第13讲 轴对称与旋转（压轴题组）【有答案】-【2022年】中考数学大复习（知识点·易错点·题型训练·压轴题组）

第13讲轴对称与旋转（压轴题组）1．综合与实践问题情境：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图①，在平行四边形ABCD中，BE⊥AD，垂足为E，F为CD的中点，连接EF，BF，试猜想EF与BF的数量关系，并加以证明．独立思考：（1）请解答老师提出的问题；实践探究：（2）希望小组受此问题的启发，将平行四边形ABCD沿着BF（F为CD的中点）所在直线折叠，如图②，点C的对应点为C′，连接DC′并延长交AB于点G，请判断AG与BG的数量关系，并加以证明．问题解决：（3）智慧小组突发奇想，将▱ABCD沿过点B的直线折叠，如图③，点A的对应点为A′，使A′B⊥CD于点H，折痕交AD于点M，连接A′M，交CD于点N．该小组提出一个问题：若此平行四边形ABCD的面积为20，边长AB＝5，BC＝2，求图中阴影部分（四边形BHNM）的面积．请你思考此问题，直接写出结果．【答案】（1）EF=BF，理由见解析；（2）AG=BG，理由见解析；（3）．【详解】解：（1）结论：EF=BF，理由如下：如图，过点F作FH∥AD交BE于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∵FH∥AD，∴DE∥FH∥CB，∵F为CD的中点，即DF=CF，∴∴EH=HB，∵BE⊥AD，FH∥AD，∴FH⊥EB，∴EF=BF；（2）结论：AG=BG，理由如下：连接，

由折叠知识得：，，∵DF=FC，∴，∴，∴，∴∴，∴DG∥BF，∵DF∥BG，∴四边形DFBG是平行四边形，∴DF=BG，∵，∴，∴AG=GB；（3）如图，过点D作DJ⊥AB于点J，过点M作MT⊥AB于点T，

∵S平行四边形ABCD=AB×DJ，∴DJ=，∵BC＝2，∴，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∵，∴，∵DJ⊥AB，∴∠DJB=∠JBH=∠DHB=90°，∴四边形DJBH是矩形，∴BH=DJ=4，∴，∵MT⊥AB，DJ⊥AB，∴MT∥DJ，∴△ATM∽△ADJ，∴，∴，设AT=x，则MT=2x，根据折叠得：，∴MT=TB=2x，∴3x=5，解得：，∴，∵，∴△ADJ∽△A＇NH，∴，∴，∴NH=2，∴，∴．2．（2021·山东中区·九年级期末）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y1＝（x﹣1）2﹣2的“同轴对称抛物线”为y2＝﹣（x﹣1）2+2．（1）请写出抛物线y1＝（x﹣1）2﹣2的顶点坐标；及其“同轴对称抛物线”y2＝﹣（x﹣1）2+2的顶点坐标；（2）求抛物线y＝﹣2x2+4x+3的“同轴对称抛物线”的解析式．（3）如图，在平面直角坐标系中，点B是抛物线L：y＝ax2﹣4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线L的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线对称轴对称的点、，连接BC、、、．①当四边形为正方形时，求a的值．②当抛物线L与其“同轴对称抛物线”围成的封闭区域内（不包括边界）共有11个横、纵坐标均为整数的点时，直接写出a的取值范围．【答案】（1）(1，﹣2)，(1，2)；（2）y＝2（x﹣1）2﹣5；（3）①a＝；②≤a≤1或﹣≤a＜﹣【详解】解：（1）由y1＝（x﹣1）2﹣2知顶点坐标为（1，﹣2），

