考点26 矩形【有答案】

考点二十六矩形【命题趋势】在中考中，矩形主要在选择题，填空题，解答题考查为主，并结合相似，锐角三角函数结合考查。 【中考考查重点】矩形的性质及判定二、矩形与折叠综合考点：矩形一、矩形的概念与性质概念：有一个角是直角的平行四边形是矩形。性质：（1）矩形的对边平行且相等；（2）矩形的四个角都是直角；（3）矩形的对角线相等。二、矩形的判定有一个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形；有三个直角的四边形是矩形。1.（2019春•金坛区期中）下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（）A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．两组对角分别相等 D．两组对边分别平行且相等【答案】A【解答】解：矩形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分且相等；平行四边形的性质：对边平行且相等，对角线互相平分；故选项B、C、D不符合题意，A符合题意；故选：A．2.（2020•菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（）A．互相平分 B．相等 C．互相垂直 D．互相垂直平分【答案】C【解答】解：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG，∴四边形EFGH是平行四边形，∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：C．3.（2019春•德阳期末）如图，将两块完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片AEFG按图示方式放置（点A、D、E在同一直线上），连接AC、AF、CF，已知AD＝3，DC＝4，则CF的长是（）A．5 B．7 C．5 D．10【答案】C【解答】解：∵两块完全相同的矩形纸片ABCD和矩形纸片AEFG，∴AG＝AD＝BC＝3，FG＝AB＝CD＝4，∠FGA＝∠ABC＝90°，AC＝＝＝5，在△FGA和△ABC中，，∴△FGA≌△ABC（SAS），∴AF＝AC，∠GFA＝∠BAC，∠GAF＝∠BCA，∵∠GFA+∠GAF＝90°，∴∠GAF+∠BAC＝90°，∴∠FAC＝90°，∴△CAF是等腰直角三角形，∴CF＝AC＝5，故选：C．4.（2019•朝阳）如图，在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE＝5，且EO＝2DE，则AD的长为（）A．5 B．6 C．10 D．6【答案】A【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，BD＝AC，OD＝BD，OC＝AC，∴OC＝OD，∵EO＝2DE，∴设DE＝x，OE＝2x，∴OD＝OC＝3x，AC＝6x，∵CE⊥BD，∴∠DEC＝∠OEC＝90°，在Rt△OCE中，∵OE2+CE2＝OC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，∵x＞0，∴DE＝，AC＝6，∴CD＝＝＝，∴AD＝＝＝5，故选：A．5.（2020春•常州期末）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是对角线，下列条件中能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．∠BAC＝∠ABD B．∠BAC＝∠DAC C．∠BAC＝∠DCA D．∠BAC＝∠ADB【答案】A【解答】解：A、∵∠BAC＝∠ABD，∴OA＝OB，∴AC＝BD，能判定平行四边形ABCD为矩形，正确；B、∵∠BAC＝∠DAC，BO＝OD，∴AB＝AD，能判定平行四边形ABCD为菱形，错误；C、∵∠BAC＝∠DCA，∴AB∥CD，不能判定平行四边形ABCD为矩形，错误；D、∵∠BAC＝∠ADB，不能判定平行四边形ABCD为矩形，错误；故选：A．6.（2020春•和平区期末）下列命题正确的是（）A．有一个角是直角的四边形是矩形 B．有三个角是直角的四边形是矩形 C．对角线相等的四边形是矩形 D．对角线互相平分的四边形是矩形【答案】B【解答】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；B、有三个角是直角的四边形是矩形，能判定是矩形；C、对角线相等的平行四边形是矩形，故此选项不能判定是矩形；D、两条对角线互相平分四边形是平行四边形，故此选项不能判定是矩形．故选：B．7.（2019春•海淀区校级期中）如图，AC是▱ABCD的对角线，延长BA至点E，使AE＝AB，连接DE（1）求证：四边形ACDE是平行四边形；（2）连接EC交AD于点O，若∠EOD＝2∠B，求证：四边形ACDE是矩形．【答案】（1）略（2）略【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AE＝AB，∴AE＝CD，且AB∥CD，∴四边形ACDE是平行四边形；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠ADC，∵∠EOD＝2∠B∴∠EOD＝2∠ADC，且∠EOD＝∠ADC+∠OCD，∴∠ADC＝∠OCD，∴OC＝OD，∵四边形ACDE是平行四边形；∴AO＝DO，EO＝CO，且OC＝OD，∴AD＝CE，∴四边形ACDE是矩形．