欧几里得空间

欧几里得空间1第1页，共39页，2023年，2月20日，星期五一、基本内容首页上页下页返回结束1.基本概念(1)内积与欧氏空间概念(4个条件)(2)向量的长度、距离与夹角长度：距离：夹角：2第2页，共39页，2023年，2月20日，星期五(3)度量矩阵首页上页下页返回结束3第3页，共39页，2023年，2月20日，星期五(4)标准正交基由两两正交的单位向量组成的基.(5)正交子空间(6)欧氏空间的同构同构映射保持运算(加法、数乘、内积)首页上页下页返回结束4第4页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束2.基本性质设V为欧氏空间,对于V的内积,有:关于标准正交基,有:(4)正交向量组是线性无关的.5第5页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束3.标准正交基下基本度量的表达式6第6页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束7第7页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束4.标准正交基的存在性与正交化方法8第8页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束5.正交变换与正交矩阵9第9页，共39页，2023年，2月20日，星期五标准正交基到标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵;首页上页下页返回结束10第10页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束6.对称变换与对称矩阵(2)实对称矩阵的特征值都是实数.(1)对称变换的特征值都是实数.主要结论:11第11页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束12第12页，共39页，2023年，2月20日，星期五二、基本解题方法首页上页下页返回结束2.学习欧氏空间,要抓住“内积”这个概念.内积实际上是定义在线性空间V上的二元实函数.它满足对称性、线性性、非负性.1.欧氏空间是一个实数域上的线性空间,对于线性空间的一些基本概念,比如向量的线性相关性、基、维数、坐标、子空间以及有关性质,对欧氏空间都适用.

注:同一个线性空间对不同的内积,所作成的欧氏空间一般是不同的.13第13页，共39页，2023年，2月20日，星期五

3.对有限维欧氏空间的讨论,标准正交基是核心,在标准正交基下,向量的度量性质显得较为简单.

4.用正交化方法求标准正交基,可以从一组基出发,先正交化,得正交基,再单位化(即正交化与单位化分开进行).也可以在正交化过程中的每一步,将所得的向量单位化(即标准化).5.利用线性变换与矩阵的密切关系、内积、标准正交基来研究欧氏空间中的两类重要的线性变换-正交变换和对称变换.首页上页下页返回结束14第14页，共39页，2023年，2月20日，星期五三、例题选讲首页上页下页返回结束15第15页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束16第16页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束17第17页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束18第18页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束19第19页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束20第20页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束21第21页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束22第22页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束23第23页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束24第24页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束25第25页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束26第26页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束27第27页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束28第28页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束29第29页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束30第30页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束31第31页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束32第32页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束33第33页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束34第34页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束35第35页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返回结束36第36页，共39页，2023年，2月20日，星期五首页上页下页返