由y2＝﹣（x﹣1）2+2知顶点坐标为（1，2），故答案为：（1，﹣2），（1，2）．（2）∵y＝﹣2x2+4x+3y＝﹣2（x﹣1）2+5，∴“同轴对称抛物线”的解析式为：y＝2（x﹣1）2﹣5．（3）①当x＝1时，y＝1﹣3a，∴B（1，1﹣3a），∴C（1，3a﹣1），∴BC＝|1﹣3a﹣（3a﹣1）|＝|2﹣6a|，∵抛物线L的对称轴为直线x＝＝2，∴点B'（3，1﹣3a），∴BB'＝3﹣1＝2，∵四边形BB'C'C是正方形，∴BC＝BB'，即|2﹣6a|＝2，解得：a＝0（舍）或a＝．②抛物线L的对称轴为直线x＝2，顶点坐标为（2，1﹣4a），∵L与“同轴对称抛物线”关于x轴对称，∴整点数也是关于x轴对称出现的，∴封闭区域内在x轴上的整点可以是3个或5个，L与x轴围成的区域内整点个数为4个或3个，（i）当a＞0时，∵L开口向上，与y轴交于点（0，1），∴封闭区域内在x轴上只可能有3个整点，两个区域内各有4个整点，∴当x＝1时，﹣2≤1﹣3a＜﹣1，当x＝2时，﹣3≤1﹣4a＜﹣2，解得：≤a≤1；（ii）当a＜0时，∵L开口向下，与y轴交于点（0，1），∴封闭区域内在x轴上只可能有5个整点，两个区域内各有3个整点，∴当x＝2时，1＜1﹣4a≤2，当x＝﹣1时，5a+1＜0，解得：，综上所述：≤a≤1或﹣≤a＜﹣．3．（2021·江苏·苏州市景范中学校二模）如图1，在中，，边，点分别在线段上，将沿直线翻折，点C的对应点是点；（1）当分别是边的中点时，求出的长度；（2）若，点到线段的最短距离是________；（3）如图2，当点在落在边上时，①点运动的路程长度是______；②当时，求出的长度．【答案】（1）；（2）；（3）①4；②.【详解】解：（1）设MN交于O∵M、N分别为AC、BC的中点∴AM=CM，CN=BN∴MN∥AB（中位线定理），∵，∴MN垂直平分∴，∴且点落在AB上∵∠C=90°∴∵∴（2）如图2中，过点N作NH⊥AB与H∵，BC=8∴∵∴∵点是在以N为圆心，长为半径的圆上，∴当点落在线段NH上时，点到线段AB的距离最短∴最短距离；（3）①如图3-1所示，当点N与B重合时，的值最大，最大值=BC=8，如图3-2中，当M与A重合时，的值最小，最小值=AB-=AB-AC=4观察图形可知，当点落在AB上时，点的运动的路程长度为4

②如图3-3中，过点M作ME⊥AB于E，过点N作NF⊥AB于F，设CN=x，则BN=8-x，∵，∴，∵，∴∴∴，∵∴∴由翻折的性质得：∴∵∴∴∴∴解得经检验是分式方程的解∴4．（2021·湖北当阳·一模）如图，在矩形中，，，点是边上的点（不与点，重合），将沿折叠，点是点的对应点；点是边上的点，将沿折叠，点是点的对应点，且点在直线上．（1）若，求的长；（2）若点是的中点，求的值；（3）当点恰好落在边上时，求四边形的面积．【答案】（1）1；（2）或；（3）或【详解】解：（1）将沿折叠，点是点的对应点，∴△AED≌△A1∴，∵将沿折叠，点是点的对应点，∴≌，∴，∴，∵，∴，∵，∴≌（AAS），∴，，∵，，∴，，∴；（2）由（1）知，∽，∴，∵点是的中点，∴，∴，∴或，在中，或；（3）连接，交于点，∵点恰好落在边上，∴是的垂直平分线，∴，∴，∵，∴，∵，，∴△AED≌（AAS），∴，∴，∵，∴四边形是平行四边形，设，，则，，，在中，，∴，∵∽，∴，∴，∴，解得，∴四边形的面积,综上：四边形的面积为或．5．（2021·河北竞秀·一模）如图，平行四边形ABCD中，AB＝9，AD＝13，tanA＝，点P在射线AD上运动，连接PB，沿PB将△APB折叠，得△A'PB．（1）如图1，点P在线段AD上，当∠DPA'＝20°时，∠APB＝度；（2）如图2，当PA'⊥BC时，求线段PA的长度；（3）当点A'落在平行四边形ABCD的边所在的直线上时，求线段PA的长度；（4）直接写出：在点P沿射线AD运动过程中，DA′的最小值是多少？【答案】（1）80或100；（2）线段PA的长度为；（3）线段PA的长度为或9或；（4）DA′的最小值是．