2023年中考数学二轮复习重难点专项突破专题10 相似三角形的综合问题(教师版)

专题10相似三角形的综合问题【典型例题】1．(2021·山东省济南中学九年级期中)如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点D、E分别是边SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为SKIPIF1<0．(1)问题发现①当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0________；②当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0______．(2)拓展探究试判断：当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0的大小有无变化？请仅就图2的情形给出证明．(3)问题解决SKIPIF1<0绕点C逆时针旋转至A、B、E三点在同一条直线上时，请直接写出线段SKIPIF1<0的长________．【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)当0°≤α＜360°时，SKIPIF1<0的大小没有变化，证明见解析(3)BD的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)①当α＝0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的SKIPIF1<0值是多少．②α＝180°时，可得AB∥DE，然后根据SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值是多少即可．(2)首先判断出∠ECA＝∠DCB，再根据SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，判断出△ECA∽△DCB，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．(3)分两种情形：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，分别求解即可．(1)解：①当α＝0°时，∵Rt△ABC中，∠B＝90°，∴AC＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝2SKIPIF1<0，∵点D、E分别是边BC、AC的中点，∴AE＝SKIPIF1<0AC＝SKIPIF1<0，BD＝SKIPIF1<0BC＝1，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．②如图1中，当α＝180°时，可得AB∥DE，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．故答案为：①SKIPIF1<0，②SKIPIF1<0．(2)解：如图2，当0°≤α＜360°时，SKIPIF1<0的大小没有变化，∵∠ECD＝∠ACB，∴∠ECA＝∠DCB，又∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴△ECA∽△DCB，∴SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，即当0°≤α＜360°时，SKIPIF1<0的大小没有变化．(3)解：①如图3﹣1中，当点E在AB的延长线上时，在Rt△BCE中，CE＝SKIPIF1<0，BC＝2，∴BE＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝1，∴AE＝AB+BE＝5，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴BD＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0．②如图3﹣2中，当点E在线段AB上时，BE＝SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0＝1，AE＝AB-BE=4﹣1＝3，∵SKIPIF1<0＝SKIPIF1<0，∴BD＝SKIPIF1<0，综上所述，满足条件的BD的长为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题．【专题训练】选择题1．(2022·江苏海门·九年级期末)如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，OB=2，OC=5，AB=4，则CD的长为(

)A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】【分析】利用8字模型的相似三角形证明△AOB∽△DOC，然后利用相似三角形的性质即可解答．【详解】解：∵AB∥CD，∴∠A=∠D，∠B=∠C，∴△AOB∽△DOC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴CD=10，故选：D．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握8字模型的相似三角形是解题的关键．2．(2022·江苏省南京二十九中教育集团致远中学九年级期末)如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，DE∥BC，若ΔADE的面积为6，则ΔABC的面积等于(

)A．12 B．18 C．24 D．54【答案】D【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理可得ΔADE~ΔABC，利用其性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出ΔABC的面积．【详解】SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故答案选：D．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．3．(2022·广西平桂·九年级期末)如图，以点O为位似中心，将△OAB放大后得到△OCD，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则线段BD长为(

