概率论与数理统计 第一章

概率论与数理统计第一章第1页，共124页，2023年，2月20日，星期五内容与学时第一章随机事件及其概率第二章随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律与中心极限定理第六章样本及抽样分布第七章参数估计(8学时)数理统计(32学时)概率论第八章假设检验第2页，共124页，2023年，2月20日，星期五二、教材：《概率论与数理统计》华中科技大学出版社出版刘次华主编以班级为单位到出版社发行部二楼购买（72折，18元/册）本周三下午2:30~5:30晚上6:30~9:00以班级为单位到科技楼南楼715房间购买练习册,每本5元.答疑时间:每周四下午6—7节（第十周开始）地点:科技楼南楼715房间第3页，共124页，2023年，2月20日，星期五自然界和社会中有两类现象：①确定性现象：在一定条件下必然发生（或不发生）的现象例抛一石子必然落下；（结果可以事先预言的）②随机现象：在一定条件下，其结果可能出现也可能不出现的现象。（结果不可事先预言）例抛一枚硬币，落下时正面朝上或反面朝上；在每次观察中具有偶然性，而在大量的重复绪言同性电荷必不互相吸引；第4页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束

观察中具有某种统计规律性的现象。研究对象：概率统计是研究随机现象统计规律性的一门数学分支。第5页，共124页，2023年，2月20日，星期五统计在工业上的应用（一）StatisticalQualityControl(Online)TaguchiMethods(Off-line)6SigmaMethodsBeginner,Blackbelt,Masterblackbelt,Greenbelt,Champion,ExecutiveReliability第6页，共124页，2023年，2月20日，星期五统计在农林牧渔业上的应用DesignofExperiment(DOE)气象渔业生态农业环境保护动物保护(capturerecapture)……第7页，共124页，2023年，2月20日，星期五统计在商业中的应用市场调查与咨询物流（仓库的设计与储量分析）交通运输业的统计分析数据挖掘第8页，共124页，2023年，2月20日，星期五数据是什么？Data=￥￥第9页，共124页，2023年，2月20日，星期五WhatAreTheseNumbersTryingtoTellUs?第10页，共124页，2023年，2月20日，星期五DataMining（一）

９９：８１７９，７９５４, ７６２６９，８４０６，９４０５, ７９１８９３４，１.９１８１７.舅舅：不要吃酒，吃酒误事， 吃了二两酒，不是动怒，就是动武， 吃酒要被酒杀死，一点酒也不要吃。第11页，共124页，2023年，2月20日，星期五DataMining（二）7÷22≦x≦340÷6二四六八1×1=110002=100×100×1007/86873x不三不四接二连三陆续不断无独有偶一成不变千方百计七上八下了不起thanks第12页，共124页，2023年，2月20日，星期五DataMining（三）第13页，共124页，2023年，2月20日，星期五FinancialandActurialStatisticsNobelPrizes

期权定价模型、投资组合模型…Insurance

保费的计算、产品的设计…第14页，共124页，2023年，2月20日，星期五在军事及航空航天中的应用第15页，共124页，2023年，2月20日，星期五SPRT检验(一)SamuelS.Wilks(1906-1964)AbrahamWald(1902-1950)第16页，共124页，2023年，2月20日，星期五SPRT检验(二)

20世纪40年代，Wilks在普林斯顿大学数学系工作，并任华盛顿海军研究局顾问，成立了普林斯顿统计研究小组(SRG-P)。当TheodoreW.Anderson还是此小组的研究生时研究了如下课题：由于日本人以随机形态在海岸线上布满地雷，而进攻日本本土日子越来越近，故美国需要找出一种毁坏地雷的有效方法。在此之前，欧洲曾尝试过从飞机上丢炸弹来引爆地雷，但效果不好。于是，Anderson等人设计一种新方法，但实验数据表明这种方法并不有效。这样就导致美国在日本投下原子弹的原因之一。第17页，共124页，2023年，2月20日，星期五SPRT检验(三)Wilks又在哥伦比亚大学组建了第二个统计研究小组(SRG-Pjr)，这个小组的成果之一即是提出了与此与此序贯分析（序贯分析当时被列为最高机密，直至战争结束多年后，参加这项研究的专家都不能对外发表论文）。后来，AbrahamWald通过高度抽象的理论归纳，提出了决策理论。第18页，共124页，2023年，2月20日，星期五TheApplicationsInSocialSciences法律心理学（测慌）经济学社会学人口学管理科学文学考古……第19页，共124页，2023年，2月20日，星期五TheApplicationsInSocialSciences