【详解】解：（1）当在直线的右侧时，△APB折叠得到△A'PB，当在直线的左侧时，，故答案为：80或100；（2）如图，作于，平行四边形ABCD中，设，；（3）①当点在上时，；②当点在上时，由折叠可知，四边形是菱形，；③当点在的延长线上时，综上所述，线段PA的长度为或9或；（4）如图，作于，连接，的最小值是．6．（2021·四川·中江县凯江中学校九年级期中）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，过点D（）且顶点P的坐标为（﹣1，3）．（1）求二次函数的解析式；（2）如图1，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CD的上方，连接MC，MD．求△MCD面积的最大值及此时点M的坐标；（3）如图2，设点Q是抛物线对称轴上的一点，连接QC，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，连接PF交抛物线于点E，求点E的坐标．【答案】（1）；（2）△MCD面积的最大值为，M的坐标：（3）【详解】解：（1）二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点P的坐标为（﹣1，3），设二次函数的解析式为将点代入，得解得二次函数的解析式为（2）如图，过点作轴，交直线于点，，令，则设直线的解析式为则解得直线的解析式为点M是二次函数图象上的点，是上的点，设，则当时，此时，△MCD面积的最大值为（3）设点，如图，当时，过点作轴，交轴于点，过点作于点，将线段QC绕点Q逆时针旋转90°，点C的对应点为F，，，,设直线的解析式为，则解得直线的解析式为解得，②如图，当时，过点作于点，过点作于点，同理可得，同理可得，直线的解析式为解得，③当时，旋转后的点与点重合，此时过的点的直线由无数条，不能确定点的坐标，根据题意舍去；综上所述，．7．（2021·湖北新洲·九年级期中）问题背景：（1）如图1，等边△ABC，点P在△ABC左侧且∠APC＝30°，将△APC绕点A顺时针旋转60°，画出图形．探究思考：（2）在（1）的条件下，求证：PB＝AC；拓展创新：（3）如图2，等边△ABC，∠AMC＝60°，AM＝6，CM＝4，直接写出BM的长．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）2或2．【详解】（1）解：如图所示，（2）证明：如图2，连接PP'，由旋转得，AP'＝AP，∠PAP'＝60°，∠AP'B＝∠APC＝30°，∴△APP'是等边三角形，∴∠AP'P＝60°，AP＝AP'＝PP'，∴∠PP'B＝60°﹣30°＝30°，∵AP'＝PP'，∠PP'B＝∠AP'B，BP'＝BP'，∴△AP'B≌△PP'B（SAS），∴PB＝AB，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∴PB＝AC．（3）解：当点M在AC的右侧时，如图3，将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG，连接CG，过点B作MH⊥BG，交BG的延长线于点H，设AG交BC于点T，由旋转得，AG＝AM，∠MAG＝60°，∠AGB＝∠AMC＝60°，BG＝CM＝4，∠ABG＝∠ACM，∵△ABC是等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∴∠AGB＝∠ACB＝60°，∵∠BTG＝∠ATC，∴△BTG∽△ATC，∴，∵∠ATB＝∠CTG，∴△ATB∽△CTG，∴∠BAT＝∠BCG，∠AGC＝∠ABC＝60°，∵∠BAG+∠ABG+∠AGB＝180°，∴∠BCG+∠ACM+∠ACB＝180°，∴点G、C、M三点共线，∵AG＝AM，∠MAG＝60°，∴△AGM是等边三角形，∴GM＝AM＝6，∵∠AGM＝∠AGB＝60°，∴∠MGH＝60°，∵MH⊥BG，∴GH＝GM＝3，MH＝GM＝3，∴BH＝BG+GH＝4+3＝7，∴BM＝＝2，当点M在AC的左侧时，如图4，将△ACM绕点A顺时针旋转60°得到△ABG，连接BM，同图3理可证，点G、B、M三点共线，GM＝AM＝6，BG＝CM＝4，∴BM＝GM﹣BG＝6﹣4＝2，综上所述，BM的长为2或2．