)A．SKIPIF1<0 B．6 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】根据位似变换可知SKIPIF1<0，得出SKIPIF1<0，代入数据得出OD的长，从而可求出BD的长．【详解】根据题意可知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：C．【点睛】本题考查位似变换的性质，三角形相似的性质．掌握位似的两个三角形相似是解题关键．4．(2021·广东禅城·二模)如图，A、B分别为反比例函数SKIPIF1<0(x＜0)，y＝SKIPIF1<0(x＞0)图象上的点，且OA⊥OB，则tan∠ABO的值为()A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D，根据A、B在函数图象上可求出S△AOC＝4，S△BDO＝9，根据相似三角形的判定得出△BDO∽△OCA，根据相似三角形的性质得出，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，根据SKIPIF1<0即可求出角的正切值．【详解】解：如图，过A作AC⊥x轴于C，过B作BD⊥x轴于D则∠BDO＝∠ACO＝90°∵A、B分别为反比例函数SKIPIF1<0(x＜0)，SKIPIF1<0(x＞0)图象上的点∴S△AOC＝4，S△BDO＝9∵∠AOB＝90°∴∠BOD+∠DBO＝∠BOD+∠AOC＝90°∴∠DBO＝∠AOC∴△BDO∽△OCA∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故选：A．【点睛】本题考查了三角形相似的判定与性质，反比例函数，正切．解题的关键在于对知识的灵活运用．5．(2021·广东龙门·三模)如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的顶点A的坐标为(SKIPIF1<0，0)，顶点D的坐标为(0，SKIPIF1<0)，延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C，延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1，……，按这样的规律进行下去，第2021个正方形的边长为(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】根据相似三角形的判定定理，得出SKIPIF1<0，继而得知SKIPIF1<0，利用勾股定理计算出正方形的边长，从中找出规律，问题也就迎刃而解了.【详解】解：根据题意，得：SKIPIF1<02，SKIPIF1<0(两直线平行，同位角相等)．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0顶点SKIPIF1<0的坐标为(SKIPIF1<0，0)，顶点D的坐标为(0，SKIPIF1<0)，∴OASKIPIF1<0，ODSKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，根据勾股定理得SKIPIF1<0，∴AD＝AB＝1，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理得：SKIPIF1<0，••••••第2021个正方形的边长为SKIPIF1<0，故选：B．【点睛】本题综合考查了相似三角形的判定、勾股定理、解直角三角形，正方形的性质等知识点，另外在解题过程中，要认真挖掘题中隐藏的规律，这样可以降低解题的难度，提高解题效率.二、填空题6．(2021·广东·东莞市石龙第二中学模拟预测)如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，若△ABC的面积为4，则四边形BCED的面积为___．【答案】3【解析】【分析】由题意知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线，有SKIPIF1<0，从而得SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0的值，对SKIPIF1<0计算求解即可．【详解】解：由题意知SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中位线∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0故答案为：3．【点睛】本题考查了中位线，相似三角形的性质．解题的关键在于明确相似三角形的面积比等于相似比的平方．7．(2022·内蒙古包头·九年级期末)如图，△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的角平分线CD交AB于点D．若AC＝2，则CB＝_____．【答案】SKIPIF1<0##SKIPIF1<0【解析】【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠ACB=∠B=72°，∠A=36°，根据角平分线的定义可得∠ACD=∠BCD=36°，根据三角形外角性质可得∠CDB=72°，可得AD=CD，CD=BC，△BDC∽△BCA，设BC=x，根据相似三角形的性质列方程求出x的值即可得答案．【详解】∵AB＝AC，∠B＝72°，∴∠ACB=∠B=72°，∠A=180°-2∠B=36°，∵∠ACB的角平分线CD交AB于点D．