考点30 点、直线与圆的有关位置关系【有答案】

考点三十点、直线与圆的有关位置关系【命题趋势】在中考中，与圆有关的位置关系，主要考查点与圆的位置关系和直线与圆的位置关系。该内容主要是以选择题、填空题、综合解答题的形式来考查，分值为3～10分．主要考点为点与圆、直线与圆的位置关系，圆切线的性质和判定等。 【中考考查重点】一、点、直线与圆的有关位置关系二、切线性质的有关证明与计算三、切线判定的有关证明与计算考点：点与圆的有关位置关系（设⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d）位置关系图形定义性质及判定点在圆外点在圆的外部d>r⇔点P在圆点在圆上点在圆周上d=r⇔点P在圆点在圆内点在圆的内部d<r⇔点P在圆三点定圆的画法：1）连接线段AB,BC。2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC。于是以点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。定理：不在同一直线上的三点确定一个圆。1.（2021春•九龙坡区校级期末）在平面直角坐标系中，以点（3，﹣4）为圆心，2为半径的圆，与直线x＝1的位置关系为（）相交 B．相切 C．相离 D．不能确定【答案】B【解答】解：∵点（3，﹣4）到直线x＝1的距离为2，半径为2，则有2＝2，∴这个圆与直线x＝1相切．故选：B．2.（2020秋•钦州期末）在平面直角坐标系中，以点（﹣2，3）为圆心，半径为3的圆一定（）A．与x轴相切，与y轴相切 B．与x轴相切，与y轴相交 C．与x轴相交，与y轴相切 D．与x轴相交，与y轴相交【答案】B【解答】解：∵点（﹣2，3）到x轴的距离是3，等于半径，到y轴的距离是2，小于半径，∴圆与y轴相交，与x轴相切．故选：B．考点：直线与圆的位置关系设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d位置关系图形定义性质及判定相离直线与圆没有公共点d>r⇔直线l与⊙相切直线与圆有唯一公共点，直线叫做圆的切线，公共点叫做切点d=r⇔直线l与⊙相交直线与圆有两个公共点，直线叫做圆的割线d<r⇔直线l与⊙切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径。切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线长定义：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。三角形外接圆的概念：经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形。外接圆圆心和三角形位置关系：1）锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；2）直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；3）钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）。三角形内切圆的概念：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。【扩展】三角形内心、外心、重心、垂心、旁心3.（2021•嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（）相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．4.（2020秋•舞阳县期末）已知⊙O的直径为12cm，如果圆心O到一条直线的距离为7cm，那么这条直线与这个圆的位置关系是（）A．相离 B．相切 C．相交 D．相交或相切【答案】A【解答】解：∵⊙O的直径为12cm，∴⊙O的半径为6cm，∵圆心O到一条直线的距离为7cm＞6cm，∴直线和圆相离．故选：A．考点：切线性质5.（2014•天津）如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠B＝25°，则∠C的大小等于（）A．20° B．25° C．40° D．50°【答案】C【解答】解：如图，连接OA，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC＝90°，∵OA＝OB，∴∠B＝∠OAB＝25°，∴∠AOC＝50°，∴∠C＝40°．故选：C．6.（2015•泸州）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，若∠C＝65°，则∠P的度数为（）A．65° B．130° C．50° D．100°【答案】C【解答】解：∵PA、PB是⊙O的切线，∴OA⊥AP，OB⊥BP，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，又∵∠AOB＝2∠C＝130°，则∠P＝360°﹣（90°+90°+130°）＝50°．故选：C．7.（2013•乌鲁木齐）如图，半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，直径FG在AB上，若BG＝﹣1，则△ABC的周长为（）A．4+2 B．6 C．2+2 D．