（法律之一）被告死刑合计是否白人19141160黑人17149166合计36290326数据：美国佛罗里达，1976--1977年凶杀案结论：白人被判死刑的比例为：19/160=11.9%黑人被判死刑的比例为：17/166=10.2%第20页，共124页，2023年，2月20日，星期五TheApplicationsInSocialSciences

(法律之二）被告被害死刑死刑比例是否白人白人191320.126黑人090.000黑人白人11520.175黑人6970.058ContingencyTable（列联表）第21页，共124页，2023年，2月20日，星期五在IT业中的应用分类、搜索图像或模式识别网络完全（数字签名）第22页，共124页，2023年，2月20日，星期五统计在医药卫生中的应用Biostatistics

制药业（比对试验）疾病的诊断（Bayes方法，图模型等）病理分析疾病的控制第23页，共124页，2023年，2月20日，星期五TheApplicationsInBioinformation第24页，共124页，2023年，2月20日，星期五第25页，共124页，2023年，2月20日，星期五TheApplicationsInOtherFields地质勘探公安（指纹识别、脚印识别、图像恢复)服务行业体育第26页，共124页，2023年，2月20日，星期五DataMining（四）统计方法计算机的应用计算方法It’shot!第27页，共124页，2023年，2月20日，星期五第一章第一节随机事件及其运算一、随机试验二、随机事件与样本空间三、事件间的关系及其运算第28页，共124页，2023年，2月20日，星期五一、随机试验对随机现象进行观察的试验，具有以下特点：1、可以在相同的条件下重复进行；2、试验的可能结果不止一个，并且在试验前能预先知道全部可能结果；3、在每次试验前不能预先知道哪个结果会出现。E1

:抛一枚硬币，观察出现正反面情况。例：E2

:将一枚硬币连抛三次，观察出现正反面的情况。E4:在一批灯泡中任取一只,测试它的寿命。

E3

:记录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。第29页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束二、随机事件与样本空间定义1随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为Ω

,样本空间的元素,即E的每个结果，称为样本点,记为e。例如上页引例中：={H,T}={HHT,HHH,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}有限个样本点可列无穷个={0,1,2,3……}={t|t≥0}连续、不可列Ⅰ.样本空间Ω1

Ω2

Ω3

Ω4

第30页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束例：将一枚硬币连抛三次1)观察正反面出现的情况,2)观察正面出现的次数,Ⅱ.随机事件定义2样本空间中的子集称为随机事件，简称事件，一般记为A,B,C等。A—点数之和为7,例：抛两个骰子，骰子可分辨，观察其出现的点数，注意：样本空间的元素是由试验目的所决定的。={HHH,HHT……}Ω1

={0,1,2,3}Ω2

Ω={11,12,13,……,61,……,66}A={16,25,34,43,52,61}第31页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束特殊随机事件：3.基本事件：一个样本点组成的单点集(试验E的每个可能结果）例：有两个基本事件{H}和{T}1.必然事件：每次试验中必然发生的事件,记为Ω。2.不可能事件：每次试验一定不发生的事件,记事件A发生A中的某一个样本点在试验中出现第32页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束①包含、相等关系A发生必然导致B发生1.事件的关系三、事件间的关系及其运算事件B包含事件AA与B相等，记为A=B。第33页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束②事件的和A和B的和事件表示A与B中至少有一个发生，即：A与B中至少有一个发生时，发生。第34页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束③事件的积表示事件A和B同时发生，即：且A与B的积事件当且仅当A与B同时发生时，通常简记为AB。发生。第35页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束④事件的差A-B表示事件A发生但事件B不发生但⑤互斥事件(互不相容)，则称A,B为互不相容事件即：AB不能同时发生。⑥对立事件(逆事件)基本事件都互不相容。A与B的差事件且，则称事件A与B互为逆事件或互为对立事件。A的对立事件记为,=Ω-A。第36页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束2.事件的运算法则①交换律；②结合律③分配律④德·摩根律：；推广：;第37页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束①，，，则，设②③注：事件的一些关系式