∴∠ACD=∠BCD=36°，∴∠CDB=∠ACD+∠A=72°，∴AD=CD，CD=BC，∵∠BCD=∠A=36°，∠B=∠B，∴△BDC∽△BCA，设BC=x，∴CD=BC=x，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得：x=SKIPIF1<0，(负值舍去)故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查等腰三角形的性质及相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．8．(2022·山东崂山·九年级期末)如图，在▱ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC的平分线交BC于点F，交AB的延长线于点G，过点C作CE⊥DG，垂足为E，CE=2，则△BFG的周长为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】首先利用已知条件可证明△CDF是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出DF=2DE，而在Rt△CDE中，由勾股定理可求得DE的值，即可求得DF的长，从而求出△CFD的周长；然后，证明△CDFSKIPIF1<0△BFG，然后根据周长比等于相似比即可得到答案．【详解】解：∵SKIPIF1<0是∠ADC的平分线∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是平行四边形SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0故答案为：SKIPIF1<0【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练运用以上知识是解题的关键．9．(2022·山西太原·九年级期末)如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，C分别在x轴的负半轴上，y轴的正半轴上，y轴平分AB边，点A的坐标(﹣2，0)，AB＝5．过点D的反比例函数的表达式是_____．【答案】SKIPIF1<0【解析】【分析】过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为点SKIPIF1<0，先根据相似三角形的判定证出SKIPIF1<0，根据相似三角形的性质可得SKIPIF1<0，从而可得SKIPIF1<0，再根据相似三角形的判定证出SKIPIF1<0，根据相似三角形的性质可得SKIPIF1<0，从而可得出点SKIPIF1<0的坐标，然后利用待定系数法即可得．【详解】解：如图，过点SKIPIF1<0作SKIPIF1<0轴于点SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴的交点为点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴平分SKIPIF1<0边，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0轴，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设过点SKIPIF1<0的反比例函数的表达式为SKIPIF1<0，将点SKIPIF1<0代入得：SKIPIF1<0，则过点SKIPIF1<0的反比例函数的表达式为SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0．【点睛】本题考查了求反比例函数的解析式、相似三角形的判定与性质、矩形的性质等知识点，通过作辅助线，构造相似三角形是解题关键．10．(2022·河北·石家庄市第二十八中学九年级期末)如图，为一块铁板余料，BC＝10cm，高AD=10cm，要用这块余料裁出一个矩形PQMN，使矩形的顶点P、N分别在边AB，AC上．顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为_____．【答案】25【解析】【分析】设DE=x，根据矩形的性质得到SKIPIF1<0，PQ=MN=DE，证明△APN∽△ABC，得到SKIPIF1<0，求出PN=10-x得到矩形的面积，根据二次函数的性质求解．【详解】解：设DE=x，∵四边形PQMN是矩形，AD⊥BC，∴SKIPIF1<0，PQ=MN=DE，∴△APN∽△ABC，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴PN=10-x，∴矩形PQMN面积=SKIPIF1<0，∴当x=5时，矩形PQMN面积有最大值，最大值为25cm2，故答案为：25．．

【点睛】此题考查了矩形的性质，相似三角形的判定及性质，二次函数的最值，正确掌握相似三角形的判定及性质定理是解题的关键．三、解答题11．(2022·江苏溧水·九年级期末)折叠矩形ABCD，使点D落在BC边上的点F处，折痕为AE．(1)求证△ABF∽△FCE；(2)若CF＝4，EC＝3，求矩形ABCD的面积．【答案】(1)见解析(2)矩形ABCD的面积为80【解析】【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质即可证明△ABF∽△FCE．(2)由(1)得△ABF∽△FCE，所以SKIPIF1<0，进而可以解决问题．(1)证明：由矩形ABCD可得，∠B＝∠C＝∠D＝90°．∴∠BAF+∠AFB＝90°．由折叠得∠AFE＝∠D＝90°．∴∠AFB+∠EFC＝90°．∴∠BAF＝∠EFC．∴△ABF∽△FCE；(2)解：∵CF＝4，EC＝3，∠C＝90°∴EF＝DE＝5，∴AB＝CD＝8．由(1)得△ABF∽△FCE，∴SKIPIF1<0∴BF＝6．∴BC＝10．∴S＝AB•CB＝10×8＝80．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，翻折变换，解决本题的关键是得到△ABF∽△FCE．12．(2022·湖北硚口·九年级期末)如图，在△ABC和△AED中，AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°，点G、F分别是ED、BC的中点，连接CD、BE、GF．