4【答案】A【解答】解：连接OD，OE，∵半圆O与等腰直角三角形两腰CA、CB分别切于D、E两点，∴∠C＝∠OEB＝∠OEC＝∠ODC＝90°，∴四边形ODCE是矩形，∵OD＝OE，∴四边形ODCE是正方形，∴CD＝CE＝OE，∵∠A＝∠B＝45°，∴∠EOB＝∠EBO＝45°，∴OE＝EB，∴△OEB是等腰直角三角形，设OE＝r，∴BE＝OE＝OG＝r，∴OB＝OG+BG＝﹣1+r，∵OB＝OE＝r，∴﹣1+r＝r，∴r＝1，∴AC＝BC＝2r＝2，AB＝2OB＝2×（1+﹣1）＝2．∴△ABC的周长为：AC+BC+AB＝4+2．故选：A．8.（2019•富顺县三模）如图，在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，⊙O的半径为1，点P是AB边上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ（点Q为切点），则线段PQ的最小值为（）﹣1 B．2 C．2 D．3【答案】C【解答】解：连接OP、OQ．∵PQ是⊙O的切线，∴OQ⊥PQ；根据勾股定理知PQ2＝OP2﹣OQ2，∴当PO⊥AB时，线段PQ最短，∵在Rt△AOB中，OA＝OB＝3，∴AB＝OA＝6，∴OP＝＝3，∴PQ＝＝2．故选：C．考点：切线性质的相关证明与计算9.（2011•芜湖）如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若DC+DA＝6，⊙O的直径为10，求AB的长度．【答案】（1）略（2）∴AB＝6．【解答】（1）证明：连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵AC平分∠PAE，∴∠DAC＝∠CAO，∴∠DAC＝∠OCA，∴PB∥OC，∵CD⊥PA，∴CD⊥OC，CO为⊙O半径，∴CD为⊙O的切线；（2）解：过O作OF⊥AB，垂足为F，∴∠OCD＝∠CDA＝∠OFD＝90°，∴四边形DCOF为矩形，∴OC＝FD，OF＝CD．∵DC+DA＝6，设AD＝x，则OF＝CD＝6﹣x，∵⊙O的直径为10，∴DF＝OC＝5，∴AF＝5﹣x，在Rt△AOF中，由勾股定理得AF2+OF2＝OA2．即（5﹣x）2+（6﹣x）2＝25，化简得x2﹣11x+18＝0，解得x1＝2，x2＝9．∵CD＝6﹣x大于0，故x＝9舍去，∴x＝2，从而AD＝2，AF＝5﹣2＝3，∵OF⊥AB，由垂径定理知，F为AB的中点，∴AB＝2AF＝6．1．（2020秋•越秀区校级期中）平面内有两点P，O，⊙O的半径为5，若PO＝4，则点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O外 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O内 D．无法判断【答案】C【解答】解：∵⊙O的半径为5，若PO＝4，∴4＜5，∴点P与⊙O的位置关系是点P在⊙O内，故选：C．2．（2019秋•义乌市期末）已知⊙O与点P在同一平面内，如果⊙O的半径为5，线段OP的长为4，则点P（）A．在⊙O上 B．在⊙O内 C．在⊙O外 D．在⊙O上或在⊙O内【答案】B【解答】解：∵⊙O的半径是5，线段OP的长为4，即点P到圆心的距离小于圆的半径，∴点P在⊙O内．故选：B．3．（2021•崇明区二模）已知同一平面内有⊙O和点A与点B，如果⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，那么直线AB与⊙O的位置关系为（）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【解答】解：∵⊙O的半径为3cm，线段OA＝5cm，线段OB＝3cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外．点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．4．（2021秋•定海区期末）如图，PA、PB是圆O的切线，切点分别为A、B，若OA＝2，∠P＝60°，则的长为（）A． B．π C． D．【答案】C【解答】解：连接AB，∵PA、PB是圆O的切线，∴OB⊥BP，OA⊥PA，∵∠P＝60°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣60°＝120°，∴的长＝＝，故选：C．5．（2021秋•澄海区期末）如图，AB是⊙O的直径，AP是⊙O的切线，PB交⊙O于点C，点D在⊙O上，若∠ADC＝40°，则∠P的度数是（）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】D【解答】解：如图，连接AC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∵∠ADC＝40°，∴∠AOC＝80°，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣80°）÷2＝50°，∵AP是⊙O的切线，∴∠BAP＝90°，∴∠CAP＝∠BAP﹣∠BAC＝90°﹣50°＝40°，∴∠P＝∠ACB﹣∠CAP＝90°﹣40°＝50°，故选：D．6．（2021秋•福州期末）如图，从⊙O外一点P引圆的两条切线PA，PB，切点分别是A，B，若∠APB＝60°，PA＝5，则弦AB的长是（）A． B． C．5 D．