第38页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束例1.设A,B,C表示三个事件,试表示下列事件(1)A发生,B与C不发生(2)A与B发生,C不发生(3)A,B与C都发生(4)A,B与C至少有一个发生(5)A,B与C全不发生(6)A,B与C至少有两个发生第39页，共124页，2023年，2月20日，星期五若F满足：事件域当样本空间是实数轴上的一个区间时，可以构造出无法测量其长度的子集，这样的子集称为不可测集，我们只能将可测集看成是事件.否则称为可测集.直观上讲，事件域就是一个样本空间中某些子集构成的集合类，记为F.对于F

的基本要求

——

包括

和Ø，且关于集合的运算封闭.注意到：交的运算可以通过并与对立来实现(德摩根公式)

—差的运算可以通过对立与交来实现(

A-B=AB

)定义1

设是样本空间，F为的某些子集构成的集合类，(1)F

；

—(2)若

AF

；则对立事件

AF；

(3)若

AnF

；则可列并

F；

则称F为一个事件域，又称F为一个

代数.第40页，共124页，2023年，2月20日，星期五二、概率的统计定义一、频率第二节频率与概率三、概率的公理化定义第41页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束一个事件在某次试验中的出现具有偶然性，但在大量重复试验中随机事件的出现呈现一定的数量规律，频率这一概念近似反映了这个数量规律。1.定义1设E,Ω,A为E中某一事件，在相同条件进行n次独立重复试验，事件A发生的次数记为称为A的频率。(frequency)2.性质：0≤≤1一、频率则比值第42页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束若两两互不相容结论：当n较小时，频率呈偶然性，波动性很大；随着n的增加，波动幅度减小，最后集中在某一个数附近。历史上著名的统计学家蒲丰和皮尔逊曾进行过大量掷硬币的试验，所得结果如下：试验者蒲丰皮尔逊皮尔逊次数正面的次数正面的频率404020480.50691200060190.501624000120120.5005第43页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束这种称为频率稳定性，也就是通常所说的统计规律性，频率稳定值注：试验次数越多，并不说明越精确，只能说明波动范围越小。即概率的统计定义。第44页，共124页，2023年，2月20日，星期五频率稳定性的应用

著作抽样字数不同的字Markingtime(Kryukov)1000589ThewayandtheRoad(肖洛霍夫)1000656静静的顿河1000646静静的顿河有争议作者第45页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束二、概率（概率的公理化定义）1.定义设E,Ω

,对于E的每一事件A，赋予一个实数，记为P(A),称为事件A的概率,如果P(·)满足以下三个公理：⑴非负性：⑵规范性：⑶可列可加性：第46页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束2.性质：故由可列可加性又因为≥0，有限可加性其中两两互不相容。，则证明取所以第47页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束如果则①≤②证明且A和B－A互不相容得①式成立；，0≤≤1第48页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束证明推广：(加法公式)BA第49页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束提示：可用归纳法证明例1.已知证明:例2、解：第50页，共124页，2023年，2月20日，星期五【例3】设事件A,B,C满足条件:

P（AB）＝P（AC）＝P（BC）P（ABC）＝则事件A,B,C中至多一个发生的概率为

.第51页，共124页，2023年，2月20日，星期五例6设2010年8月11日武汉,重庆两市温度分别为(1)下列结论成立的是()