8.（2019春•郁南县期末）如图，AD是△ABC的中线，AE∥BC，BE交AD于点F，且AF＝DF．（1）求证：△AFE≌△DFB；（2）求证：四边形ADCE是平行四边形；（3）当AB、AC之间满足什么条件时，四边形ADCE是矩形．【答案】（1）略（2）略（3）AB＝AC【解答】证明：（1）∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠DBF，且∠AFE＝∠DFB，AF＝DF∴△AFE≌△DFB（AAS）（2）∵△AFE≌△DFB，∴AE＝BD，∵AD是△ABC的中线，∴BD＝CD∴AE＝CD∵AE∥BC∴四边形ADCE是平行四边形；（3）当AB＝AC时，四边形ADCE是矩形；∵AB＝AC，AD是△ABC的中线，∴AD⊥BC，∴∠ADC＝90°∵四边形ADCE是平行四边形∴四边形ADCE是矩形∴当AB＝AC时，四边形ADCE是矩形．1．（2019春•双台子区期末）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，∠AOD＝120°，则对角线AC等于（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】B【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BO＝CO，∠ABC＝90°．又∠BOC＝∠AOD＝120°，∴∠ACB＝30°．在Rt△ACB中，AC＝2AB＝2×2＝4．故选：B．2．（2021春•黄州区期末）已知：如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC，AE＝CE，那么∠BDC等于（）A．60° B．45° C．30° D．22.5°【答案】C【解答】解：设AC与BD的交点为O，∵四边形ABCD是矩形∴AO＝BO＝CO＝DO，∵AE＝CE，∴AC＝4AE，∴AO＝BO＝CO＝DO＝2AE，∴EA＝EO∴DO＝2AE＝2EO∴∠EDO＝30°，∴∠EOD＝60°∵OD＝OC∴∠OCD＝∠BDC＝30°故选：C．3．（2021秋•铁西区期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD＝，则四边形CDFE的面积是（）A． B． C． D．54【答案】C【解答】解：过点F作直线MN，使MN⊥AD，∵四边形ABCD是矩形，∴∠AMF＝∠ENP＝90°，AD＝BC＝6，∵点F是AE的中点，∴AF＝EF，∵∠AFM＝∠EFN，∴△AFM≌△EFN（AAS），∴MF＝FN＝AB＝4.5，∵点E是BC的中点，∴BE＝BC＝3，∴四边形CDFE的面积＝S矩形ABCD﹣S△ABE﹣S△AFD＝9×6﹣×9×3﹣×4.5×6＝27，故选：C．4．（2019•临沂）如图，在平行四边形ABCD中，M、N是BD上两点，BM＝DN，连接AM、MC、CN、NA，添加一个条件，使四边形AMCN是矩形，这个条件是（）A．OM＝AC B．MB＝MO C．BD⊥AC D．∠AMB＝∠CND【答案】A【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD∵对角线BD上的两点M、N满足BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵OM＝AC，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．故选：A．5．（2020秋•福山区期末）如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】A【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图：则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝，∴S阴＝+＝3，故选：A．6．（2021秋•梅里斯区期末）如图，长方形ABCD中，AB＝2cm，AD＝1cm，在直线DA上，将长方形ABCD向右无滑动的滚动下去，（如①为第1次、②为第2次、③为第3次…）则第2022此滚动后得到的长方形最右侧边与CD边的距离为cm．【答案】3034【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝2（cm），BC＝AD＝1（cm），第1次滚动后得到的长方形最右侧边与CD边的距离＝1+2＝3（cm），第2次滚动后得到的长方形最右侧边与CD边的距离＝1+2+1＝4（cm），第3次滚动后得到的长方形最右侧边与CD边的距离＝1+2+1+2＝6（cm），第4次滚动后得到的长方形最右侧边与CD边的距离＝1+2+1+2+1＝7（cm），•••第2022次滚动后得到的长方形最右侧边与CD边的距离＝1+3×＝3034（cm），故答案为：3034．7．（2019秋•富平县期末）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．【答案】（1）略（2）OE＝2．【解答】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．8．（2021秋•凤翔县期末）如图，菱形ABCD的对角线AC和BD交于点O，分别过点C、D作CE∥BD，DE∥AC，CE和DE交于点E．