故答案为：2或2．8．（2021·重庆八中九年级期中）在△ABC中，CA＝CB，CA⊥CB，点D是射线AC上一动点，连接BD，将BD绕点D逆时针旋转90°得ED，连接CE．（1）如图1，当点D在线段AC上时，若DE＝，BC＝3，求△ABD的周长；（2）如图2，点D在AC延长线上，作点C关于AB边的对称点F，连接FE，FD，将FD绕点D顺时针旋转90°得GD，连接AG，求证：AG＝CE；（3）如图3，点D在AC延长线上运动过程中，延长EC交AG于H，当BH最大时，直接写出的值．【答案】（1）；（2）见解析；（3）【详解】（1）解：如图1，在Rt△BCD中，BC＝3，BD＝DE＝，∴CD＝1，∴AD＝AC﹣CD＝BC﹣AD＝3﹣1＝2，∵CA＝CB，CA⊥CB，∴AB＝＝3，∴△ABD的周长是：3+2；（2）证明：如图2，连接BG交EF于N，连接CF交AB于M，AB与EF交于点P，DF与BG交于O，∵∠BDE＝∠GDF＝90°，∴∠BDE+∠ADF＝∠GDF+∠ADF，即：∠BDG＝∠FDE，∵DE＝BD，DG＝DF，∴△BDG≌△EDF（SAS），∴BG＝EF，∴∠BGD＝∠DFE，∵∠DOG＝∠FOB，∴∠BNP＝∠ONF＝∠GDO＝90°，∵∠BPN＝∠MPF，∴∠CFE＝∠ABG，∵CF＝2CM＝2AM＝AB，∴△GAB≌△ECF（SAS），∴AG＝CE；（3）如图3，由（2）得，△GAD≌△ECF，∴∠GAB＝∠ECF，∴∠GAB﹣∠CAB＝∠ECF﹣∠BCM，∴∠CAB＝∠BCM＝45°，∴∠GAC＝∠ECB，∵∠ACB＝90°，∴∠ACH+∠ECB＝90°，∴∠ACH+∠GAC＝90°，∴∠AHC＝90°，∴点H在以AC为直径的⊙I运动，如图4，当BH过I时，BH最大，不妨设半径AI＝CI＝HI＝1，∴BC＝AC＝2，∴IB＝＝，作HT⊥AC于T，作EK⊥AD于K，∴∠HTI＝∠ACB＝90°，∴HT∥BC，∴△HTI∽△BCI，∴＝＝，∴＝＝，∴HT＝，TI＝，∵∠BCD＝∠BDE＝∠K＝90°，BD＝DE，由“一线三等角”得，△BCD≌△DKE，∴CD＝EK，BC＝DK＝2，∵tan∠KCE＝tan∠HCT，∴＝，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝．9．（2021·河南汝阳·九年级期中）如图1，矩形AEGH的顶点E、H在矩形ABCD的边上，且AD：AB＝AH：AE＝1：2．（1）请直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；（2）如图2，矩形AEGH绕点A旋转一定角度，此时HD：GC：EB的结果与（1）的结果有变化吗？如有变化，写出变化后结果并说明理由；若无变化，请说明理由．【答案】（1）HD：GC：EB＝1：：2；（2）无变化，见解析【详解】解：（1）如图1，作GF⊥CD于点F，连接AG，则∠DFG＝∠GFC＝90°，∵四边形AEGH和四边形ABCD都是矩形，∴∠D＝∠AHG＝∠EGH＝90°，AB＝DC，AE＝HG，∴∠DHG＝180°﹣∠AHG＝90°，∴四边形DFGH是矩形，∴HG＝DF，HD＝GF，∠FGH＝90°，∴，∴，∴＝，∴＝，整理得＝，∵∠GFC＝∠AHG，∴△GFC∽△AHG，∴∠FGC＝∠HAG，∴∠FGC+∠HGA＝∠HAG+∠HGA＝90°，∴∠FGC+∠HGA+∠FGH＝180°，∴点A、G、C在同一条直线上，∴点G在矩形ABCD的对角线AC上，由＝得＝＝＝，∴FC＝2GF，∴