第52页，共124页，2023年，2月20日，星期五(2)已知,求.解

表示两市的温度至少有一个是36度

第53页，共124页，2023年，2月20日，星期五两式相减得

第54页，共124页，2023年，2月20日，星期五例7若.证明

证明

于是

故

第55页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束例8，求解从定义出发求概率是不切实际的，下节将针对特殊类型的概率求事件的概率。﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏ΩAB第56页，共124页，2023年，2月20日，星期五第一章第三节等可能概型一、等可能概型的定义二、计算公式三、计算方法第57页，共124页，2023年，2月20日，星期五1.定义：具有以下两个条件的随机试验称为等可能概型，有限性试验的样本空间中的元素只有有限个；等可能性每个基本事件的发生的可能性相同。例：E1—抛硬币,观察哪面朝上2.计算公式：①等可能概型也称为古典概型。E2—投一颗骰子，观察出现的点数={H,T}Ω1

={1,2,3,4,5,6}Ω2

第58页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束②若事件A包含k个基本事件，即其中(表示中的k个不同的数)则有第59页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束3.方法：构造A和Ω的样本点(当样本空间Ω的元素较少时，先一一列出Ω和A中的元素，直接利用求解)用排列组合方法求A和Ω的样本点个数预备知识Ⅰ.加法原理：完成一项工作m类方法，第i类方法有种，(i=1,2,m)，则完成这项工作共有：种方法。Ⅱ.乘法原理：完成一项工作有m个步骤，第i步有，则完成该项工作一共有：种方法。种方法（i=1,2,…,m)第60页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束Ⅲ.排列：从n个元素中取出r个元素，按一定顺序排成一列，称为从n个元素里取出r个元素的排列。(n，r均为整数)进行排列，共有①(无放回选取)从n个不同元素中无放回的取出m个(m≤n)﹏﹏﹏﹏﹏种方法。②(有放回选取)从n个不同元素中有放回地抽取r个，依﹏﹏﹏﹏﹏次排成一列，称为可重复排列，一共有第61页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束Ⅳ.组合从n个元素中无放回取出r个元素，不考虑其顺序，组合数为或,第62页，共124页，2023年，2月20日，星期五解

设A表示事件“n次取到的数字的乘积能被10整除”设A1表示事件“n次取到的数字中有偶数”

A2表示事件“n次取到的数字中有5”A=A1A2,例1

在1,2,3,,9中重复地任取n()个数,求n个数字的乘积能被10整除的概率.例1第63页，共124页，2023年，2月20日，星期五例2盒中有5个红球，6个白球，7个兰球，从中人任取5个出来，求每种颜色的球至少有一个的概率.解:用A,B,C分别表示无红球,白球,篮球三个事件.

则所求为

第64页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束例4(分房问题)将r个球随机地放入n(n>r)个盒子中，设各个球放入每个盒子是等可能的，解求：每个盒子至多有一个球的概率。将r个球放入n个盒子，每一种方法是一个基本事件例3袋中有a只黑球和b只白球，k个人把球随机的一只只摸出来，求第i个人摸出的是黑球的概率。解

将k个人取球的每一种取法看成一个样本点第65页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束例5(生日问题)设每个人的生日在一年365天中的任一天是等可能的,即都等于,那么随机选取n(≤365)人。(1)他们的生日各不相同的概率为多少？(2)n个人中至少有两个人生日相同的概率为多少？解(1)设A=“n个人的生日各不相同”(2)设B=“n个人中至少有两个人生日相同”当n等于64时，在64人的班级中，B发生的概率接近于1，即B几乎

总是会出现。第66页，共124页，2023年，2月20日，星期五例1.8某会议室中有10把椅子一字排开，10位代表，

随机就座，用表示甲乙两位代表间隔m个坐位，

求

解:10个位置，甲乙两人的座法有，

甲乙两人之间有m个人,首先考虑甲在乙

的右侧情形，

此时甲只能在从右往左数的第1到第10-(m+1)个位置上选一个选定后，让乙坐在甲左侧的第m+1个位置上，

因此有种座法,类似，乙在甲的右侧，也有种座法，因此有利于发生的基本事件数为

2(9-m)

