空间距离求解转化策略 - 职业教育

空间距离求解转化策略-职业教育导读：其求解的根本思想办法是转化为求两点间的距离。空间距离，空间距离求解转化策略。关键词：空间距离，转化空间中的距离包括点点，点面，线线，线面，面面六种。其求法是教材的重要内容，也是历年高考考查的重点，其求解的根本思想办法是转化为求两点间的距离。特别是异面直线间的距离和点到平面的距离计算是立体几何中的一个非常重要内容，学生在遇到此类距离计算时，由于空间想象力等自身原因无法构造出距离，或者无法寻找到与距离相关的一些联系和转化。结果往往是无从下笔严重影响考试成绩。事实上，一般距离都可转化成点线距离，进而转化成两点间的距离，最后都把它们放在平面三角形中来解决。因此距离的转化就成了师生共同的难点。

为此，笔者将多年来的教学经验总结此文，以其抛砖引玉。

事实上，距离转化一般有如下形式：

其中比拟困难的是最后一步。本文通过举例来表明距离计算中的一些转化策略。

〈1〉异面直线距离的转化

例1如图1所示：已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是边AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求异面直线BD与GE的距离。

解连结BD，由E、F分别为AB、AD的中点，知EFBD，EF面GEF，

BD∥平面GEF。

故BD与GE的距离为线BD到平面GEF的距离，连接AC交BD于O，交EF于H。

因GC⊥平面ABCD，EF平面ABCD，故GC⊥EF。又EF⊥HC，且GCHC=C那么EF⊥平面GHC，而EF平面GEF,故平面GEF⊥平面GHC,.且平面GEF平面GHC=HG所以过点O作OK⊥GH，那么OK⊥面GEF，

BD到面GEF的距离即为点O到线GH的距离OK，在Rt△HKO中，

因正方形ABCD的边长为4故AC=4,OH=,HC=3,又GC=2且

HG=(3)+2=22

故HG=,

即异面直线BD与CE的距离为

总结:

图1图2

例2已知异面线段AB=a，CD=b，所成角为θ，4点A、B、C、D构成四面体的体积为V，求异面线段AB到CD的距离。

解如图2，过B作BECD，连AE，那么∠ABE=θ或π－θ。

由CD∥BE，那么CD∥面ABE。

CD到AB的距离转化为CD到面ABE的距离。大全，空间距离。

设点C到面ABE的距离为d，那么d为CD到AB的距离。

由等积性:V=V=V=V注意到V==ab.d=V

那么d=

总结CD到AB的距离CD到面ABE的距离点C到面ABE的距离。大全，空间距离。

2点面距离的构造与转化

面面距离，线面距离，异面直线距离都转化为点面距离。因此点面距离如何构造、计算，转化就成为问题求解的关键。点面距离通常有三种求法：利用两平面垂直关系转化为点线距离计算。当垂足位置不容易确定时，可考虑利用等体积法来求解。大全，空间距离。还可用坐标向量法

利用两平面垂直关系转化为点线距离计算。

例3已知正三棱锥ABC-A1B1C1的每条棱长为a，过AB1的作平行于BC1的平面M，求点A1到平面M的距离。

解如图3，延长CB到D，使BD=BC，连结AD，由BDB1C1，那么BC1∥DB1，从而BC1∥面ADB1，即M为面ADB1。

图3

设F、H分别为A1C1、AC的中点，B1FBHAD，

B1F∥AD。

连AF，那么面M即为ADB1F。

故A1到面M的距离即为A1到面ADB1F的距离。

∵B1F⊥面ACC1A1，

面M⊥面ACC1A1。

过A1作A1G⊥AF交AF于G，那么A1G为点A1到面M的距离。

在Rt△AFA1中，AF=a,AA=a,∠FAA=90°再由AAAF=AFAG不难计算出

A1G=。

总结利用B1DBC1作平面M，并再利用B1FAD，得到平面M与平面ACC1A1的交线AF，再注意到面M⊥面ACC1A1，点A1到面M的距离转化为点A1到线AF的距离。

用等体积法求点到平面的距离

例4：如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，

点E在棱AB上移动．

求：当E为AB的中点时,求点E到面ACD1的距离；

解：设点Ｅ到平面ＡＣD1的距离为h，在ΔＡＣD1中，ＡD1＝，

ＡＣ＝ＣD1＝，故＝＝，而＝＝．∵h=．

这里点E到面ACD1的距离不好找故用等体积法解更方便

坐标向量法求点到平面的距离

所谓坐标向量法，就是建立适当的空间直角坐标系(本文所建立的都是右手直角坐标系)，把向量用坐标来表示，用向量的坐标形式进行向量的运算，运用坐标法时，必须首先找出三个基向量，并且这三个基向量两两垂直,由此建立空间直角坐标系.进而可出求点到面的距离。这是新教材的一大特色。更是近年来高考的热点之一。

例5：如图已知正三棱柱的棱长为2，底面边长为1，是的中点.CN=求：当时，求点到平面的距离.

解：以，分别为轴、轴，垂直于

，的为轴建立空间直角坐标系，那么有：

、，那么，

设向量与平面垂直，那么有

取

向量在上的射影长即为到平面的距离，设为，于是

从以上可以看出，在构造点到平面的距离时须结合具体的空间图形特征，选择恰当的办法，充沛发挥空间图形的想象力，就一定能克服此类空间距离求解的思维障碍。特别是用坐标向量法求点到平面的距离时不但须要建立恰当的空间直角坐标系，以便简化运算。还须具备很