(1)求证：∠ACD＝∠ABE；(2)求SKIPIF1<0的值；(3)若四边形BEDC的面积为42，周长为SKIPIF1<0，GF＝5，则AB＝．【答案】(1)见解析(2)SKIPIF1<0(3)10【解析】【分析】(1)由题意得SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，则SKIPIF1<0，根据SAS证明SKIPIF1<0，即可得；(2)连接AG，AF，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根据角之间的关系得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，根据相似三角形的性质即可得；(3)由GF=5得SKIPIF1<0，根据四边形的周长可得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，SKIPIF1<0设BC=a，ED=b，列方程SKIPIF1<0，进行计算得SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0．(1)证明：∵AB=AC，AE=AD，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0(SAS)，∴SKIPIF1<0．(2)解：如图，连接AG，AF，∵SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都是等腰直角三角形，且点G，F分别是ED，BC的中点，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．(3)解：∵GF=5，∴SKIPIF1<0，由(1)SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设BC=a，ED=b，∴SKIPIF1<0由②得，SKIPIF1<0③，将③代入①得，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，故答案为：10．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握这些知识点．13．(2022·四川成都·九年级期末)如图1，在矩形ABCD中，点E是CD上一动点，连接AE，将△ADE沿AE折叠，点D落在点F处，AE与DF交于点O．(1)射线EF经过点B，射线DF与BC交于点G．ⅰ)求证：△ADE∽△DCG；ⅱ)若AB＝10，AD＝6，求CG的长；(2)如图2，射线EF与AB交于点H，射线DF与BC交于点G，连接HG，若HG∥AE，AD＝10，DE＝5，求CE的长．【答案】(1)ⅰ)见解析；ⅱ)SKIPIF1<0(2)9【解析】【分析】(1)i)根据翻折的性质和相似三角形的判定解答即可；ii)根据勾股定理和相似三角形的性质得出比例解答即可；(2)根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解得即可．(1)解：i)由翻折可得，△ADE≌△AFE，DF⊥AE于O，∴∠ADO+∠EAD＝90º，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠CDG+∠ADO＝90º，∴∠CDG＝∠EAD，∵∠ADE＝∠DCG＝90º，∴△ADE∽△DCG；ii)∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADE＝90º，∵△ADE≌△AFE，∴∠AFE=∠ADE＝90º，AF＝AD＝6，∴∠AFB=90º，∴在Rt△ABF中，BF＝SKIPIF1<0，设DE＝EF＝x，CE＝10﹣x，BC＝AD＝6，在Rt△BCE中，BE2＝BC2+CE2，即(8+x)2＝62+(10﹣x)2，解得：x＝2，由i)可知△ADE∽△DCG，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，解得：CG＝SKIPIF1<0；(2)解：由i)可知，△ADE∽△DCG，∴SKIPIF1<0=2，∠OAD＝∠ODE，∵△ADE≌△AFE，∴AD=AF，DE=FE，∴DF⊥AE，∴∠DOE＝∠FOE=90°，∵∠OAD＝∠ODE，∠ADE＝∠DOE＝90°，∴△ADE∽△DOE，∴SKIPIF1<0，∵HG∥AE，∴∠OEF＝∠GHF，∵∠OFE＝∠GFH，∴△HGF∽△EOF，∴SKIPIF1<0，∠HGF＝∠EOF=90°，∴∠BGH+∠CGD＝90°，∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，∴∠BHG+∠BGH＝90°，∴∠CGD＝∠BHG，∵∠B＝∠C＝90°，∴△BHG∽△CGD，∴SKIPIF1<0，∴△BHG∽△CGD∽△DEA∽△OED∽△GHF，设CE＝x，DC＝5+x，CG＝SKIPIF1<0，BG＝10﹣CG＝10﹣SKIPIF1<0，BH＝SKIPIF1<0BG＝SKIPIF1<0，HG＝SKIPIF1<0BH＝SKIPIF1<0，∵HG：GF＝1：2，∴GF＝SKIPIF1<0，在△ADE中，AD＝10，DE＝5，AE＝5SKIPIF1<0，DO＝SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴OE＝SKIPIF1<0，DO＝OF＝2SKIPIF1<0，在△DCG中，DC＝5+x，CG＝SKIPIF1<0，DG＝DF+FG＝4SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴DG＝SKIPIF1<0CG，即SKIPIF1<0，解得：x＝9，即CE＝9．【点睛】此题考查相似三角形的综合题，关键是根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答．14．(2021·山东济阳·九年级期中)(1)问题如图1，在四边形ABCD中，点P为AB上一点，当SKIPIF1<0时，求证：SKIPIF1<0．