5【答案】C【解答】解：∵PA，PB为⊙O的两条切线，∴PA＝PB，∵∠APB＝60°，∴△PAB为等边三角形，∴AB＝PA＝5，故选：C．7．如图，平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，5），⊙A与x轴相切．点P在y轴正半轴上，PB与⊙A相切于点B．若∠APB＝30°，则点P的坐标为（）A．（0，9） B．（0，10） C．（0，11） D．（0，12）【答案】C【解答】解：如图，过点A分别作AC⊥x轴于点C、AD⊥y轴于点D，连接AB，∵AD⊥y轴，AC⊥x轴，∴四边形ADOC为矩形．∴AC＝OD，OC＝AD．∵⊙A与x轴相切，∴AC为⊙A的半径．∵点A坐标为（8，5），∴AC＝OD＝5，OC＝AD＝8，∵PB是切线，∴AB⊥PB．∵∠APB＝30°，∴PA＝2AB＝10．在Rt△PAD中，根据勾股定理，得PD＝＝＝6，∴OP＝PD+DO＝11．∵点P在y轴的正半轴上，∴点P坐标为（0，11）．故选：C．8．（2021秋•吉林期末）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点P，PD⊥AC于点D．（1）求证：PD是⊙O的切线；（2）若∠CAB＝120°，AB＝6，求BC的值．【答案】（1）略(2)6．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵OP＝OB，∴∠B＝∠OPB，∴∠OPB＝∠C，∴OP∥AC，∵PD⊥AC，∴OP⊥PD，∴PD是⊙O的切线；（2）解：连接AP，如图，∵AB为直径，∴∠APB＝90°，∴BP＝CP，∵∠CAB＝120°，∴∠BAP＝60°，在Rt△BAP中，AB＝6，∠B＝30°，∴AP＝AB＝3，∴BP＝AP＝3，∴BC＝2BP＝6．1．（2021•嘉兴）已知平面内有⊙O和点A，B，若⊙O半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，则直线AB与⊙O的位置关系为（）A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切【答案】D【解答】解：⊙O的半径为2cm，线段OA＝3cm，OB＝2cm，即点A到圆心O的距离大于圆的半径，点B到圆心O的距离等于圆的半径，∴点A在⊙O外，点B在⊙O上，∴直线AB与⊙O的位置关系为相交或相切，故选：D．2．（2021•上海）如图，长方形ABCD中，AB＝4，AD＝3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（）A．点C在圆A外，点D在圆A内 B．点C在圆A外，点D在圆A外 C．点C在圆A上，点D在圆A内 D．点C在圆A内，点D在圆A外【答案】C【解答】解：两圆内切，圆心距等于半径之差的绝对值，设圆A的半径为R，则：AB＝R﹣1，∵AB＝4，圆B半径为1，∴R＝5，即圆A的半径等于5，∵AB＝4，BC＝AD＝3，由勾股定理可知AC＝5，∴AC＝5＝R，AD＝3＜R，∴点C在圆上，点D在圆内，故选：C．3．（2021•青海）点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4cm，最大距离是9cm，则⊙O的半径是．【答案】6.5cm或2.5cm【解答】解：分为两种情况：①当点在圆内时，如图1，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，∴直径AB＝4+9＝13（cm），∴半径r＝6.5cm；②当点在圆外时，如图2，∵点到圆上的最小距离PB＝4cm，最大距离PA＝9cm，∴直径AB＝9﹣4＝5（cm），∴半径r＝2.5cm．综上所述，圆O的半径为6.5cm或2.5cm．故答案为：6.5cm或2.5cm．4．（2021•临沂）如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B，∠P＝70°，C为⊙O上一点，则∠ACB的度数为（）A．110° B．120° C．125° D．130°【答案】C【解答】解：如图所示，连接OA，OB，在优弧AB上取点D，连接AD，BD，∵AP、BP是⊙O的切线，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝360°﹣90°﹣90°﹣70°＝110°，∴∠ADB＝AOB＝55°，又∵圆内接四边形的对角互补，∴∠ACB＝180°﹣∠ADB＝180°﹣55°＝125°．故选：C．5．（2021•湘潭）如图，BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，直线l切⊙O于点C，延长OD交l于点F，若AE＝2，∠ABC＝22.5°，则CF的长度为（）A．2 B．2 C．2 D．4【答案】B【解答】解：∵BC为⊙O的直径，弦AD⊥BC于点E，∴＝，AE＝DE＝2，∴∠COD＝2∠ABC＝45°，∴△OED是等腰直角三角形，∴OE＝ED＝2，∴OD＝＝2，∵直线l切⊙O于点C，∴BC⊥CF，∴△OCF是等腰直角三角形，∴CF＝OC，∵OC＝OD＝2，∴CF＝2，故选：B．6．（2021•杭州）如图，已知⊙O的半径为1，点P是⊙O外一点，且OP＝2．若PT是⊙O的切线，T为切点，连结OT，则PT＝．【答案】【解答】解：∵PT是⊙O的切线，T为切点，∴OT⊥PT，在Rt△OPT中，OT＝1，OP＝2，∴PT＝＝＝，故：PT＝．7．