（1）求证：四边形ODEC是矩形；（2）当∠ADB＝60°，AD＝2时，求EA的长．9．（2019春•鱼台县期末）如图，在△ABC中，O是AC上的一个动点（不与点A、C重合），过O点作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．（1）试说明：OE＝OF；（2）当O点运动到何处时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论．【答案】（1）略（2）O运动到AC中点【解答】（1）证明：∵MN∥BC，∴∠OEC＝∠BCE，∠OFC＝∠FCD，∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，∴∠BCE＝∠ACE，∠OCF＝∠FCD，∴∠ACE＝∠OEC，∠OCF＝∠OFC，∴OE＝OC，OC＝OF，∴OE＝OF．（2）解：当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形，证明如下：∵AO＝CO，OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵∠ECA+∠ACF＝（∠ACB+∠ACD）＝∠BCD，∴∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．1．（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．10【答案】C【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，∴AC＝BD，且OA＝OB＝OC＝OD，∴S△ADO＝S△BCO＝S△CDO＝S△ABO＝2，∴矩形ABCD的面积为4S△ABO＝8，故选：C．2．（2021•遂宁）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝3，点E为BC上一点，把△CDE沿DE翻折，点C恰好落在AB边上的F处，则CE的长是（）A．1 B． C． D．【答案】D【解答】解：设CE＝x，则BE＝3﹣x．由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝5．在Rt△DAF中，AD＝3，DF＝5．∴AF＝4．∴BF＝AB﹣AF＝1．在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2．即（3﹣x）2+12＝x2．解得x＝．故选：D．3．（2021•黑龙江）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在不添加任何辅助线的情况下，请你添加一个条件，使平行四边形ABCD是矩形．【答案】∠ABC＝90°（答案不唯一）【解答】解：添加一个条件为：∠ABC＝90°，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠ABC＝90°（答案不唯一）．4．（2021•贵港）如图，在矩形ABCD中，BD是对角线，AE⊥BD，垂足为E，连接CE，若tan∠ADB＝，则tan∠DEC的值是．【答案】【解答】解：如图，过点C作CF⊥BD于点F，在△ABE与△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS），∴AE＝CF，BE＝FD，∵AE⊥BD，tan∠ADB＝＝，设AB＝a，则AD＝2a，∴BD＝a，∵S△ABD＝BD•AE＝AB•AD，∴AE＝CF＝a，∴BE＝FD＝a，∴EF＝BD﹣2BE＝a﹣a＝a，∴tan∠DEC＝＝，故答案为：．5．（2021•十堰）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为．【答案】20【解答】解：∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，∴OM＝CD＝AB＝2.5，∵AB＝5，AD＝12，∴AC＝＝13，∵O是矩形ABCD的对角线AC的中点，∴BO＝AC＝6.5，∴四边形ABOM的周长为AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20，故答案为：20．6．（2021•内江）如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，对角线BD的垂直平分线EF交AD于点E、交BC于点F，则线段EF的长为．【答案】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，又AB＝6，AD＝BC＝8，∴BD＝＝10，∵EF是BD的垂直平分线，∴OB＝OD＝5，∠BOF＝90°，又∠C＝90°，∴△BOF∽△BCD，∴＝，∴＝，解得，OF＝，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A＝90°，∴∠EDO＝∠FBO，∵EF是BD的垂直平分线，∴BO＝DO，EF⊥BD，在△DEO和△BFO中，，∴△DEO≌△BFO（ASA），∴OE＝OF，∴EF＝2OF＝．故答案为：．7．（2021•枣庄）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DF＝AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是．