于是

第67页，共124页，2023年，2月20日，星期五例(接草成环)春天来了,校园的草坪上有一对情侣,女孩希望男孩送给她一个花环,于是扯了6根花草,握在手中上下两端分别露出6个头和尾,让男孩将将上下两端的6个头任意两两相接,6个尾任意两两相接,若刚好接成一个花环,就答应嫁给他.否则拜拜.求概率解:6个头两两相接(无论如何接)将构成3根草然后连接6个尾:实际上相当于6个元素分成3组每组2个但没有组号区别共有现在要成为一个花环,三根草的每根草对应的两个尾不能相接,先取一个尾它可与4个尾中任意一个相接,接好后,变成两根草,这两根草有两种接法成为环,故共有4×2种,因此所求概率为第68页，共124页，2023年，2月20日，星期五而与该区域的位置和形状无关)，

(即样本点落入某区域内可能性的大小且可用一个有度量的几何区域来表示；

确定概率的几何方法...定义若随机试验E具有以下两个特征：(1)E的样本空间有无穷多个样本点，(2)试验中每个样本点出现的可能性相同则称

E

为几何概型.有度量的区域事件A对应的区域仍以A表示长度面积体积仅与该区域的度量成比例,第69页，共124页，2023年，2月20日，星期五例1.10从区间(0,1)中任取两个数,则两数之积小于的概率________第70页，共124页，2023年，2月20日，星期五设某吸毒人员强制戒毒期满后在家接受监控，监控期为L单位时间，该期间内随时可提取尿样化验.问该人员复吸且被检验出的概率是多少？例设该人员随时可能复吸，且复吸后S单位时间内尿样呈阳性反应，解

x——复吸时刻;y——提取尿样的时刻,(x,y)——样本点,样本空间={(x,y

)|0≤x≤L

,0≤y

≤L

}，则

的度量=L

2.LLSy=x0xy

A={

该人员复吸且被检验出

}

A={

(x,y

)|0

≤y

-x≤S},则

A

的度量=

A第71页，共124页，2023年，2月20日，星期五第四节条件概率一条件概率二乘法公式三全概率公式,贝叶斯公式第一章第72页，共124页，2023年，2月20日，星期五引例:取一副牌,随机的抽取一张,问:(1)抽中的是k的概率;(2)若已知抽中的是红桃,问抽中的是k的概率。解：A

——抽中的是红桃,B——抽中的是k(1)(2)上述式子具有普遍性吗?在古典概型中,一条件概率第73页，共124页，2023年，2月20日，星期五1、定义：设A，B为两事件，且则称为事件A发生条件下事件B发生的条件概率。3.设是两两互不相容的事件则条件概率满足概率公理化定义中的三个公理:2.性质：条件概率类似满足概率的6条性质。第74页，共124页，2023年，2月20日，星期五例(1996)已知0<p(B)<1,且，则下列结论成立的是（A）

（B）（C）（D）第75页，共124页，2023年，2月20日，星期五例设A,B两个事件满足:则第76页，共124页，2023年，2月20日，星期五(1)在缩减样本空间中求事件概率（实际意义法）(2)定义法例1、设一批产品的一、二、三等品各占60%,30%,10%,现从中任取一件，结果不是三等品，求取得是一等品的概率。解则由已知得如引例2、条件概率的求法第77页，共124页，2023年，2月20日，星期五定理设，则有推广

其中，则有或二、乘法公式第78页，共124页，2023年，2月20日，星期五推广到n个事件，如果则有一批零件共100件,其中有10件次品,每次从其中任取一个零件，取后不放回。试求：2)如果取到一个合格品就不再取下去，求在3次内取到合格品的概率。

1)若依次抽取3次,求第3次才抽到合格品的概率；“第次抽到合格品”解:

