柱坐标系 教学设计

柱坐标系学习目标1.柱坐标系的理解．2.柱坐标与直角坐标的互化.知识梳理1．柱坐标系图4－1－6建立了空间直角坐标系O－xyz后，设P为空间中任意一点，它在xOy平面上的射影为Q，用极坐标(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q在平面xOy上的极坐标，这时点P的位置可以用有序数组(ρ，θ，z)(z∈R)表示，把建立上述对应关系的坐标系叫柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z)叫做点P的柱坐标，记作P(ρ，θ，z)，其中ρ≥0,0≤θ＜2π，z∈R.2．直角坐标与柱坐标之间的关系eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝ρcosθ,y＝ρsinθ,z＝z))学习过程例题精解例题1设点M的柱坐标为(2，eq\f(π,6)，7)，则点M的直角坐标为________．答：设M(x，y，z)，则x＝2×coseq\f(π,6)＝eq\r(3)，y＝2×sineq\f(π,6)＝1，z＝7.即M点坐标为(eq\r(3)，1,7)．课堂作业1.把下列各点的柱坐标化为直角坐标：(1)Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5，\f(π,2)，－2))；(2)Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2π,3)，4))；(3)Seq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(8，\f(5π,4)，－3)).【解】(1)x＝0，y＝5，故点Q的直角坐标为Q(0,5，－2)．(2)x＝6coseq\f(2π,3)＝－3，y＝6sineq\f(2π,3)＝3eq\r(3)，故点R的直角坐标为R(－3,3eq\r(3)，4)．(3)x＝8coseq\f(5π,4)＝－4eq\r(2)，y＝8sineq\f(5π,4)＝－4eq\r(2)，故点S的直角坐标为S(－4eq\r(2)，－4eq\r(2)，－3)．2．建立适当的柱坐标系，表示棱长为3的正四面体各个顶点坐标．【解】以正四面体的一个顶点B为极点O，选取以O为端点且与BD垂直的射线Ox为极轴，在面BCD上建立极坐标系．过O点与面BCD垂直的线为z轴．过A作AA′垂直于平面BCD，垂足为A′，则BA′＝eq\f(3,2)eq\r(3)×eq\f(2,3)＝eq\r(3)，AA′＝eq\r(32－\r(3)2)＝eq\r(6)，∠A′Bx＝eq\f(π,2)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,3)，则A(eq\r(3)，eq\f(π,3)，eq\r(6))，B(0,0,0)，C(3，eq\f(π,6)，0)，D(3，eq\f(π,2)，0)．3．一个圆形体育馆，自正东方向起，按逆时针方向等分为十六个扇形区域，顺次记为一区，二区，…，十六区，我们设圆形体育场第一排与体育馆中心的距离为200m，每相邻两排的间距为1m，每层看台的高度为0.7m，现在需要确定第九区第四排正中的位置A，请建立适当的坐标系，把点A的坐标求出来．【解】以圆形体育馆中心O为极点，选取以O为端点且过正东入口的射线Ox为极轴，在地面上建立极坐标系，则点A与体育场中轴线Oz的距离为203m，极轴Ox按逆时针方向旋转eq\f(2π,16)×eq\f(17,2)＝eq