（填序号）【答案】①③④【解答】解：①∵四边形ABCD是矩形，∴EB＝ED，∵BO＝DO，∴OE⊥BD故①正确；②∵∠BOD＝45°，BO＝DO，∴∠ABD＝（180°﹣45°）＝67.5°，∴∠ADB＝90°﹣27.5°＝22.5°，故②错误；③∵四边形ABCD是矩形，∴∠OAD＝∠BAD＝90°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∵OB＝OD，BE＝DE，∴OE⊥BD，∴∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠BOE＝∠BDA，∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°，∴∠ADO＝45°，∴AO＝AD，∴△AOF≌△ABD（ASA），∴OF＝BD，∴AF＝AB，连接BF，如图1，∴BF＝AF，∵BE＝DE，OE⊥BD，∴DF＝BF，∴DF＝AF，故③正确；④根据题意作出图形，如图2，∵G是OF的中点，∠OAF＝90°，∴AG＝OG，∴∠AOG＝∠OAG，∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD，∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°，∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°，∵四边形ABCD是矩形，∴EA＝ED，∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°，∴∠EAG＝90°，∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°，∴∠AEG＝45°，∴AE＝AG，∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确；∴判断正确的是①③④．故答案为：①③④．8．（2021•贵阳）如图，在矩形ABCD中，点M在DC上，AM＝AB，且BN⊥AM，垂足为N．（1）求证：△ABN≌△MAD；（2）若AD＝2，AN＝4，求四边形BCMN的面积．【答案】（1）略（2）4﹣8．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，∠D＝90°，DC∥AB，∴∠BAN＝∠AMD，∵BN⊥AM，∴∠BNA＝90°，在△ABN和△MAD中，，∴△ABN≌△MAD（AAS）；（2）解：∵△ABN≌△MAD，∴BN＝AD，∵AD＝2，∴BN＝2，又∵AN＝4，在Rt△ABN中，AB＝＝＝2，∴S矩形ABCD＝2×2＝4，S△ABN＝S△MAD＝×2×4＝4，∴S四边形BCMN＝S矩形ABCD﹣S△ABN﹣S△MAD＝4﹣8．9．（2021•金华）已知：如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AB＝2．（1）求矩形对角线的长；（2）过O作OE⊥AD于点E，连结BE．记∠ABE＝α，求tanα的值．【答案】（1）4（2）tanα＝＝【解答】解：（1）∵∠BOC＝120°，∴∠AOB＝60°，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AC＝BD，AO＝OC，BO＝DO，∴AO＝BO，∴△AOB是等边三角形，∴AB＝AO＝BO，∵AB＝2，∴BO＝2，∴BD＝2BO＝4，∴矩形对角线的长为4；（2）由勾股定理得：AD＝＝＝2，∵OA＝OD，OE⊥AD于点E，∴AE＝DE＝AD＝，∴tanα＝＝．1．（2021•田林县模拟）矩形纸片在平行投影下的正投影不可能是（）A．矩形 B．平行四边形 C．线段 D．点【答案】D【解答】解：一张矩形纸片在太阳光线的照射下，形成影子不可能是点，故选：D．2．（2021•临沂模拟）如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是（﹣2，1），点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标为（）A．（）、（﹣） B．（）、（﹣） C．（）、（﹣） D．（）、（﹣）【答案】B【解答】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D，过点B作BE⊥x轴于点E，过点C作CF∥y轴，过点A作AF∥x轴，交点为F，延长CA交x轴于点H，∵四边形AOBC是矩形，∴AC∥OB，AC＝OB，∴∠CAF＝∠BOE＝∠CHO，在△ACF和△OBE中，，∴△CAF≌△BOE（AAS），∴BE＝CF＝4﹣1＝3，∵∠AOD+∠BOE＝∠BOE+∠OBE＝90°，∴∠AOD＝∠OBE，∵∠ADO＝∠OEB＝90°，∴△AOD∽△OBE，∴，即＝，∴OE＝，即点B（，3），∴AF＝OE＝，∴点C的横坐标为：﹣（2﹣）＝﹣，∴点C（﹣，4）．故选：B．3．（2021•任城区校级一模）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB＝3，BC＝4，过点O作OM⊥AC，交BC于点M，过点M作MN⊥BD，垂足为N，则OM+MN的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵AB＝3，BC＝4，∴矩形ABCD的面积为12，AC＝＝＝5，∴DO＝BO＝AC＝，∵对角线AC，BD交于点O，∴△BOC的面积为3，∵MN⊥BD，OM⊥AC，∴S△BOC＝S△BOM+S△MOC，即3＝BO×MN+CO×OM，∴3＝××MN+×OM，∴5（MN+OM）＝12，∴OM+MN＝，故选：C．