设例2.第79页，共124页，2023年，2月20日，星期五1)2)设“三次内取到合格品”则且互不相容第80页，共124页，2023年，2月20日，星期五设一个班中30名学生采用抓阄的办法分一张电影票,问各人获得此票的机会是否均等？解设“第名学生抓到电影票”i=1,2,…,30例3、同理,第i个人要抓到此票,他前面的i-1个人都没抓到此票第81页，共124页，2023年，2月20日，星期五思考：如果是两张电影票呢？第82页，共124页，2023年，2月20日，星期五三、全概率公式与贝叶斯（Bayes）公式定义(1)(2)则称注:对每次试验，例如设试验E为“掷骰子观察其点数”。样本空间为，，，，而不是划分。第83页，共124页，2023年，2月20日，星期五1、全概率公式定理设随机试验E的样本空间为A为E的事件，则有全概率公式证:两两互不相容第84页，共124页，2023年，2月20日，星期五注：应用此公式时,不妨将A看成结果,再去找出导致A发生的所有的不同的因素(前提,背景)第85页，共124页，2023年，2月20日，星期五例4、

假设有甲、乙两袋，甲袋中有3个白球2个红球，乙再从乙中任取一球，问取到白球的概率为多少？解设A—从乙中取到白球，B

—从甲中取到白球袋中有2个红球3个白球，今从甲中任意取一只放入乙中，=第86页，共124页，2023年，2月20日，星期五运用全概率公式计算P(A)机动目录上页下页返回结束2、贝叶斯公式定理设随机试验E的样本空间为Ω,A为E的任意一个事件,为Ω的一个划分,且则，称此式为贝叶斯公式。第87页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束例5.设某工厂甲,乙,丙3个车间生产同一种产品,产量依次占全厂的45％,35％,20％,且各车间的合格品率为0.96,0.98,0.95,现在从待出厂的产品中检查出1个次品,问该产品是由哪个车间生产的可能性最大？解分别表示该产品是由甲、乙、丙车间生产，设A表示“任取一件产品为次品”由题意得由贝叶斯公式第88页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束所以该产品是甲车间生产的可能性最大。用全概率公式求得第89页，共124页，2023年，2月20日，星期五例6、某炮台有3门炮，第1、2、3门炮的命中率分别为0.4，0.3，0.5，3门炮各发射一枚炮弹，如果有两枚命中目标，求第1门炮命中目标的概率。解：A—两枚命中目标，B—第1门炮命中目标第90页，共124页，2023年，2月20日，星期五例7、A—某种临床试验呈阳性B—被诊断者患有癌症根据以往的临床纪录，癌症患者某项实验呈阳性的概率为0.95，而正常人该试验成阴性的概率为0.95，已知常人患癌症的概率为0.005，现对自然人群进行普查，如果某人试验呈阳性，求他患癌症的概率有多大？解由题，已知第91页，共124页，2023年，2月20日，星期五例某种产品的商标为“MAXAM”,其中有两个脱落，有人捡起随意放回，求放回仍为“MAXAM”的概率.解:试验分两阶段第一阶段是字母脱落,第2阶段是捡起放回,放回仍为“MAXAM”是第2阶段的结果,设为A,它与第1阶段脱落的情况有关.则

代入即得

用B表示脱落的两个字母相同.第92页，共124页，2023年，2月20日，星期五例[2005]从数1,2,3,4中任取一个,记为X,再从1,…,X中任取一个,记为Y,则.解:试验分为两个阶段,Y=2是第2阶段的结果,第1阶段的所有结果是Y=2发生的一组前提条件.第93页，共124页，2023年，2月20日，星期五赌徒输光问题:设甲乙二人赌博,每局输赢1元钱,每局甲赢的概率为p,开始时甲乙二人各有m,n元钱,约定赌到一个人输光为止,求甲输光的概率.第94页，共124页，2023年，2月20日，星期五可以解得第95页，共124页，2023年，2月20日，星期五女孩问题:设有两个孩子的一对新夫妇刚搬到某小镇,假定有人在路上遇到母亲与她的一个孩子散步,若这个孩子是女孩,问她的两个孩子都是女孩的概率是多少?.第96页，共124页，2023年，2月20日，星期五第97页，共124页，2023年，2月20日，星期五第98页，共124页，2023年，2月20日，星期五第五节事件的相互独立性引例：E—掷两枚硬币，观察正反面的情况A—甲币出现H，B—乙币出现H={HH，HT，TH，TT}Ω由此看出第99页，共124页，2023年，2月20日，星期五机动目录上页下页返回结束一、两个事件相互独立