(2)探究若将90°角改为锐角或钝角(如图2)，其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由．(3)应用如图3，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以点A为直角顶点作等腰SKIPIF1<0．点D在BC上，点E在AC上，点F在BC上，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求CD的长．【答案】(1)见解析；(2)成立，理由见解析；(3)SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)由∠DPC=∠A=B=90°，可得∠ADP＝∠BPC，即可证到△ADPSKIPIF1<0△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；(2)由∠DPC＝∠A＝∠B＝α，可得∠ADP=∠BPC，即可证到△ADPSKIPIF1<0△BPC，然后运用相似三角形的性质即可解决问题；(3)先证△ABDSKIPIF1<0△DFE，求出DF=4，再证△EFCSKIPIF1<0△DEC，可求FC＝1，进而解答即可．【详解】(1)证明：如题图1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP＋∠APD=90°，∠BPC＋∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADPSKIPIF1<0△BPC，SKIPIF1<0，∴ADSKIPIF1<0BC=APSKIPIF1<0BP，(2)结论仍然成立，理由如下，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴ADSKIPIF1<0BC=APSKIPIF1<0BP，(3)SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等腰直角三角形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似；能够通过构造45°角将问题转化为一线三角是解题的关键．15．(2022·山东历下·九年级期末)如图1，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为斜边SKIPIF1<0上一点，过点SKIPIF1<0作射线SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)问题产生若SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0______；(2)问题延伸在(1)的情况下，将若SKIPIF1<0绕着点SKIPIF1<0旋转到图2的位置，SKIPIF1<0的值是否会发生改变？如果不变，请证明；如果改变，请说明理由；(3)问题解决如图3，连接SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相似，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)不改变，SKIPIF1<0，证明见解析(3)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【解析】【分析】(1)连接SKIPIF1<0，根据题意可得SKIPIF1<0，证明四边形SKIPIF1<0是矩形，可得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0的长，即可求得SKIPIF1<0；(2)作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根据(1)的结论即可解决问题；(3)作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0；①若SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0求得SKIPIF1<0，进而求得SKIPIF1<0，证明SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，代入数值求解即可；②若SKIPIF1<0，根据SKIPIF1<0，同理求得SKIPIF1<0，代入SKIPIF1<0求解即可．(1)如图，连接SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0中点，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0是矩形SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0(2)不改变，SKIPIF1<0；证明：作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0∴四边形PMCN是矩形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0由(1)得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0(3)作SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为矩形，∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0①若SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为矩形，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0②若SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为矩形，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，等角的余角相等，等腰三角形的性质，直角三角形的中线性质，旋转性质，锐角三角函数，相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．