4．（2021•涪城区校级模拟）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC，垂足为点F，连接DF，有下面结论：①CF＝2AF；②DF＝EF；③∠DFC＝∠AEB；④tan∠CAD＝2．其中正确的结论有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解答】解：①∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝，∵AE＝AD＝BC，∴＝，∴CF＝2AF，故①正确；②如图，延长BE、CD交于点M，设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，由△BAE∽△ADC，有＝，即b＝a，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，CD＝AB＝a，∴＝＝，∴MC＝2MD，∴MD+CD＝2MD，∴CD＝MD＝a，∴MC＝2CD＝2a，∵∠CFM＝90°，∴DF＝MC＝a，在Rt△ABE中，BE＝＝＝a，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△EAF∽△EBA，∴＝，即＝，∴EF＝a，∴＝＝，∴DF＝EF，故②正确；③如图，由②可得：DF＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，又∵△BAE∽△ADC，∴∠AEB＝∠DCF，∴∠DFC＝∠AEB，故③正确；④如图，设AE＝a，AB＝b，则AD＝2a，由②知，b＝a，∴tan∠CAD＝＝＝＝，故④错误；故选：C．5．（2021•嘉兴二模）如图，矩形纸片ABCD中，AD＝6，E是CD上一点，连结AE，△ADE沿直线AE翻折后点D落到点F，过点F作FG⊥AD，垂足为G．若AD＝3GD，则DE的值为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：过点E作EH⊥FG，交FG于点H，如图，由题意：△AEF≌△AED，则AF＝AD＝6，DE＝EF．∵AD＝6，AD＝3GD，∴GD＝2．∴AG＝AD﹣DG＝6﹣2＝4．∵FG⊥AD，∴FG＝．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，∵FG⊥AD，EH⊥FG，∴四边形GHED为矩形．∴GH＝DE，HE＝GD＝2．设DE＝x，则GH＝EF＝x，HF＝2﹣x，在Rt△HEF中，∵HF2+HE2＝EF2，∴．解得：x＝．∴DE＝．故选：C．6．（2021•南岗区校级二模）如图，矩形ABCD，点E是AD边上的一点，将矩形沿直线BE翻折，点A落在DC边上的点F处，若AB＝10，AD＝8，则线段AE的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解答】解：∵△EFB是由△EAB沿直线BE翻折得到，∴△EFB≌△EAB，则AE＝EF，BF＝AB＝10．∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝8，CD＝AB＝10，∠C＝∠D＝90°．在Rt△BCF中，CF＝＝6，∴DF＝DC﹣CF＝10﹣6＝4．设AE＝x，则EF＝AE＝x，DE＝8﹣x，在Rt△DEF中，∵DE2+DF2＝EF2，∴（8﹣x）2+42＝x2．解得：x＝5．则AE＝5．故选：C．7．（2021•江北区模拟）如图，矩形ABCD（AD＞AB），分别以AD、BC为边向内作等边三角形（图1）；分别以AB、CD为边向内作等边三角形（图2），两个等边三角形的重叠部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．若＝8，则的值为（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：设AD＝BC＝a，AB＝CD＝b，如图1，由题意：∠ADN＝∠BCH＝60°，∴∠NDC＝∠HCD＝30°．∴FD＝FC．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠FNC＝∠ADN＝60°．∴△FNC为等边三角形．∴FN＝FC，∴FN＝FD．∴．在Rt△DNC中，∵tan∠NDC＝，∴NC＝．∴＝×＝．同理：S△DHF＝S△AGE＝S△ABE＝S△BEM＝．∴S1＝S矩形ABCD﹣S△NFC﹣S△DFC﹣S△DHF﹣S△MBE﹣S△ABE﹣S△AGE＝ab﹣；如图2，过点H作HM⊥AD于M，过点G作GN⊥AB于点N，由题意：∠HEF＝∠HGF＝∠GAB＝∠EDC＝60°，GA＝AB＝CD＝ED＝EC＝GB．∴∠HAD＝∠HDA＝30°，∴HA＝HD．∵HM⊥AD，∴AM＝AD＝a．∵tan∠MAH＝，∴MH＝AM×tan30°＝，∴AD×MH＝．同理：．∵△GAB为等边三角形，GN⊥AB，∴AN＝AB＝b，∵AG＝AB＝b，∴GN＝．∴．同理：．∴S2＝S△ABG+S△CDE+S△ADH+S△BFC﹣S矩形ABCD＝．∵＝8，∴．∴．解得：a＝或a＝．由题意可知：a＜b，∴a＝．∴．故选：B．8．（2021•北碚区校级模拟）如图，在矩形AB