学数学建模小组随机抽查了我市2000名初二学生“双减”政策前后每天的运动时间，得到如下频数分布表：表一：“双减”政策后时间（分钟）人数1060210520730345125表二：“双减”政策前时间（分钟）人数4024556061040313012(1)用一个数字特征描述“双减”政策给学生的运动时间带来的变化（同一时间段的数据用该组区间中点值做代表）；(2)为给参加运动的学生提供方便，学校在球场边安装直饮水设备.该设备需同时装配两个一级滤芯才能正常工作，且两个滤芯互不影响，一级滤芯有两个品牌A､B：A品牌售价5百元，使用寿命7个月或8个月（概率均为0.5）；B品牌售价2百元，寿命3个月或4个月（概率均为0.5）.现有两种购置方案，方案甲：购置2个品牌A；方案乙：购置1个品牌A和2个品牌B.试从性价比（设备正常运行时间与购置一级滤芯的成本之比）角度考虑，选择哪一种方案更实惠.【解析】(1)双减政策后运动时间的众数是65，双减政策前的众数是55，说明双减政策后，大多数学生的运动时间都变长；(2)若采用甲方案，记设备正常运行时间为（单位是月），则的取值可能为、，则，，则的分布列：它与成本之比为E(若采用乙方案，记设备正常运行时间为（单位是月），则的取值有、、，则，P(Y=7)=5它与成本之比为方案乙性价比更高.19．（12分）在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，BD⊥DC，点E是BC的中点.将△ABD沿BD折起，使AB⊥AC，连接AE，AC，DE，得到三棱锥A－BCD．（1）求证：平面ABD⊥平面BCD（2）若AD=1，二面角C－AB－D的余弦值为，求二面角B－AD－E的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）证明：因为直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，所以AB⊥AD，因为AB⊥AC，，所以AB⊥平面ADC，所以AB⊥CD，因为BD⊥DC，,所以CD⊥平面ADB，因为CD在平面BCD内，所以平面ABD⊥平面BCD（2）由（1）知AB⊥平面ADC，所以二面角C－AB－D的平面角为∠CAD，因为CD⊥平面ADB，所以AD⊥CD，所以,得,所以,设，则，由题意可知,所以，即，解得，所以，如图所示，建立空间直角坐标系D-xyz，则,所以,因为CD⊥平面ADB，所以令平面ADB的法向量为，设平面AED的法向量为，则，即，取，则，设二面角B－AD－E的平面角为，则，所以，所以二面角B－AD－E的正弦值为，20．（12分）已知函数．(1)当时，求的单调区间；(2)若，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解析】(1)，∵，所以是的一个零点．又令，，则，，时，∴在，单调递减；在单调递增(2)不等式在R上恒成立，即不等式恒成立．令，则等价于不等式恒成立，①若，不等式（*）显然成立，此时②若时，不等式（*）等价于设，当时，，令，则，，∵，∴在上单调递减，在单调递增，∴∴，在单调递增，∴综上所述，满足题意的实数a的取值范围为．21．（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，直线l经过与椭圆交于P，Q两点.当与y轴的交点是线段的中点时，.（1）求椭圆的方程；（2）设直线l不垂直于x轴，若满足，求t的取值范围.【解析】（1）当与y轴的交点是的中点时,轴,PQ为通径由，得,,，椭圆方程（2）当l与x轴重合,PQ为长轴二端点,T为原点,此时否则设,由题意,代入椭圆方程,恒成立设,,设PQ中点则,直线DT的斜率为,,,得∴综上,（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为.（1）求曲线与直线的普通方程；（2）若点