利用抛物线的对称性解题

利用抛物线的对称性解题b我们知道，抛物线y=ax2+bx+c是以直线x=—亍为对称轴的轴对称图形，它2a的顶点在对称轴上.由此可以进一步得到如下结论：（1）抛物线上纵坐标相同的两点是对称点，抛物线上对称两点的纵坐标相同.（2）若抛物线上有两点（xl，yl）,（x2，yl）,x+x则抛物线的对称轴为：直线x=122.解决有关抛物线的问题时，若能利用抛物线的对称性,则常可以另辟解题新路,使解题过程简化.下面结合中考试题说明其应用.例1（2010,河北）如图1,已知抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=2，点A,B均在抛物线上，且AB与x轴平行，其中点A的坐标为（0,3）,则点B的坐标为（ ）.A.（2A.（2，3）C.（3，3）B.（3，2）D.（4，3）图3图3解析：由点A,B均在抛物线上，且AB与x轴平行可知，点A,B关于x=2对称，设点B的横坐标为xB，则晋b=2,从而解出xB=4,于是可知点B坐标为（4,B2B3）,故选D.例2（2010，山东日照）如图2是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为直线x=1若其与x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+cV0的解集是 .解析：由抛物线的对称性可知，抛物线与x轴的另一交点为（一1,0）,ax2+bx+cV0的解集就是抛物线落在x轴下方的部分所对应的x的取值，因此不等式ax2+bx+cV0的解集是一1VxV3.例3（2010,浙江金华）若二次函数y=-x2+2x+k的部分图象如图3所示，则关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的一个解x1=3，另一个解x2=

解析：观察二次函数y=-x2+2x+k的部分图象可知，它的对称轴是x=1,因为它与x轴的一个交点是（3,0）,所以它与x轴的一个交点是（-1,0）•所以关于x的一元二次方程-x2+2x+k=0的两个解xi=3，x2=-1，故填-1.评析：本题考察二次函数与一元二次方程之间的关系，解答问题的关键是要善于读懂函数的图象信息.的对称轴是直线x二1,且经过点P（3，0），则a—b+c的值为（)A.0 B.－1C.的对称轴是直线x二1,且经过点P（3，0），则a—b+c的值为（)A.0 B.－1C.1D.2解析：由抛物线的对称轴x二1，及点P3，0），可求出抛物线上点P关于对称轴x二1的对称点的坐标为Q（-1，0），由于Q在抛物线上，有（-1,0）满足关系式,所以a—b+c=0，故选A.评析：本题设计非常巧妙，独具匠心，若不用这种方法将有点麻烦．例5（2005，山东省中考题）抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-2,7），B（6,7），C3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是 .解析：由点A（-2,7），B（6,7）的纵坐标相同，可知A、B关于抛物线的对称轴对—2+6 一一称，且对称轴方程为x= =2.于是设该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标为3+x（x2,-8）,则有2= 2，从而得x=1,故答案为（1,-8）.222评析：本题两次运用抛物线的轴对称性，，大大降低了难度及运算.若用常规解法为：由A、B、C三点列出关于a、b、c的三元一次方程组求出抛物线的关系式，再令y=-8,解关于x的一元二次方程选出不同于3的根，得出答案，显然非常麻烦！1例6 （2010,四川南充）已知抛物线y=—2x2+bx+4上有不同的两点E(k+3,—k2+1)和F(—k—1,—k2+1). (1)求抛物线的解析式.(2)、(3)略分析：（1）的关键是确定一次项系数b.观察抛物线上不同的两点E（k+3,—k2+1）和F（—k—1,—k2+1），纵坐标相同，因此判断得点E和点F关于抛物线对称轴对称.

解：1b解：(1)抛物线y二—2x2+bx+4的对称轴为x=-一厂〒2 2xl—1I2丿*.*抛物线上不同两个点E(k+3,—k2+D和F(—k—1,—k2+1)的纵坐标相同,点E点E和点F关于抛物线对称轴对称，则(k+3)+(—k—1)2且kH—2.1••・抛物线的解析式为y二—-x2+x+4.评析：这是一道有一定难度的综合题.初接触时，思路不易打开，做完后又觉得不太难．本题考查学生的阅读理解能力和分析问题、解决问题的能力．从抛物线的对称性入手，解法十分简便．例7(2010,山东聊城)如图5,已知抛物线y=ax2+bx+c(aMO)的对称轴为x两点,与x轴交于另一点B.=1,且抛物线经过A(-1,0)、C(0两点,与x轴交于另一点B.求这条抛物线所对应的函数关系式；在抛物线的对称轴x=1上求一点M,使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；分析：(1)由点C(0,-3)知c=-3，只需求得a、b两个未知的系数，根据点A(-1,0)和对称轴x=1,利用待定系数法可求解；(2)由抛物线的对称性知，直线x=1是AB的垂直平分线，因此MA=MB,要使得MA+MC最小，只要MC+MB最小，所以点M就是直线BC与抛物线对称轴的交点.解：(1)：°抛物线经过点C(0,—3).・.c=-3,.°・y=ax2+bx-3，又抛物线经过a=1,b=—2.a—b—3a=1,b=—2.点A(-1,0),对称轴为x=1,所以＜b 解得——=1.、2a・••抛物线的函数关系式为y=x2-2x-3(2)V点A(-1,0),对称轴为x=1,.点B(3,0).连接BC,交对称轴x=1于点M.•・•点M在对称轴上，MA=MB,.•・直线BC与对称轴x=1的交点即为所求的M点.设直线BC的函数关系式为y=kx+b,由B(3，0)，C(0，－3)，解得y=x-3,由x=1,解得y=-2