（2021•南京）如图，FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，则∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝°．【答案】180【解答】解：如图，设圆心为O，连接OA，OB，OC，OD和OE，∵FA，GB，HC，ID，JE是五边形ABCDE的外接圆的切线，∴∠OAF＝∠OBG＝∠OCH＝∠ODI＝∠OEJ＝90°，即（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）＝90°×5＝450°，∵OA＝OB＝OC＝OD＝OE，∴∠OAB＝∠OBA，∠OBC＝∠OCB，∠OCD＝∠ODC，∠ODE＝∠OED，OEA＝∠OAE，∴∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA＝×五边形ABCDE内角和＝＝270°，∴∠BAF+∠CBG+∠DCH+∠EDI+∠AEJ＝（∠BAF+∠OAB）+（∠CBG+∠OBC）+（∠DCH+∠OCD）+（∠EDI+∠ODE）+（∠AEJ+∠OEA）﹣（∠OAB+∠OBC+∠OCD+∠ODE+∠OEA）＝450°﹣270°＝180°，故答案为：180．8．（2021•营口）如图，AB是⊙O直径，点C，D为⊙O上的两点，且＝，连接AC，BD交于点E，⊙O的切线AF与BD延长线相交于点F，A为切点．（1）求证：AF＝AE；（2）若AB＝8，BC＝2，求AF的长．【答案】（1）略（2）AF＝【解答】（1）证明：连接AD，∵AB是⊙O直径，∴∠ADB＝∠ADF＝90°，∴∠F+∠DAF＝90°，∵AF是⊙O的切线，∴∠FAB＝90°，∴∠F+∠ABF＝90°，∴∠DAF＝∠ABF，∵＝，∴∠ABF＝∠CAD，∴∠DAF＝∠CAD，∴∠F＝∠AEF，∴AF＝AE；（2）解：∵AB是⊙O直径，∴∠C＝90°，∵AB＝8，BC＝2，∴AC＝＝＝2，∵∠C＝∠FAB＝90°，∠CEB＝∠AEF＝∠F，∴△BCE∽△BAF，∴＝，即＝，∴CE＝AF，∵AF＝AE，∴CE＝AE，∵AE+CE＝AC＝2，∴AE＝，∴AF＝AE＝．9．（2021•铜仁市）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作∠BEF＝∠CAE，交AB的延长线于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BF＝10，EF＝20，求⊙O的半径和AD的长．【答案】（1）略（2）⊙O的半径为15（3）AD＝9【解答】（1）证明：连接OE，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，即∠AEO+∠OEB＝90°，∵AE平分∠CAB，∴∠CAE＝∠BAE，∵∠BEF＝∠CAE，∴∠BEF＝∠BAE，∵OA＝OE，∴∠BAE＝∠AEO，∴∠BEF＝∠AEO，∴∠BEF+∠OEB＝90°，∴∠OEF＝90°，∴OE⊥EF，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：如图，设⊙O的半径为x，则OE＝OB＝x，∴OF＝x+10，在Rt△OEF中，由勾股定理得：OE2+EF2＝OF2，∴x2+202＝（x+10）2，解得：x＝15，∴⊙O的半径为15；∵∠BEF＝∠BAE，∠F＝∠F，∴△EBF∽△AEF，∴＝＝，设BE＝a，则AE＝2a，由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即a2+（2a）2＝302，解得：a＝6，∴AE＝2a＝12，∵∠CAE＝∠BAE，∴，∴OE⊥BC，∵OE⊥EF，∴BC∥EF，∴，即，∴AD＝9．1．（2021•花都区一模）平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点，半径为5，则点P（0，4）与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O内 B．点P在⊙O上 C．点P在⊙O外 D．无法确定【答案】A【解答】解：由题意可作图，如下图所示：∵d＝4＜5，∴点P在⊙O内．故A正确，B、C、D错误，故选：A．2．（2021•黄埔区校级二模）已知点P在半径为5cm的圆内，则点P到圆心的距离可以是（）A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm【答案】A【解答】解：∵点P在半径为5cm的圆内，∴点P到圆心的距离小于5cm，所以只有选项A符合，选项B、C、D都不符合；故选：A．3．（2021•南宁一模）已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为7，那么点P与⊙O的位置关系是（）A．点P在⊙O上 B．点P在⊙O内 C．点P在⊙O外 D．无法确定【答案】C【解答】解：∵OP＝7＞5，∴点P与⊙O的位置关系是点在圆外．故选：C．4．（2021•香洲区模拟）如图，格点A、B在圆心也在格点上的圆上，则tanC的值为（）A． B．1 C．2 D．【答案】B【解答】解：如图所示，BD为圆的直径，连接AD、AB，则∠ACB＝∠ADB，∠DAB＝90°，∵AD＝AB＝＝3，∴∠ACB＝∠ADB＝45°，∴tanC的值为1，故选：B．5．（2021•杨浦区三模）在平面直角坐标系中，以点A（2，1）为圆心，1为半径的圆与x轴的位置关