集合知识网络

第1节集合知识网络考点透视1．理解集合、子集、补集、交集、并集的概念.2．了解空集和全集的意义.3．了解属于、包含、相等关系的意义.掌握有关的术语和符号，并会用它们正确表示一些简单的集合．4．解答集合问题，首先要正确理解集合有关概念，特别是集合中元素的三要素；对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元素x以及它所具有的性质P；要重视发挥图示法的作用，通过数形结合直观地解决问题.5．注意空集的特殊性，在解题中，若未能指明集合非空时，要考虑到空集的可能性，如AB,则有A=或A≠两种可能，此时应分类讨论.重难点1、重点：集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算．2、难点：正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算．知识网络构建有限集有限集分类分类集合的概念空集集合的概念空集确定性元素的性质集合确定性元素的性质集合互异性互异性列举法无序性列举法无序性集合的表示法集合的表示法描述法描述法真子集真子集子集包含关系子集包含关系相等相等交集集合运算集合与集合的关系交集集合运算集合与集合的关系并集并集补集补集命题趋势分析有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主，分值5分。预测2022年高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体题型估计为：（1）题型是1个选择题或1个填空题；（2）热点是集合的基本概念、运算和工具作用考点精析1．以集合为中心的知识网络概述集合是不定义的概念，在理解集合概念的同时，必须掌握集合中元素的确定性、互异性及无序性的性质，并能运用这些性质来解题．注意元素与集合之间是属于或不属于的关系，而集合与集合之间是包含或不包含的关系，两者不能混淆．要熟练地进行集合的交、并、补的运算，在运算时，应首先将集合化简，当集合中含字母时，必须对字母的取值进行讨论．作为一种数学工具，集合与数学的其他各个分支有着密切的联系，复习时要加深对它的理解．集合是高中数学的基础，也是高考中常考的内容之一．集合思想及集合语言可以渗透到高中数学的各个分支，它可与函数、方程和不等式等许多知识综合起来进行考查．在解题时首先需要我们能读懂集合语言，将集合语言转换为数学语言，再用相关的知识解决问题．2．对集合中元素三大性质的理解（1）确定性集合中的元素，必须是确定的．对于集合和元素，要么，要么，二者必居其一．比如：“所有大于100的数”组成一个集合，集合中的元素是确定的．而“较大的整数”就不能构成一个集合，因为它的对象是不确定的．再如，“较大的树”、“较高的人”等都不能构成集合．（2）互异性对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．任何两个相同的对象在同一集合中时，只能算作这个集合中的一个元素．如：由，组成一个集合，则的取值不能是或1．（3）无序性集合中的元素的次序无先后之分．如：由组成一个集合，也可以写成组成一个集合，它们都表示同一个集合．3．学习集合表示方法时应注意的问题（1）注意与的区别．是集合的一个元素，而是含有一个元素的集合，二者的关系是．（2）注意与的区别．是不含任何元素的集合，而是含有元素的集合．（3）在用列举法表示集合时，一定不能犯用｛实数集｝或来表示实数集这一类错误，因为这里“大括号”已包含了“所有”的意思．用特征性质描述法表示集合时，要特别注意这个集合中的元素是什么，它应具备哪些特征性质，从而准确地理解集合的意义．例如：集合中的元素是，这个集合表示二元方程的解集，或者理解为曲线上的点组成的点集；集合中的元素是，这个集合表示函数中自变量的取值范围；集合中的元素是，这个集合表示函数中函数值的取值范围；集合中的元素只有一个（方程），它是用列举法表示的单元素集合．4．集合间的关系及集合运算问题点评（1）要注意与间的区别：“”表示元素与集合间的关系，如．“”表示集合与集合间的关系，如．（2）理解与的含义：“”包含“”，“”两种情况，其中必有一种且只有一种情况成立；而“”等价于“且”．（3）尝试用Venn图表示两个集合间的关系，并逐步形成用集合的观点去认识问题、思考问题的思维方式．学会分类写出给定集合的所有子集的解题技巧，并通过对教材“探索与研究”中习题的探究，找出集合中元素的个数与它的所有子集个数的关系规律．（4）交集、并集、全集、补集的定义及其运算是本部分的重点，可以结合Venn图去理解并且应当重视Venn图的直观作用．（5）应重视利用空集的特性．空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，利用空集的这一特性，可使一些题设中隐含有空集条件的问题得以正确解决．（6）补集思想在集合运算中的作用也是不可忽视的．对于一个问题，如果正面去求解比较困难，则可以从这个问题的反面入手，也就是采用补集的思想．热点题型分析题型一、对集合中有关概念的考查例1、（2022全国卷1文2）设全集，集合，，则A.B.C.D.解析：，，则=答案C【命题意图】本小题主要考查集合的概念、集合运算等集合有关知识题型二、对集合性质及运算的考查例2、若集合，，则（）A.B.C.D.解析：考查集合的性质与交集以及绝对值不等式运算。常见的解法为计算出集合；，,解得，在应试中可采用特值检验完成．点评：本题考查了集合之间的关系、集合的交集、补集的运算，要借助于Venn图解决集合问题．①两个集合的交集:；②两个集合的并集:；③设全集是,集合,则.方法：常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.题型三、对与不等式有关集合问题的考查例2、设集合A={x||x－a|<2}，B={x|<1}，若AB，求实数a的取值范围。解析：由|x－a|<2，得a－2<x<a+2，所以A={x|a－2<x<a+2}。由<1，得<0，即－2<x<3，所以B={x|－2<x<3}。因为AB，所以，于是0≤a≤1。点评：这是一道研究集合的包含关系与解不等式相结合的综合性题目。主要考查集合的概念及运算，解绝对值不等式、分式不等式和不等式组的基本方法。在解题过程中要注意利用不等式的解集在数轴上的表示方法.体现了数形结合的思想方法。题型四、对与方程、函数有关的集合问题的考查例4、已知集合，，若，求实数的取值范围．分析：本题的几何背景是：抛物线与线段有公共点，求实数的取值范围．解法一：由得①∵，∴方程①在区间上至少有一个实数解，首先，由，解得：或．设方程①的两个根为、，（1）当时，由及知、都是负数，不合题意；（2）当时，由及知、是互为倒数的两个正数，故、必有一个在区间内，从而知方程①在区间上至少有一个实数解，综上所述，实数的取值范围为．解法二：问题等价于方程组在上有解，即在上有解，令，则由知抛物线过点，∴抛物线在上与轴有交点等价于①或②由①得，由②得，∴实数的取值范围为．评述：上述解法应用了数形结合的思想.如果注意到抛物线x2+mx－y+2=0与线段x－y+1=0（0≤x≤2）的公共点在线段上，本题也可以利用公共点内分线段的比λ的取值范围建立关于m的不等式来解.题型五、集合创新题例5、定义集合运算：A*B=，设集合，，则集合A*B的所有元素之和为（）A．0B．6C．12D．18解析：当，时，；当，时，；当，时，；当，时，；结合集合的特征，可以得到A*B=，则集合A*B的所有元素之和为：0+6+12=18，即选择答案（D）．评注：对于“新概念”的集合问题，要注意所定义的集合的实质内含，并结合集合的基本特征加以求解．关键在于理解“新概念”集合的特征，也是近年来考查比较突出的一个问题思维方法1、准确理解集合的概念是解答集合问题的前提，特别是集合中元素的三个特征．对于用描述法表示的集合，要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，认清集合元素是突破解题难点的要害所在．2