定义1设A、B是两个事件，如果有如下等式成立则称事件A、B相互独立。定理设A、B是两个事件⑴若，则A、B相互独立的充分必要条件为⑵若A、B相互独立,第100页，共124页，2023年，2月20日，星期五(即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率),

记

A={

抽到

K

},B={

抽到的牌是黑色的

}，显见,P(AB)=P(A)P(B)，

由于P(A)=4/52=1/13,所以事件A、B独立.问A、B是否独立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,也可以通过计算条件概率去做:由于P(A)=1/13,显见P(A)=P(A|B),P(A|B)=2/26=1/13,所以事件A、B独立.实际应用中往往根据问题的实际意义判断两事件是否独立例如:甲、乙两人向同一目标射击,A

与

B

是否独立？记

A={甲命中},B={乙命中},由于

“甲命中”

并不影响

“乙命中”

的概率故可认为A与B独立.例1

从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，第101页，共124页，2023年，2月20日，星期五第102页，共124页，2023年，2月20日，星期五例6设A、B、C是三个事件，且P(A)=0.

3

,P(C)=0.

6,P(B|A)=0.

4,P(

B∪C

)=0.

72,B与

C

相互独立，求P(A∪B

).解由于B与

C

独立，故P(B∪C)=P(B)+

P(C)

-

P(B)P(C)=P(B)[1-P(C)

]

+

P(C)=0.4P(B)

+

0.6=

0.

72,

P(B)=0.

3

,P(A∪B

)=P(A)+

P(B)

-

P(AB)分析=P(A)P(B|A)=P(A)+

P(B)

-

P(A)P(B|A

)?所以P(A∪B

)=P(A)+

P(B)

-

P(A)P(B|A

)=0.

3+0.

3

+

0.

30.

4=0.

48第103页，共124页，2023年，2月20日，星期五例8证明概率为零(或1)的事件A与任意事件B独立.,则于是A与B独立;,则从而与独立,于是A与B独立.证明第104页，共124页，2023年，2月20日，星期五二、多个事件的相互独立性若下面四个等式同时成立定义2则称A,B,C相互独立，如果只有前三个等式成立，则称A,B,C两两独立。注：A,B,C相互独立两两独立第105页，共124页，2023年，2月20日，星期五推广：……………同时成立，第106页，共124页，2023年，2月20日，星期五解={}反例设有四张卡片，一张涂有红色，一张涂有白色，一张涂有黑色，一张涂有红、白、黑三种颜色。从中任意取一张，令A={抽出的卡片上出现红色}，B={抽出的卡片上出现白色}，C={抽出的卡片上出现黑色}，试分析A、B、C的独立性。A={}，B={}，C={}但即A、B、C中任何两个事件相互独立，但A、B、C不是相互独立的。第107页，共124页，2023年，2月20日，星期五例1、性质：(1)其中任意k个事件也相互独立;若n个事件相互独立其中任意k个事件的逆事件与其余的事件组成的n个事件仍然相互独立。甲乙两人各自同时向一架飞机射击，两人的命中率分别为0.6，0.5，求飞机被命中的概率。解：A—甲击中飞机，B—乙击中飞机，C—飞机被击中=0.8注：判断独立性问题时，可以根据具体问题分析，或者题目会告知是否独立。第108页，共124页，2023年，2月20日，星期五【例】(1998)设A,B,C为三个相互独立的事件,且0<P（C）<1,则不独立的事件为【】

第109页，共124页，2023年，2月20日，星期五例2、对于例1，或者利用利用德·摩根律，把求和事件的概率转化为求积事件的概率，这种方法在解决独