16．(2022·江苏广陵·九年级期末)已知四边形ABCD中，E，F分别是AB，AD边上的点，DE与CF交于点G．(1)观察猜想：如图①，如果四边形ABCD是正方形，当E、F分别是AB、AD的中点时，则DE与CF的数量关系为：，位置关系为：．(2)探究证明：如图②，若四边形ABCD是矩形，且DE⊥CF．求证：SKIPIF1<0．(3)拓展延伸：如图③，若四边形ABCD是平行四边形，试探究：当∠B与∠EGC满足什么关系时，使得SKIPIF1<0成立？并证明你的结论．【答案】(1)DE=CF，DE⊥CF(2)见解析(3)当∠B+∠EGC=180°时，SKIPIF1<0成立，证明见解析【解析】【分析】(1)先判断出AE=DF，进而得出△ADE≌△DCF(SAS)，即可得出结论；(2)根据矩形性质得出∠A=∠FDC=90°，求出∠CFD=∠AED，证出△AED∽△DFC即可得结论；(3)当∠B+∠EGC=180°时，DE•CD=CF•AD成立，证△DFG∽△DEA，得出SKIPIF1<0，证△CGD∽△CDF，得出SKIPIF1<0，即可得出答案．(1)解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠ADC=90°，AD=AB=CD，∵点E，F是AB，AD的中点，∴AE=SKIPIF1<0AB，DF=SKIPIF1<0AD，∴AE=DF，在△ADE和△DCF中，SKIPIF1<0，∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴DE=CF，∠AED=∠DFC，∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠ADE+∠DFC=90°，∴∠DGF=90°，∴DE⊥CF，故答案为：DE=CF，DE⊥CF；(2)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠FDC=90°，∵CF⊥DE，∴∠DGF=90°，∴∠ADE+∠CFD=90°，∠ADE+∠AED=90°，∴∠CFD=∠AED，∵∠A=∠CDF，∴△AED∽△DFC，∴SKIPIF1<0；(3)当∠B+∠EGC=180°时，SKIPIF1<0成立．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B=∠ADC，AD∥BC，∴∠B+∠A=180°，∵∠B+∠EGC=180°，∴∠A=∠EGC=∠FGD，∵∠FDG=∠EDA，∴△DFG∽△DEA，∴SKIPIF1<0，∵∠B=∠ADC，∠B+∠EGC=180°，∠EGC+∠DGC=180°，∴∠CGD=∠CDF，∵∠GCD=∠DCF，∴△CGD∽△CDF，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即当∠B+∠EGC=180°时，SKIPIF1<0成立．【点睛】本题属于相似形综合题，考查了矩形性质和判定，勾股定理，平行四边形的性质和判定，相似三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质和定理进行推理的能力．17．(2022·山东天桥·九年级期末)(1)如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则SKIPIF1<0＝________；β＝________；(2)如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出SKIPIF1<0的值及β的度数，并结合图2进行说明；(3)若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：①SKIPIF1<0＝________；②请直接写出α和β之间的关系式．【答案】(1)1，90°；(2)SKIPIF1<0，90°；(3)①SKIPIF1<0；②α+β=180°【解析】【分析】(1)根据旋转的过程中线段的长度不变，得到AF=AE，又∠BAE与∠DAF都与∠BAF互余，所以∠BAE=∠DAF，所以△FAD≌△EAB，因此BE与DF相等，延长DF交BE于G，根据全等三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EGF=90°，所以DF⊥BE；(2)等同(1)的方法，因为矩形的邻边不相等，但根据题意，可以得到对应边成比例，所以△FAD∽△EAB，所以DF=2BE，同理，根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EHF=90°，所以DF⊥BE；(3)与(2)的证明方法相同，但根据相似三角形的对应角相等和四边形的内角和等于360°求出∠EAF+∠EHF=180°．【详解】解：(1)如图1，延长DF分别交BE于点G，在正方形ABCD和等腰直角△AEF中，AD=AB，AF=AE，∠BAD=∠EAF=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD≌△EAB(SAS)，∴∠AFD=∠AEB，DF=BE，∵∠AFD+∠AFG=180°，∴∠AEG+∠AFG=180°，∵∠EAF=90°，∴∠EGF=180°-90°=90°，∴DF⊥BE，∴SKIPIF1<0=1，β=90°，故答案为：1，90°；(2)如图2，延长DF交EB于点H，∵AD=2AB，AF=2AE，∴SKIPIF1<0，∵∠BAD=∠EAF=90°，∴∠FAD=∠EAB，∴△FAD∽△EAB，∴SKIPIF1<0，∴DF=2BE，∵△FAD∽△EAB，∴∠AFD=∠AEB，∵∠AFD+∠AFH=180°，∴∠AEH+∠AFH=180°，∵∠EAF=90°，∴∠EHF=180°-90°=90°，∴DF⊥BE，∴SKIPIF1<0，β=90°；(